高等有限元課后題答案(1)

1、2 彈性力學(xué)問題的有限單元法思 考 題2.1 有限元法離散結(jié)構(gòu)時為什么要在應(yīng)力變化復(fù)雜的地方采用較密網(wǎng)格，而在其他地方采用較稀疏網(wǎng)格？答：在應(yīng)力變化復(fù)雜的地方每一結(jié)點與相鄰結(jié)點的應(yīng)力都變化較大，若網(wǎng)格劃分較稀疏， 則在應(yīng)力突變處沒有設(shè)置結(jié)點，而使得所求解的誤差很大，若網(wǎng)格劃分較密時， 則應(yīng)力變化復(fù)雜的地方可以設(shè)置更多的結(jié)點，從而使得所求解的精度更高一些。2.2 因為應(yīng)力邊界條件就是邊界上的平衡方程，所以引用虛功原理必然滿足應(yīng)力邊界條件，對嗎？答：對。2.3 為什么有限元只能求解位移邊值問題和混合邊值問題？彈性力學(xué)中受內(nèi)壓和外壓作用的圓環(huán)能用有限元方法求解嗎？為什么？答：有限元法是一種位移解法，

2、 故只能求解位移邊值問題和混合邊值問題。而應(yīng)力邊值問題沒有確定的位移約束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。2.4 矩形單元旋轉(zhuǎn)一個角度后還能夠保持在單元邊界上的位移協(xié)調(diào)嗎？答：能。矩形單元的插值函數(shù)滿足單元內(nèi)部和單元邊界上的連續(xù)性要求，是一個協(xié)調(diào)元。矩形的插值函數(shù)只與坐標(biāo)差有關(guān)，旋轉(zhuǎn)一個角度后各個結(jié)點的坐標(biāo)差保持不變，所以插值函數(shù)保持不變。 因此矩形單元旋轉(zhuǎn)一個角度后還能夠保持在單元邊界上的位移協(xié)調(diào)。2.5 總體剛度矩陣呈帶狀分布，與哪些因素有關(guān)？如何計算半帶寬？答：因素：總體剛度矩陣呈帶狀分布與單元內(nèi)最大結(jié)點號與最小結(jié)點號的差有關(guān)。計算：設(shè)半帶寬為b，每個結(jié)點的自由度為n，各單元

3、中結(jié)點整體碼的最大差值為d，則 b=n(d+1)，在平面問題中n=2。2.6 為什么單元尺寸不要相差太大，如果這樣，會導(dǎo)致什么結(jié)果？答：由于實際工程是一個二維或三維的連續(xù)體，將其分為具有簡單而規(guī)則的幾何單元， 這樣便于網(wǎng)格計算， 還可以通過增加結(jié)點數(shù)提高單元精度。在幾何形狀上等于或近似與原來形狀，減小由于形狀差異過大帶來的誤差。若形狀相差過大，使結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析困難加大，誤差同時也加大。2.7 剖分網(wǎng)格時，在邊界出現(xiàn)突變和有集中力作用的地方要設(shè)置結(jié)點或單元邊界，試說明理由。答：有限元處于彈性力學(xué)問題的方法是離散法。它將一個受外力作用的連續(xù)彈性體離散成一定數(shù)量的有限小的單元集合體，單元之間只在結(jié)點上

4、相互聯(lián)系， 即只有結(jié)點才能傳遞力。 所以在邊界出現(xiàn)突變和有集中力作用的地方要設(shè)置結(jié)點和單元邊界。2.8 為什么說三角形三結(jié)點單元是常應(yīng)變單元，如果在每邊中點增加一個結(jié)點，那么單元內(nèi)應(yīng)力如何分布？答：(1)應(yīng)變矩陣 b 中的參數(shù)mjimjicccbbb、由坐標(biāo)變量 x、y 之差確定。當(dāng)單元的坐標(biāo)差確定之后，這些參數(shù)與坐標(biāo)變量x、y 無關(guān)，因此b 為常量陣。當(dāng)單元的結(jié)點位移 a 確定后，由b 轉(zhuǎn)換求得的單元應(yīng)變都是常量，也就是說在荷載作用下單元中各點具有統(tǒng)一的xyyx、值。因此三結(jié)點三角形單元稱為常應(yīng)變單元。(2)如果在每邊中點增加一個結(jié)點，單元內(nèi)的應(yīng)力為線性分布。習(xí)題2.1 試證明 x、y 與面

