《選修11：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)》教案

1、適用學(xué)科適用學(xué)科適用區(qū)域適用區(qū)域知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)高中數(shù)學(xué)蘇教版區(qū)域適用年級(jí)適用年級(jí)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）高二2 課時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))2掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(重點(diǎn))教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與定義的應(yīng)用(難點(diǎn))2會(huì)用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡(jiǎn)單問(wèn)題(難點(diǎn))教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)【教學(xué)建議】【教學(xué)建議】1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的應(yīng)用(易錯(cuò)點(diǎn))2直線與拋物線的公共點(diǎn)問(wèn)題(易錯(cuò)點(diǎn))本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線之后， 學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗(yàn)， 所以教師可以讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)，探究拋物線的定義和方程

2、的推導(dǎo)過(guò)程。自己來(lái)總結(jié)幾何性質(zhì)?！局R(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入1.教材整理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.教材整理 1拋物線的幾何性質(zhì)閱讀教材 p52表格的部分，完成下列問(wèn)題.3.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)4.p 的幾何意義二、知識(shí)講解考點(diǎn) 1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和類型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)2拋物線的焦點(diǎn)弦考點(diǎn)圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線 pf,02pf,02p f0,2p f0,2px2x0，yr rpx2x0，yr ry 軸o(0,0)e1py2xr r，y0py2xr r，y0性質(zhì)范圍對(duì)稱軸頂點(diǎn)離心率開(kāi)口方向x 軸向右向左向上向下閱讀教材 p52例 1 上面的部分

3、，完成下列問(wèn)題拋物線的焦點(diǎn)弦即為過(guò)焦點(diǎn)f的直線與拋物線所成的相交弦弦長(zhǎng)公式為在所有的焦點(diǎn)弦中以垂直于對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)最短，a0b0 2p稱ab x1 x2 p，為拋物線的通徑三 、例題精析類型一類型一 求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線例題 12(1)拋物線2y 3x 0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_準(zhǔn)線方程是_(2)若拋物線的方程為y ax_3【解析】(1)拋物線 2y23x0 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2x，2333p33，0 ，準(zhǔn)線方程是 x.2p ，p ， ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是8242881(2)拋物線方程 yax2(a0)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：x2y，a2a 0，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 _，準(zhǔn)線方程為111p110，

4、準(zhǔn)線方程是y.當(dāng) a0 時(shí)，則2p ，解得p， ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是4aa2a24a4a1p1當(dāng) a0)，將點(diǎn)(1，3)的坐標(biāo)代入11方程，得(1)22p(3)，解得 p ，所以所求拋物線方程為x2y.63法二：由已知，拋物線的焦點(diǎn)在y 軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)又拋物11線過(guò)點(diǎn) 1，3 ，所以 1m(3)，即 m ，所以所求拋物線方程為x2y.33(2)法一：設(shè)所求拋物線方程為 y22px(p0)或 x22py(p0)，將點(diǎn)(4，8) 的坐標(biāo)代入 y22px，得 p8；將點(diǎn)(4，8)的坐標(biāo)代入 x22py，得p1.所以所求拋物線方程()為 y216x 或 x22y.法二：當(dāng)焦點(diǎn)在x

5、軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以 644n，即 n16，拋物線的方程為 y216x；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以 168m，即 m2，拋物線的方程為x22y.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x 或 x22y.x0，x0，y0，y0，(3)由得由得x2y40，x2y40，x4.y2，p所以所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，由 2，得p4，2p所以所求拋物線方程為 x28y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，由 4，得 p8，所以所求拋物線方2程為 y216x.綜上所述，所求拋物線方程

6、為x28y 或 y216x.【總結(jié)與反思】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程都是先定位， 即根據(jù)題中條件確定拋物線的焦點(diǎn)位置； 后定量，即求出方程中的 p 值，從而求出方程(1)定義法：先判定所求點(diǎn)的軌跡是否符合拋物線的定義，進(jìn)而求出方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定參數(shù)值對(duì)于對(duì)稱軸確定，開(kāi)口方向也確定的拋物線，根據(jù)題設(shè)中的條件設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程：y2 2pxp 0, y2 2pxp 0,x2 2pyp 0,x2 2pxp 0進(jìn) 行 求解， 關(guān)鍵是能夠依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)首先確定出拋物線方程的形式， 然后采用待定系數(shù)法求出其標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)于對(duì)稱軸確定，而開(kāi)口方向不確定的拋物線：

7、當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，可將拋物線方程設(shè)為y axa 0；2當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，可將拋物線方程設(shè)為x aya 0，再根據(jù)條件求a.2類型三類型三 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的應(yīng)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的應(yīng)用例題 3(1)設(shè) p 是曲線 y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 求點(diǎn) p 到點(diǎn) b(1,1)的距離與點(diǎn) p 到直線 x1的距離之和的最小值(2)已知拋物線 y22x 的焦點(diǎn)是 f，點(diǎn)p 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)a(3,2)，求 papf的最小值，并求出取得最小值時(shí)點(diǎn)p 的坐標(biāo)【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)為 o(0,0)，p2，準(zhǔn)線方程為 x1，焦點(diǎn) f 坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn) p 到點(diǎn) b(1,1)的距離與

