《選修11：拋物線的標準方程和幾何性質》教案

1、適用學科適用學科適用區(qū)域適用區(qū)域知識點知識點教學目標教學目標高中數(shù)學蘇教版區(qū)域適用年級適用年級課時時長（分鐘）課時時長（分鐘）高二2 課時拋物線的標準方程和幾何性質1.掌握拋物線的標準方程，會求拋物線的標準方程(重點)2掌握拋物線的標準方程和幾何性質(重點)教學重點教學重點1拋物線標準方程與定義的應用(難點)2會用拋物線的幾何性質處理簡單問題(難點)教學難點教學難點【教學建議】【教學建議】1拋物線標準方程、準線、焦點的應用(易錯點)2直線與拋物線的公共點問題(易錯點)本節(jié)課是在學習了橢圓和雙曲線之后， 學生在學習方法上已經有了一定的經驗， 所以教師可以讓學生嘗試自主學習，探究拋物線的定義和方程

2、的推導過程。自己來總結幾何性質?！局R導圖】【知識導圖】教學過程一、導入1.教材整理拋物線的標準方程2.教材整理 1拋物線的幾何性質閱讀教材 p52表格的部分，完成下列問題.3.拋物線標準方程的推導4.p 的幾何意義二、知識講解考點 1拋物線的標準方程和類型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)2拋物線的焦點弦考點圖象焦點準線 pf,02pf,02p f0,2p f0,2px2x0，yr rpx2x0，yr ry 軸o(0,0)e1py2xr r，y0py2xr r，y0性質范圍對稱軸頂點離心率開口方向x 軸向右向左向上向下閱讀教材 p52例 1 上面的部分

3、，完成下列問題拋物線的焦點弦即為過焦點f的直線與拋物線所成的相交弦弦長公式為在所有的焦點弦中以垂直于對稱軸的焦點弦的弦長最短，a0b0 2p稱ab x1 x2 p，為拋物線的通徑三 、例題精析類型一類型一 求拋物線的焦點及準線求拋物線的焦點及準線例題 12(1)拋物線2y 3x 0的焦點坐標是_準線方程是_(2)若拋物線的方程為y ax_3【解析】(1)拋物線 2y23x0 的標準方程是 y2x，2333p33，0 ，準線方程是 x.2p ，p ， ，焦點坐標是8242881(2)拋物線方程 yax2(a0)化為標準形式：x2y，a2a 0，則拋物線的焦點坐標為 _，準線方程為111p110，

4、準線方程是y.當 a0 時，則2p ，解得p， ，焦點坐標是4aa2a24a4a1p1當 a0)，將點(1，3)的坐標代入11方程，得(1)22p(3)，解得 p ，所以所求拋物線方程為x2y.63法二：由已知，拋物線的焦點在y 軸上，因此設拋物線的方程為x2my(m0)又拋物11線過點 1，3 ，所以 1m(3)，即 m ，所以所求拋物線方程為x2y.33(2)法一：設所求拋物線方程為 y22px(p0)或 x22py(p0)，將點(4，8) 的坐標代入 y22px，得 p8；將點(4，8)的坐標代入 x22py，得p1.所以所求拋物線方程()為 y216x 或 x22y.法二：當焦點在x

5、軸上時，設拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過點(4，8)，所以 644n，即 n16，拋物線的方程為 y216x；當焦點在 y 軸上時，設拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過點(4，8)，所以 168m，即 m2，拋物線的方程為x22y.綜上，拋物線的標準方程為y216x 或 x22y.x0，x0，y0，y0，(3)由得由得x2y40，x2y40，x4.y2，p所以所求拋物線的焦點坐標為(0，2)或(4,0)當焦點為(0，2)時，由 2，得p4，2p所以所求拋物線方程為 x28y；當焦點為(4,0)時，由 4，得 p8，所以所求拋物線方2程為 y216x.綜上所述，所求拋物線方程

6、為x28y 或 y216x.【總結與反思】求拋物線的標準方程求拋物線方程都是先定位， 即根據題中條件確定拋物線的焦點位置； 后定量，即求出方程中的 p 值，從而求出方程(1)定義法：先判定所求點的軌跡是否符合拋物線的定義，進而求出方程(2)待定系數(shù)法：先設出拋物線的方程，再根據題中條件，確定參數(shù)值對于對稱軸確定，開口方向也確定的拋物線，根據題設中的條件設出其標準方程：y2 2pxp 0, y2 2pxp 0,x2 2pyp 0,x2 2pxp 0進 行 求解， 關鍵是能夠依據拋物線的幾何性質首先確定出拋物線方程的形式， 然后采用待定系數(shù)法求出其標準方程對于對稱軸確定，而開口方向不確定的拋物線：