5、積坐標(biāo)的關(guān)系證明:設(shè) p點坐標(biāo)為（ x,y）jjpijyxyxyxaii11121ycxbayxxxyyyxyxxyyxyxyxxyyxmmmijjiijjijijijiji212121同理可求得：由 面 積 坐 標(biāo) 定義得：ycxbaaaaliiiijmpjmi21ycxbayxyxyxaycxbayxyxyxajjjiimmpmiiiimmjjpjm21111212111121ycxbaaaaljjjijmpmij21ycxbaaaalmmmijmpijm21由此推出坐標(biāo)yx、與面積坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系：22jiijjiijijjimjjmmjmjmjjma c lc la ca cxbcb c

6、a b lb la bb ayb cb c式（2.1）面積：miimjmmjijjimjicbcbcbcbcbcbaaaa2代入式（ 2.1）有：mjjmmjjmjmmjijjijiijjiijcbcbbabalblbycbcbcacalclcx其中形狀參數(shù)由下式確定：mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111代入上式（ 2.1）可轉(zhuǎn)化為：mmjjiimmjjiilylylyylxlxlxx再加上mjilll1所以用面積坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)矩陣形式如下：mjimjimjilllyyyxxxyx11112.2 試證明兩相似三角形的單元剛度矩陣相同。證明：由于

7、兩個三角形相似，故設(shè)haa21，h為一常數(shù)。三角形：111121ijjiicbcba111111imjmjiyybyyb111111imjmjixxcxxc參數(shù)jijiccbb、，只與坐標(biāo)差有關(guān)，所以hbbii121hccii121單元剛度矩陣通式為：hbbbbsrsr12211haa121故21rsrskk所以mmmjmijmjjjiimijiitekkkkkkkkktabdbkeekk21因此兩相似三角形的單元剛度矩陣相同。2.3 直角三角形固定在剛性基礎(chǔ)上，受齊頂?shù)乃畨毫妥灾刈饔?，如圖 2.14 所示。若按一個單元計算，水的容重g，三角形平面構(gòu)件容重g,取泊松比v=1/6，試求頂點位移

8、和固定面上的反力。解：按逆時針編碼，局部編碼與整體編碼相同：1-2-3 建立坐標(biāo))0,0(3)3,0(20,21:aaxoy（1）求形函數(shù)矩陣：srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbaetk21212121142aaaa600321abbab303321acacc220321圖（2.14）形函數(shù) : )(21ycxbaaniiii233221aaaa所以：ayaxnaynaxn32132321形函數(shù)的矩陣為：ayaxayaxayaxayaxnnnnmji3210302003210302（2）剛度矩陣333231232221131211kkkkkkkkkkesrsr

9、srsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbaetk21212121142125213531416122aeaett可得：400353534150093532211ekek0251035343127273323531233ekek215251935313ek41253535323ek（3）位移列向量和右端項由邊界條件可確定：teua000022水壓力和構(gòu)件厚分別為：10tghp431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353ekettetlqhqhqr0320310020306000001自重為 w 與支座

10、反力：tyxyxewrrwwrrr330333112所以：tyxyxewrhqrwhqwrrr33363303011由eeerak得到下列矩陣方程組：33363000030301122wrhqrwhqwrruyxyx化簡得：3640035353022whque431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353eke可得：ewehqu363567022將22u代入下式：333425135025103533031122wrhqrwrrueyxyx固定面上的反力：ahgaghq330從而可得支座反力為：43221234120303