8、點(diǎn) p 到準(zhǔn)線 x1 的距離之和等于 pbpf.如圖，pbpfbf，當(dāng)b，p，f 三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)bf 5.(2)將 x3 代入拋物線方程 y22x，得 y 6. 62，a 在拋物線內(nèi)部1設(shè)拋物線上點(diǎn) p 到準(zhǔn)線 l：x 的距離為 d，由定義知 papfpad.由圖可知，當(dāng)277apl 時(shí)，pad 最小，最小值為，即 papf 的最小值為 ，此時(shí)點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為 2，代22入 y22x，得 x2，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(2,2)【總結(jié)與反思】(1)把點(diǎn) p 到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn) p 到焦點(diǎn) f 的距離，利用 pbpfbf 求解(2)把點(diǎn) p 到焦點(diǎn) f 的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn) p 到準(zhǔn)線的距離，

9、利用垂線段時(shí)最短求解類型四：拋物線的幾何性質(zhì)類型四：拋物線的幾何性質(zhì)x2y22(1)已知雙曲線c1：221a 0,b 0的離心率為 2.若拋物線c2:x 2pyp 0ab的焦點(diǎn)到雙曲線c1的漸近線的距離為 2，則拋物線c2的方程為_(kāi)(2)已知拋物線的焦點(diǎn) f 在 x 軸正半軸上，直線 l 過(guò) f 且垂直于 x 軸，l 與拋物線交于 a，b例題 4兩點(diǎn)，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，若oab 的面積等于 4，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)x2y2【自主解答】(1)雙曲線c1:221a 0,b 0的離心率為 2，abp 雙曲線的漸近線方程為3x y 0，拋物線c2：x2 2pyp 0的焦點(diǎn)0,到雙2曲線的漸近線的距離

10、為p302222，p8.所求的拋物線方程為x 16y.2(2)不妨設(shè)拋物線的方程為y 2px，如圖所示，ab 是拋物線的通徑，ab2p，又 of111121p，soababof 2pp p 4 p 2 2222222所以拋物線的方程為y 4 2x2【答案】(1)x 16y；(2)y 4 2x2類型五類型五 拋物線的最值問(wèn)題拋物線的最值問(wèn)題例題求拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 4x3y80 的最小距離.【精彩點(diǎn)撥】本題的解法有兩種：法一，設(shè) p(t，t2)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn) p 到直線|4t3t28|的距離為 d，再利用二次函數(shù)求最小距離；法二，設(shè)直線 4x3ym0 與直5線 4x3y80 平行且與

11、拋物線相切，求出m 的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離【解析】法一：設(shè) p(t，t2)為拋物線上的點(diǎn)，它到直線 4x3y80 的距離|4t3t28|3t24t8|d5524當(dāng) t 時(shí)，d 有最小值.33法二：如圖，設(shè)與直線 4x3y80 平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，2yx，4由消去 y 得 3x24xm0， 1612m0，m.34x3ym0，最小距離為84203345.53類型六類型六 拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦例題 65已知過(guò)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于 a，b 兩點(diǎn)，且 abp，求 ab 所2在的直線方程【精彩點(diǎn)撥】求 ab 所在直線的方程的

12、關(guān)鍵是確定直線的斜率k，利用直線 ab 過(guò)焦5點(diǎn) f，abx1x2p p 求解2p【解析】由題意可知，拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線為 x.2設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為da，db.pp由拋物線的定義，知 afdax1，bfdbx2，2253于是 abx1x2p p，x1x2 p.22p5當(dāng) x1x2時(shí)，ab2p0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊oa 與 ob的長(zhǎng)分別為 1 和 8，求拋物線的方程答案與解析1.【答案】y8x15【解析】顯然斜率不存在時(shí)的直線不符合題意設(shè)直線斜率為k，則直線方程為y 1 kx22消去x得ky 16y1

13、612k0y1 kx2，由2y 16xk 8，代入得y 8x15.2. 【答案】拋物線方程為y28x；m2 6.p ，0，【解析】法一：由題意可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)為 f22m6p，因?yàn)辄c(diǎn) m 在拋物線上，且 mf5，所以有p325，m22p4，p4，解得或m2 6m2 6.故所求的拋物線方程為 y28x，m 的值為2 6.pp ，0，法二： 由題可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)， 則焦點(diǎn)為 f準(zhǔn)線方程為 x ，22根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn) m 到焦點(diǎn)的距離等于 5，也就是 m 到準(zhǔn)線的距離為 5，p則 3 5，2p4，拋物線方程為 y28x.又點(diǎn) m(3，m)在拋物線上，m

