高中數(shù)學(xué)第2章參數(shù)方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案北師大版選修4-4-北師大版高二選修4-4數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第 2 章 參數(shù)方程 自我校對 圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程代數(shù)法平擺線的參數(shù)方程漸開線的參數(shù)方程參數(shù)法求動點(diǎn)的軌跡方程滿足一定條件的動點(diǎn)所形成的圖形即為動點(diǎn)的軌跡，而軌跡方程實(shí)際上為軌跡曲線的方程求軌跡方程是解析幾何的主要問題之一，大致分為直接法和間接法兩種方法其中，參數(shù)法求軌跡方程是常用的間接法【例 1】如圖，正方形abcd的邊長為1，p，q分別為bc，cd上的點(diǎn)，cpq的周長為2，(1) 求paq的大??；(2) 建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，試求apq的重心的軌跡 精彩點(diǎn)撥 (1) 利用平面圖形的性質(zhì)，先求tan paq再求角； (2) 建系后把重心坐標(biāo)用參數(shù)(bop) 表示，消參即得軌跡方程 嘗

2、試解答 (1) 設(shè)bpp，dqq，bap，daq，其中 0p1,0 q1， 0，4，則 tan p，tan q，tan() pq1pq，又(1 p) (1 q) 1p2 1q22，(1p)2(1q)2(pq)2，1pqpq，tan() 1. 又 02，4，paq4. (2) 以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab為x軸，ad為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)bop，由 (1) 得，boq4，其中 04. p點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1 ，tan ) ，q點(diǎn)的坐標(biāo)為1tan4，1，又設(shè)apq的重心為g(x，y) ，由重心坐標(biāo)公式得：x1311tan423 1tan ，y131tan (為參數(shù) ) ，消去參數(shù)，得y29x. 又 0

3、4，0 tan 1，13x23，13y23，apq的重心g的軌跡是雙曲線xy29在第一象限內(nèi)的一部分1已知動點(diǎn)p，q都在曲線c：x2cos ，y2sin (為參數(shù) ) 上，對應(yīng)參數(shù)分別為與2(02) ，m為pq的中點(diǎn)(1) 求m的軌跡的參數(shù)方程；(2) 將m到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷m的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn) 解(1) 依題意有p(2cos ，2sin ) ，q(2cos 2，2sin 2) ，因此m(cos cos 2，sin sin 2) m的軌跡的參數(shù)方程為x cos cos 2，y sin sin 2(為參數(shù)，02) (2)m點(diǎn)到坐標(biāo)頂點(diǎn)的距離dx2y222cos (02) 當(dāng)

4、 時(shí)，d0，故m的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)直線的參數(shù)方程的應(yīng)用直線參數(shù)方程的應(yīng)用非常廣泛，主要用來解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題在解決這類問題時(shí)，應(yīng)用直線的參數(shù)方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，可以避免通過解方程組求交點(diǎn)等繁瑣運(yùn)算，使問題得到簡化，由于直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有明顯的幾何意義【例 2】已知點(diǎn)p(3,2) 平分拋物線y24x的一條弦ab，求弦ab的長 精彩點(diǎn)撥 利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解 嘗試解答 設(shè)弦ab所在的直線方程為x3tcos ，y2tsin (t為參數(shù) ) ，代入方程y24x整理得：t2sin24(sin cos )t80. 因?yàn)辄c(diǎn)p

5、(3,2) 是弦ab的中點(diǎn)，由參數(shù)t的幾何意義可知，方程的兩個實(shí)根t1，t2滿足關(guān)系t1t20，即 sin cos 0. 因?yàn)?00，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以t1t232，t1t24.又直線l過點(diǎn)p(3，5) ，故由上式及t的幾何意義得|pa| |pb| |t1| |t2| t1t232. 圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線對于橢圓的參數(shù)方程，要明確a，b的幾何意義以及離心角的意義，要分清橢圓上一點(diǎn)的離心角和這點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線傾斜角的關(guān)系，雙曲線的參數(shù)方程中，要注意參數(shù)的取值范圍，且它們的參數(shù)方程都有多種形式【例 3】橢圓x216y241 上有p，q兩點(diǎn)，o為

6、橢圓中心，op，oq的斜率分別為kop，koq，且kopkoq14. (1) 求|op|2|oq|2的值；(2) 求線段pq中點(diǎn)的軌跡方程 精彩點(diǎn)撥 利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)p(4cos 1,2sin 1) ，q(4cos 1,2sin 2) ，充分利用已知條件建立方程求解 嘗試解答 (1) 設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為 (4cos 1,2sin 1) ，q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (4cos 2,2sin 2) kopkoq14，2sin 14cos 12sin 24cos 214，cos(12)0，12k2(kz) ，sin21cos22，cos21sin22，|op|2|oq|216cos214sin21 16cos

7、224sin22 20，即 |op|2|oq|220. (2) 設(shè)pq的中點(diǎn)為 (x，y) ，則x2 cos 1cos 2，ysin 1sin 2，x24y2(cos 1cos 2)2(sin 1sin 2)222cos(12) 2，pq中點(diǎn)的軌跡方程為x28y221. 3在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)p(x，y) 是橢圓x23y21 上的一個動點(diǎn)，求sxy的最大值 解因?yàn)闄E圓x23y21 的參數(shù)方程為x3cos ，ysin (為參數(shù) )故可設(shè)動點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (3cos ，sin ) ，其中 00)，求曲線c的普通方程 解因?yàn)閤2t1t 2，所以x22t1ty3，故曲線c的普通方程為3x2y6