11、011hqwrhqwrwhqrwryxyx2.4 試從式（ 2.69）說明對角線元素改1 法只能用于給定零位移的情形，而對角元素充大數(shù)法可以適用任意指定位移的情形。解： （1）在式（ 2.69）中，ababaaarakak 采用對角線元素改一法，則：aaaaaak 所以在式（ 2.69a）中可改為：ababaaaka 需滿足：abaa因為 ：abk 為非零矩陣所以 ：ba應(yīng)需為向量則這種方法只能用于給定零位移。（2）同上在式（ 2.69a）中akraaa（其中可取2010左右甚至更大的量級）根據(jù)主元充大數(shù)：akakakaababaaa aaaak babak 由于所以右邊近似等于aaaak 所

12、以左邊等于右邊即主元充大數(shù)法滿足任何給定位移（零值和非零值）2.5 仿照例 2.3，試證明矩形單元是完備協(xié)調(diào)元。. . bbbbabarakak 證明：在平面問題中，場函數(shù)為位移場函數(shù)，4 結(jié)點矩形單元的位移插值函數(shù)為：xyyxu4321平面問題的泛函數(shù)中所包含的物理量的最高導(dǎo)數(shù)為2 階，而位移插值函數(shù)中包含的位移場函數(shù) （考慮到對稱性， 位移插值函數(shù)中只取了 xy 項）及其直至 2 階的完全多項式，所以是完備的。要證明協(xié)調(diào)性，只需考慮單元邊界上的連續(xù)性。為此，參考上圖，對于 j-m 邊的公共結(jié)點 j，m 的位移ju，mu完全確定，所以在邊界上是協(xié)調(diào)的。2.6 仿照例 2.3，試證明圖 2.1

13、5所示任意四邊形單元在選取位移模式xyyxu4321是完備的但不是協(xié)調(diào)的。證明：完備性證明同2.5；協(xié)調(diào)性：對于邊i-j，直線方程為bxay所以代入上式，得 : 2244323124433214321)()(x)()(xcxbabxxababxaxbxabxaxbxaxu公共邊 i-j，i，j 兩點的位移不能完全確定a，b，c三個為未知量故任意四邊形單元是完備的但不是協(xié)調(diào)的。2.7 上端受均布荷載作用的墻體視為平面構(gòu)件，如圖2.16(a)所示，劃分成為 8 個單元如圖 2.16(b)，試在圖 2.16(b)上畫出邊界條件和等效結(jié)點荷載；倘若利用對稱性取一半，如圖2.16(c)，試在圖 2.16

14、(c)上畫出邊界條件和等效結(jié)點荷載。設(shè)e=30gpa，v=1/6，均布荷載q=20kn/m，試按圖 2.16(c)求構(gòu)件的結(jié)點位移。3 單元和插值函數(shù)思 考 題3.1什么是面積坐標(biāo)？如何計算三角形內(nèi)某點的面積坐標(biāo)？答：(1)如（a）圖所示，三角形內(nèi)任一點p（x，y） ，將 p與三角形三個頂點 i，j，m 連成 3 個三角形。令ia為 i 點所對應(yīng)三角形 pjm 的面積，ja 為 j 點所對應(yīng)的三角形pmi 的面積，ma為 m 點所對應(yīng)的三角形 pij 的面積，面積坐標(biāo)定義為：rl=ra/a（i，j，m） ，其中 a 為三角形 ijm 的面積，點 p（x，y）用面積坐標(biāo)可以寫為p（il，jl，m