14、224，m2 6.3. 【答案】4.1 米【解析】如圖所示：(1)依題意，設(shè)該拋物線的方程為x22py(p0)，5因?yàn)辄c(diǎn) c(5，5)在拋物線上，所以 p.2所以該拋物線的方程為 x25y.(2)設(shè)車輛高 h，則 dbh0.5，故 d(3.5，h6.5)，代入方程 x25y，解得 h4.05，所以車輛通過(guò)隧道的限制高度為4.1 米.4. 【答案】拋物線方程為y24 5x.51【解析】設(shè)直線 oa 的方程為 ykx，k0 ，則直線 ob 的方程為 yx，kykx，2p由得 x0(舍)或 x2，ky22px，2p2p2a 點(diǎn)坐標(biāo)為k2，k，b 點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk ，2pk)，由|oa|1，|ob|8

15、，2k2111644p4262k可得解方程組得k 64，即k 4.則p 22，kk 154p2k2k21 642 5又 p0，則 p，5故所求拋物線方程為 y2五 、課堂小結(jié)1. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)4 5x.52. 拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用3. 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式4. 拋物線中的最值問(wèn)題六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)51拋物線 x22y 上的點(diǎn) m 到其焦點(diǎn) f 的距離 mf ，則點(diǎn) m 的坐標(biāo)是_22已知f 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，a，b 是該拋物線上的兩點(diǎn)，afbf3，則線段ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為_(kāi)3若動(dòng)圓與圓(x2)2y21 外切，又與直線 x10 相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)4在平面直

16、角坐標(biāo)系 xoy 中，有一定點(diǎn) a(2,1)若線段 oa 的垂直平分線過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_答案與解析答案與解析1.【答案】(2,2)151 ，y2，所【解析】設(shè)點(diǎn) m(x，y)，拋物線準(zhǔn)線為y ，由拋物線定義， y222以 x22y4，x2，所以點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(2,2)2. 【答案】543【解析】如圖，由拋物線的定義知，ambnafbf3，cd ，所以中點(diǎn) c 的橫23155坐標(biāo)為 ，即 c 到 y 軸的距離為.24443. 【答案】y28x【解析】設(shè)動(dòng)圓半徑為 r，動(dòng)圓圓心 o(x，y)到點(diǎn)(2,0)的距離為 r1.o到直線 x1 的距離為 r，o到(

17、2,0)的距離與 o到直線 x2 的距離相等，由拋物線的定義知?jiǎng)訄A圓心的軌跡方程為 y28x.54.【答案】x45【解析】由題意可求出線段 oa 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn)4，0，此點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，5故準(zhǔn)線方程為 x.42鞏固1. （蘇北三市三模） 6 已知點(diǎn)f為拋物線y 4x的焦點(diǎn)， 該拋物線上位于第一象限的點(diǎn)a到其準(zhǔn)線的距離為 5，則直線af的斜率為2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若拋物線y 2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)4， 2，則實(shí)數(shù)p 23.(南京鹽城一模)6 在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 已知拋物線c的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在x軸上，若曲線c經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(1,3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.x2y24.（蘇北

18、四市期末）7拋物線y 4x的焦點(diǎn)到雙曲線1漸近線的距離為169答案與解析答案與解析21.【答案】43【解析】聯(lián)立方程求 a 點(diǎn)坐標(biāo)，再求斜率。12. 【答案】2【解析】代入方程求解3. 【答案】92【解析】代入方程求解4. 【答案】35【解析】點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用.拔高21.(2019南京、鹽城、徐州二模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線c：x 4y的焦點(diǎn)為f，定點(diǎn)a(2 2，0)，若射線fa與拋物線c相交于點(diǎn)m，與拋物線c的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)n，則fmmn=.2.(1)已知m為拋物線y 4x上一動(dòng)點(diǎn)，f為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)p(3，1)，求mp+mf的2最小值.(2)給定拋物線y 2x，設(shè)a

19、a,0,a 0，p是拋物線上的一點(diǎn)，且pa=d，試求d的最小2值.3. (2019蘇北四市期末)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y 2px(p0)的準(zhǔn)線方程2為x=-1，過(guò)點(diǎn)m(0，-2)作拋物線的切線ma，切點(diǎn)為a(異于點(diǎn)o).直線l過(guò)點(diǎn)m，與拋物線4交于b，c兩點(diǎn)，與直線oa交于點(diǎn)n.(1)求拋物線的方程.(2)試問(wèn)：mnmn+的值是否為定值?若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.mbmc4.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦(經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦)ab的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y1y2y2)，則的值一定為.x1x2答案與解析答案與解析1.【答案】13【解析】方法一：

20、由題意得 f(0，1)，所以直線af的方程為x2 2+y=1，將它與拋物線方程1x 2，1 x -2 2，2，m聯(lián)立解得依題意知交點(diǎn)在第一象限，故取.準(zhǔn)線方程為1或2y 2.y 21fm2=1.y 1，故易求得點(diǎn)n(42，-1)，所以由三角形相似性質(zhì)得=mn1-(-1)32fm=1.方法二：如圖，設(shè)點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離為mb，則根據(jù)條件得mb1-(例2)1212=-=，又因?yàn)閒(0，1)，所以直線fa的斜率為k=，從而sinanb=-2 24183即mb1fm1=，所以=.mn3mn32. 【答案】(1)(mp+mf)min=1+3=4.(2)0a0，x00，因此，當(dāng)0a0，此時(shí)有x0=0，dmin=(1-a)22a-1=