7、當焦點在 x 軸上時，可將拋物線方程設為y axa 0；2當焦點在 y 軸上時，可將拋物線方程設為x aya 0，再根據條件求a.2類型三類型三 拋物線的標準方程及定義的應用拋物線的標準方程及定義的應用例題 3(1)設 p 是曲線 y24x 上的一個動點， 求點 p 到點 b(1,1)的距離與點 p 到直線 x1的距離之和的最小值(2)已知拋物線 y22x 的焦點是 f，點p 是拋物線上的動點，又有點a(3,2)，求 papf的最小值，并求出取得最小值時點p 的坐標【解析】(1)拋物線的頂點為 o(0,0)，p2，準線方程為 x1，焦點 f 坐標為(1,0)，點 p 到點 b(1,1)的距離與

8、點 p 到準線 x1 的距離之和等于 pbpf.如圖，pbpfbf，當b，p，f 三點共線時取得最小值，此時bf 5.(2)將 x3 代入拋物線方程 y22x，得 y 6. 62，a 在拋物線內部1設拋物線上點 p 到準線 l：x 的距離為 d，由定義知 papfpad.由圖可知，當277apl 時，pad 最小，最小值為，即 papf 的最小值為 ，此時點 p 的縱坐標為 2，代22入 y22x，得 x2，點 p 的坐標為(2,2)【總結與反思】(1)把點 p 到準線的距離轉化為點 p 到焦點 f 的距離，利用 pbpfbf 求解(2)把點 p 到焦點 f 的距離轉化為點 p 到準線的距離，

9、利用垂線段時最短求解類型四：拋物線的幾何性質類型四：拋物線的幾何性質x2y22(1)已知雙曲線c1：221a 0,b 0的離心率為 2.若拋物線c2:x 2pyp 0ab的焦點到雙曲線c1的漸近線的距離為 2，則拋物線c2的方程為_(2)已知拋物線的焦點 f 在 x 軸正半軸上，直線 l 過 f 且垂直于 x 軸，l 與拋物線交于 a，b例題 4兩點，o 是坐標原點，若oab 的面積等于 4，則此拋物線的標準方程為_x2y2【自主解答】(1)雙曲線c1:221a 0,b 0的離心率為 2，abp 雙曲線的漸近線方程為3x y 0，拋物線c2：x2 2pyp 0的焦點0,到雙2曲線的漸近線的距離

10、為p302222，p8.所求的拋物線方程為x 16y.2(2)不妨設拋物線的方程為y 2px，如圖所示，ab 是拋物線的通徑，ab2p，又 of111121p，soababof 2pp p 4 p 2 2222222所以拋物線的方程為y 4 2x2【答案】(1)x 16y；(2)y 4 2x2類型五類型五 拋物線的最值問題拋物線的最值問題例題求拋物線 yx2上的點到直線 4x3y80 的最小距離.【精彩點撥】本題的解法有兩種：法一，設 p(t，t2)為拋物線上一點，點 p 到直線|4t3t28|的距離為 d，再利用二次函數(shù)求最小距離；法二，設直線 4x3ym0 與直5線 4x3y80 平行且與

11、拋物線相切，求出m 的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離【解析】法一：設 p(t，t2)為拋物線上的點，它到直線 4x3y80 的距離|4t3t28|3t24t8|d5524當 t 時，d 有最小值.33法二：如圖，設與直線 4x3y80 平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，2yx，4由消去 y 得 3x24xm0， 1612m0，m.34x3ym0，最小距離為84203345.53類型六類型六 拋物線的焦點弦拋物線的焦點弦例題 65已知過拋物線 y22px(p0)的焦點 f 的直線交拋物線于 a，b 兩點，且 abp，求 ab 所2在的直線方程【精彩點撥】求 ab 所在直線的方程的

12、關鍵是確定直線的斜率k，利用直線 ab 過焦5點 f，abx1x2p p 求解2p【解析】由題意可知，拋物線 y22px(p0)的準線為 x.2設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 到拋物線準線的距離分別為da，db.pp由拋物線的定義，知 afdax1，bfdbx2，2253于是 abx1x2p p，x1x2 p.22p5當 x1x2時，ab2p0)有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊oa 與 ob的長分別為 1 和 8，求拋物線的方程答案與解析1.【答案】y8x15【解析】顯然斜率不存在時的直線不符合題意設直線斜率為k，則直線方程為y 1 kx22消去x得ky 16y1

13、612k0y1 kx2，由2y 16xk 8，代入得y 8x15.2. 【答案】拋物線方程為y28x；m2 6.p ，0，【解析】法一：由題意可設拋物線方程為y22px(p0)，則焦點為 f22m6p，因為點 m 在拋物線上，且 mf5，所以有p325，m22p4，p4，解得或m2 6m2 6.故所求的拋物線方程為 y28x，m 的值為2 6.pp ，0，法二： 由題可設拋物線方程為y22px(p0)， 則焦點為 f準線方程為 x ，22根據拋物線的定義，點 m 到焦點的距離等于 5，也就是 m 到準線的距離為 5，p則 3 5，2p4，拋物線方程為 y28x.又點 m(3，m)在拋物線上，m