15、l） ，且il+jl+ml=1。（2）求某點面積坐標(biāo)除用定義外， 還可用如圖（b）所示的方法，即三角形內(nèi)某點的面積坐標(biāo)可通過同底三角形的高度比來計算。如圖（b）中的il=hi/ih 。（a）(b) 圖 3.3 面積坐標(biāo)3.2 什么是劃線法？如何用劃線法形成單元的插值函數(shù)？答： （1）劃線法是根據(jù)形函數(shù)的0-1 特性，將需要等于零的各結(jié)點用直線連接起來（劃線）；（2）在該直線上為零，則在該直線上的各結(jié)點的值也為零，為此形函數(shù)一定包含了該直線方程的因子，將需要等于零的各個因子乗起來即得到該單元的行函數(shù)。3.3 下列平面單元的位移具有連續(xù)性嗎？（1）平面三角形二次單元；連續(xù)（2）平面三角形三次單元；

16、連續(xù)（3）8 結(jié)點矩形單元；連續(xù)（4）8 結(jié)點任意四邊形單元。連續(xù)3.4 下列單元滿足收斂的充分必要條件ni=1 嗎？（1）平面三角形三次單元；滿足（2）變結(jié)點單元；滿足（3）長方體 20 結(jié)點單元。滿足3.5 對于非協(xié)調(diào)的薄板單元如何進(jìn)行分片檢驗？答： 當(dāng)賦予單元片各個結(jié)點以與常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的位移值和載荷值時，校驗0)(m1eijeeijpak是否滿足，如能滿足則認(rèn)為通過分片檢驗。3.6在平面殼單元中如何判別共面點？可用什么方法進(jìn)行處理？答： （1）在平面殼體單元中，如果某一點的各個單元面法向不同，經(jīng)局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到整體坐標(biāo)后，該點的總體位移有6 個，若方向相同，常稱此點為共面點。（2）處理方

17、法有兩種：i、在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立結(jié)點平衡方程，并刪去zi方向的平衡方程，于是剩下的方程滿足唯一解的條件。ii、在此結(jié)點上，給一任意的的剛度系數(shù)zk，這時在局部坐標(biāo)系中，此結(jié)點在zi方向的平衡方程zi0zk經(jīng)變換后，總體坐標(biāo)中的系統(tǒng)方程滿足唯一條件，它不影響單元應(yīng)力。習(xí)題3.1試?yán)妹娣e坐標(biāo)構(gòu)造10 結(jié)點三角形單元（圖3.22）的 9、10結(jié)點的插值函數(shù)。解：利用劃線法可得：)31(13199llln32)9(1l31)9(3l19n即)3132(3232192279所以)13(29)31(2271311319lllllln3211010llln31)10(3)10(2)10(1lll2710所

18、以3211027llln3.2利用構(gòu)造變結(jié)點數(shù)單元插值函數(shù)的方法，構(gòu)造圖 3.22所示三次三角形單元的插值函數(shù)，并和式（3.5）的結(jié)果進(jìn)行比較。解：由劃線法可得3211013193318332723262215121427)13(29)13(29) 13(29) 13(29) 13(29)13(29lllnlllnlllnlllnlllnlllnllln設(shè)1n為原三結(jié)點三角形的形函數(shù)，即11ln10109988554411nnnnnnn0)4(1n14n其余點在 4 結(jié)點的形函數(shù)均為0，32)4(1l所以132043240)5( 1n，15n， 其余點在 5 結(jié)點的形函數(shù)均為0，31)5(1l

19、311310551 ( 8 )0n，81n，其余結(jié)點在 8 點的形函數(shù)為 0，1(8)13l8131(9)0n，91n，其余點在 9 結(jié)點的形函數(shù)均為0，1(9)23l923同理10131(10)1(10)101011103nl故109854113132313132nnnnnln以此類推109867331067542231313231323132313231nnnnnlnnnnnnln經(jīng)與式（ 3. 5）比較，所得結(jié)果相同。3.3利用構(gòu)造變結(jié)點數(shù)單元插值函數(shù)的方法，構(gòu)造圖3.23 中 8、9結(jié)點單元的插值函數(shù)。解：原 8 結(jié)點標(biāo)準(zhǔn)母單元的形函數(shù)為：218)1)(1()1)(1)(1)(1(22