8、0. 參數(shù)思想?yún)?shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，尤其在運(yùn)動變化型問題中若能引入?yún)?shù)作橋梁，溝通變量之間的聯(lián)系，既有利于揭示運(yùn)動變化的本質(zhì)規(guī)律，還能把多個變量統(tǒng)一體現(xiàn)在一個參變量上【例 5】直線l過點(diǎn)p0( 4,0) ，它的參數(shù)方程為x 432t，y12t(t為參數(shù) )與圓x2y27 相交于a，b兩點(diǎn)(1) 求弦長 |ab| ；(2) 過p0作圓的切線，求切線的長；(3) 求|p0a| 和|p0b| 的長；(4) 求交點(diǎn)a，b的坐標(biāo) 精彩點(diǎn)撥 充分利用參數(shù)思想，即參數(shù)的幾何意義解決問題 嘗試解答 將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，得432t212t27，整理得t243t90. (1) 設(shè)a和b兩點(diǎn)對應(yīng)

9、的參數(shù)分別為t1和t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t243，t1t29，所以 |ab| |t2t1| t1t224t1t223. (2) 設(shè)圓過p0的切線為p0t，t在圓上，則|p0t|2|p0a| |p0b| |t1t2| 9，所以切線長|p0t| 3. (3) 解方程t243t90，得t133，t23，所以 |p0a| 33，|p0b| 3. (4) 將t133，t23代入直線的參數(shù)方程，得點(diǎn)a的坐標(biāo)為12，332，點(diǎn)b的坐標(biāo)為52，32. 5 在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 曲線c1的參數(shù)方程為x4cos ，y4sin (為參數(shù)，且 02) ，點(diǎn)m是曲線c1上的動點(diǎn)(1) 求線段om的中點(diǎn)p的軌

10、跡的直角坐標(biāo)方程；(2) 以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 10(0) ，求點(diǎn)p到直線l距離的最大值 解(1) 曲線c1上的動點(diǎn)m的坐標(biāo)為 (4cos ，4sin ) ，坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0) ，設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x，y) ，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x12(0 4cos ) 2cos ，y12(0 4sin ) 2sin ，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (2cos ，2sin ) ，因此點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程為x2cos ，y2sin (為參數(shù)，且02) ，消去參數(shù)得點(diǎn)p軌跡的直角坐標(biāo)方程為x2y2 4. (2) 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系xcos ，ysin 得

11、直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10. 又由 (1) 知，點(diǎn)p的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以2 為半徑的圓，因?yàn)樵c(diǎn) (0,0) 到直線xy10 的距離為|0 01|12 121222，所以點(diǎn)p到直線l距離的最大值為222. 1在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線c1的極坐標(biāo)方程為(cos sin ) 2，曲線c2的參數(shù)方程為xt2，y22t(t為參數(shù)) ，則c1與c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_ 解析 由(cos sin ) 2 得xy 2. 法一：由xt2，y22t，得y28x，聯(lián)立xy 2，y28x，得x2，y 4，即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2 ， 4) 法二：把xt2，y 22t

12、代入xy 2 0 得t2 22t 2 0，解得t2，x2，y 4，即交點(diǎn)坐標(biāo)為 (2 ， 4) 答案 (2， 4) 2 如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0 的參數(shù)方程為 _ 解析 將x2y2x0 配方，得x122y214，圓的直徑為1. 設(shè)p(x，y) ，則x|op|cos 1cos cos cos2，y|op|sin 1cos sin sin cos ，圓x2y2x0 的參數(shù)方程為xcos2，ysin cos (為參數(shù) ) 答案 xcos2，ysin cos (為參數(shù) ) 3在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為x 312t，y32t(t為參數(shù) ) 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

13、軸為極軸建立極坐標(biāo)系，c的極坐標(biāo)方程為23sin . (1) 寫出c的直角坐標(biāo)方程；(2)p為直線l上一動點(diǎn)，當(dāng)p到圓心c的距離最小時(shí)，求p的直角坐標(biāo) 解(1) 由23sin 得223sin ，從而有x2y223y，所以x2(y3)23. (2) 設(shè)p312t，32t，又c(0，3) ，則|pc| 312t232t32t212，故當(dāng)t0 時(shí)， |pc| 取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(3,0) 4已知曲線c：x24y291，直線l：x2t，y22t(t為參數(shù) ) (1) 寫出曲線c的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2) 過曲線c上任意一點(diǎn)p作與l夾角為 30的直線，交l于點(diǎn)a，求 |pa|

14、的最大值與最小值 解(1) 曲線c的參數(shù)方程為x2cos ，y3sin (為參數(shù) ) 直線l的普通方程為2xy60. (2) 曲線c上任意一點(diǎn)p(2cos ，3sin ) 到l的距離為d55|4cos 3sin 6| ，則|pa| dsin 30 255|5sin() 6| ，其中為銳角，且tan 43. 當(dāng) sin() 1 時(shí)， |pa| 取得最大值，最大值為2255. 當(dāng) sin() 1 時(shí)， |pa| 取得最小值，最小值為255. 5在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為x3cos ，ysin (為參數(shù) ) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c2的極坐標(biāo)方程為sin422. (1) 寫出c1的普通方程和c2