14、224，m2 6.3. 【答案】4.1 米【解析】如圖所示：(1)依題意，設該拋物線的方程為x22py(p0)，5因為點 c(5，5)在拋物線上，所以 p.2所以該拋物線的方程為 x25y.(2)設車輛高 h，則 dbh0.5，故 d(3.5，h6.5)，代入方程 x25y，解得 h4.05，所以車輛通過隧道的限制高度為4.1 米.4. 【答案】拋物線方程為y24 5x.51【解析】設直線 oa 的方程為 ykx，k0 ，則直線 ob 的方程為 yx，kykx，2p由得 x0(舍)或 x2，ky22px，2p2p2a 點坐標為k2，k，b 點坐標為(2pk ，2pk)，由|oa|1，|ob|8

15、，2k2111644p4262k可得解方程組得k 64，即k 4.則p 22，kk 154p2k2k21 642 5又 p0，則 p，5故所求拋物線方程為 y2五 、課堂小結1. 拋物線的標準方程和幾何性質4 5x.52. 拋物線的幾何性質的應用3. 焦點弦長公式4. 拋物線中的最值問題六 、課后作業(yè)基礎51拋物線 x22y 上的點 m 到其焦點 f 的距離 mf ，則點 m 的坐標是_22已知f 是拋物線 y2x 的焦點，a，b 是該拋物線上的兩點，afbf3，則線段ab 的中點到 y 軸的距離為_3若動圓與圓(x2)2y21 外切，又與直線 x10 相切，則動圓圓心的軌跡方程為_4在平面直

16、角坐標系 xoy 中，有一定點 a(2,1)若線段 oa 的垂直平分線過拋物線y22px(p0)的焦點，則該拋物線的準線方程是_答案與解析答案與解析1.【答案】(2,2)151 ，y2，所【解析】設點 m(x，y)，拋物線準線為y ，由拋物線定義， y222以 x22y4，x2，所以點 m 的坐標為(2,2)2. 【答案】543【解析】如圖，由拋物線的定義知，ambnafbf3，cd ，所以中點 c 的橫23155坐標為 ，即 c 到 y 軸的距離為.24443. 【答案】y28x【解析】設動圓半徑為 r，動圓圓心 o(x，y)到點(2,0)的距離為 r1.o到直線 x1 的距離為 r，o到(

17、2,0)的距離與 o到直線 x2 的距離相等，由拋物線的定義知動圓圓心的軌跡方程為 y28x.54.【答案】x45【解析】由題意可求出線段 oa 的垂直平分線交 x 軸于點4，0，此點為拋物線的焦點，5故準線方程為 x.42鞏固1. （蘇北三市三模） 6 已知點f為拋物線y 4x的焦點， 該拋物線上位于第一象限的點a到其準線的距離為 5，則直線af的斜率為2在平面直角坐標系xoy中，若拋物線y 2px經過點4， 2，則實數(shù)p 23.(南京鹽城一模)6 在平面直角坐標系xoy中， 已知拋物線c的頂點在坐標原點， 焦點在x軸上，若曲線c經過點p(1,3)，則其焦點到準線的距離為.x2y24.（蘇北

18、四市期末）7拋物線y 4x的焦點到雙曲線1漸近線的距離為169答案與解析答案與解析21.【答案】43【解析】聯(lián)立方程求 a 點坐標，再求斜率。12. 【答案】2【解析】代入方程求解3. 【答案】92【解析】代入方程求解4. 【答案】35【解析】點到直線的距離公式的運用.拔高21.(2019南京、鹽城、徐州二模)在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線c：x 4y的焦點為f，定點a(2 2，0)，若射線fa與拋物線c相交于點m，與拋物線c的準線相交于點n，則fmmn=.2.(1)已知m為拋物線y 4x上一動點，f為拋物線的焦點，定點p(3，1)，求mp+mf的2最小值.(2)給定拋物線y 2x，設a

19、a,0,a 0，p是拋物線上的一點，且pa=d，試求d的最小2值.3. (2019蘇北四市期末)在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y 2px(p0)的準線方程2為x=-1，過點m(0，-2)作拋物線的切線ma，切點為a(異于點o).直線l過點m，與拋物線4交于b，c兩點，與直線oa交于點n.(1)求拋物線的方程.(2)試問：mnmn+的值是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.mbmc4.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點弦(經過焦點的弦)ab的兩端點坐標分別為a(x1，y1)，b(x2，y1y2y2)，則的值一定為.x1x2答案與解析答案與解析1.【答案】13【解析】方法一：

20、由題意得 f(0，1)，所以直線af的方程為x2 2+y=1，將它與拋物線方程1x 2，1 x -2 2，2，m聯(lián)立解得依題意知交點在第一象限，故取.準線方程為1或2y 2.y 21fm2=1.y 1，故易求得點n(42，-1)，所以由三角形相似性質得=mn1-(-1)32fm=1.方法二：如圖，設點m到準線的距離為mb，則根據條件得mb1-(例2)1212=-=，又因為f(0，1)，所以直線fa的斜率為k=，從而sinanb=-2 24183即mb1fm1=，所以=.mn3mn32. 【答案】(1)(mp+mf)min=1+3=4.(2)0a0，x00，因此，當0a0，此時有x0=0，dmin=(1-a)22a-1=