20、99n修正8n9988nann12109)9(8)9(8nnn21121099所以)1)(1()1)(1 (21)1)(1 (21)1)(1(21212292222988nnnn)1)(1(21)1)(1)(1(288n圖 3.22 習(xí)題 3.1.3.2圖圖 3.23 習(xí)題 3.3 圖3.4 利用構(gòu)造變節(jié)點單元插值函數(shù)的方法、構(gòu)造圖3.16（b）所示五面體單元的插值函數(shù)，并驗證它們是否符合插值函數(shù)的性質(zhì)。解：利用劃線法可求得以下各量：矩形邊內(nèi)結(jié)點：)1)(1()1)(1()1)(1(392817lnlnln圖（3.16）上三角形邊內(nèi)結(jié)點：)1(2)1(2)1(2131232112110llnl

21、lnlln下三角形邊內(nèi)結(jié)點：)1(2)1(2)1(2131532142113llnllnlln1n為沒有 7、8、9 三點的 1 結(jié)點形函數(shù)7711111)1)(12(21nnnlln0)7(1n1)7(7n1)7(1l21011112177所以)1(21)1)(12(2121111llln同理可求得)1(21)1)(12(21)1(21)1)(12(21)1(21)1)(12(21)1(21)1)(12(21)1(21)1)(12(212111621115211142313322222lllnlllnlllnlllnllln經(jīng)驗證1151iin滿足插值函數(shù)的性質(zhì)。3.4試分析六結(jié)點三角形單元

22、的協(xié)調(diào)性。解：如下圖所示， 6 結(jié)點三角形單元的位移插值函數(shù)為：22123456uxyxxyy設(shè)公共邊2ij的直線方程為：y=ax+b 代入上式得：2123uxx由于1，2，3可由邊界公共點2ij的位移iu，2u，ju完全確定，所以在邊界上是協(xié)調(diào)的。3.5如果三角形板單元的位移函數(shù)是223223123456789uxyxxyyxx y xyy驗證當(dāng)單元的兩邊分別平行于坐標(biāo)軸且長度相等時，決定參數(shù)1，2，9 的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是奇異的。證明：22322312 13 14 15 1 16 17 18111 19122322312 2324 25 226272822229222322312 33

23、34 35 336 3738333 39 3xyxxyyxx yxyyxyxx yyxx yx yyxyxx yyxx yx yy因為 u，v 與129,.,無關(guān)，故可寫出129,.,的系數(shù)矩陣方程為：2232231111111111111112232232222222222222222232233333333333333331()0000000000000000001()0000000000000000001()0000000000000wxyxx yyxx yx yyuvwxyxx yyxx yx yyuvwxyxx yyxx yx yyuv12345678900000顯然決定參數(shù) 2，9

24、 的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是奇異的。3.6利用單元位移函數(shù)的完全性確定式（3.21） 的常數(shù) c 的數(shù)值（提示：常應(yīng)變項可表示為112223331l ll ll l） 。3.7圖 3.24所示圓柱面，用三角形平板薄殼單元剖分，是判斷共面點與非共面點。圖 3.24 用三角形平板薄殼單元剖分的圓柱面4 等參單元思 考 題4.1 4.9 為什么j的行列式必須大于零？幾何形狀上應(yīng)該如何？答：參數(shù)變換是一個對有限元網(wǎng)格的數(shù)學(xué)變換過程，只要數(shù)學(xué)上成立即可。從數(shù)學(xué)只是可知， 兩個直角坐標(biāo)之間一一變換成立的充要條件是0j，因此等參變換也必須服從此條件。如果0j，則1j不存在，產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)和微元轉(zhuǎn)換都不存在，變換不成

25、立。欲使0j，應(yīng)該保證單元形狀是外凸的，不能出現(xiàn)內(nèi)凹的現(xiàn)象。一般說來，0j會導(dǎo)致剛度矩陣奇異，要求單元的內(nèi)角小于135。習(xí)題4.1 4.5 證明：若在-1,1區(qū)間內(nèi)的任意二次、 三次曲線在13兩點和一直線相交，則曲線下的面積和直線下的面積相等。證明： （1）設(shè)任意二次曲線為12( )()()p，則13時，11212111( )()()333pp，13時，21212111( )()()333pp所以直線方程為：2111212( )( )11( )()( )()3323ppp在區(qū)間 -1,1內(nèi)的任意二次曲線下的面積為：1111212112( )()()23apdd直線下的面積為：112121212

26、1112( )()233add所以12aa， 即在-1,1區(qū)間內(nèi)任意二次曲線下的面積和直線下的面積相等；（2）設(shè)任意三次曲線為123( )()()()f，則13時，111231223311231111( )()()()333 33ff，13時，221231223311231111( )()()()333 33ff所以直線方程為：21112233 1123123( )( )1( )()( )32311()()33fff在區(qū)間 -1,1內(nèi)的任意三次曲線下的面積為：111123123123112( )()()()()23afdd直線下的面積為：1121223311231231112312311( )

27、()()332()23add所以12aa， 即在-1,1區(qū)間內(nèi)任意三次曲線下的面積和直線下的面積相等；4.6 試推導(dǎo)出一維 3 階高斯積分點的位置及權(quán)系數(shù)。解：對于 n=3 有：三次多項式123( )()()()p，n=3, 積分點位置應(yīng)該滿足11( )0ipd，有i=0，11231()()()0di=1，11231()()()0di=2，121231()()()0d得到聯(lián)立方程：1231231223311231231()033511()35求聯(lián)立方程的解為1233 50.7745966692414830積分權(quán)系數(shù)為，即：111( )niihld123121121311132212123211

28、232131321()()150.555555556()()39()()150.555555556()()39()()220.888888889()()3hdhdhd5 材料非線性有限元法思 考 題5.1 固體力學(xué)中有哪幾類非線性問題？各有什么特點？答：一類是不依賴于時間的彈塑性問題，其特點是當(dāng)荷載作用后，材料立即發(fā)生變形，并且不再隨時間而變化。第二類是依賴于時間的粘彈塑性問題，其特點是當(dāng)荷載作用后，材料不僅立即發(fā)生變形，而且變形隨時間而繼續(xù)變化。5.2 什么是非線性彈性？什么是塑性？什么是蠕變？他們之間的共同點和不同點是什么？答：非線性彈性： 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，但卸載后所有的變形

29、和位移都能恢復(fù)到原狀態(tài)。塑性：材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，他們之間也不再是單值對應(yīng)的，而與變形歷史有關(guān)，卸載后存在不可恢復(fù)的永久變形。蠕變：荷載保持不變的條件下， 材料變形隨時間增長而增加稱之為蠕變。共同點：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。不同點：非線性彈性的變形和位移能恢復(fù)到原狀態(tài)，塑性變形和位移卻不能；塑性變形不隨時間而改變，而蠕變變形則隨時間而改變。5.3 什么是塑性力學(xué)的基本法則？它包括哪些內(nèi)容？答：塑性增量理論是塑性力學(xué)的基本法則；它包括以下內(nèi)容： 初始屈服條件， 它是判斷材料是否進(jìn)入塑性階段的標(biāo)準(zhǔn)；加、卸載準(zhǔn)則，它是判斷材料處于塑性加載或彈性加、卸載的條件；流動法則，建立塑性應(yīng)變增量方向（或塑性流動方向）與屈服函數(shù)或塑性勢函數(shù)梯度方向之間關(guān)系的理論就成為塑性流動理論或塑性位勢理論；