排列組合基礎(chǔ)知識(shí)

1、排列組合基礎(chǔ)知識(shí)一、兩大原理1.加法原理（ 1）定義：做一件事，完成它有 n 類方法，在第一類方法中有 n1 中不同的方法，第二類方法中有 n2 種不同的方法 .第 n 類方法中 nn 種不同的方法，那么完成這件事共有 Nn1n2.nn 種不同的方法。（ 2）本質(zhì)： 每一類方法均能獨(dú)立完成該任務(wù)。（ 3）特點(diǎn)： 分成幾類，就有幾項(xiàng)相加。例 1. 從甲地到乙地，可以乘動(dòng)車，也可以乘汽車；一天中動(dòng)車有3 班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？如上圖，從甲地到乙地共有3+2 種方法。2.乘法原理（ 1）定義做一件事，完成它需要 n 個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有 m1 中不

2、同的方法，做第二個(gè)步驟有 m2 種不同的方法 .做第 n 個(gè)步驟有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 Nm1m2 .mn 種不同的方法。（ 2）本質(zhì)：缺少任何一步均無法完成任務(wù)，每一步是不可缺少的環(huán)節(jié)。（ 3）特點(diǎn)： 分成幾步，就有幾項(xiàng)相乘 。例 2. 從甲地到乙地，要先從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中火車 2 班，汽車 3 班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的方法？解：由上圖可知共有的可能路線為：火車1汽車火車 1汽車火車 1汽車所以共有 248 種方式。1，火車2，火車3，火車2汽車2汽車2汽車123二、排列組合1.排列（ 1）排列的定義：從 n 個(gè)不

3、同的元素中，任取 m 個(gè)（ m n ）元素， 按照一定的順序排成一列 ，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列。（ 2）使用排列的三條件 n 個(gè)不同元素；任取 m 個(gè)；講究順序 。2.組合（ 1）組合的定義：從 n 個(gè)不同的元素中，任取m 個(gè)（ mn ）元素并為一組 ，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合。（ 2）使用三條件 n 個(gè)不同元素；任取 m 個(gè)；并為一組，不講順序 。排列與組合的共同點(diǎn) ：都是“從 n 個(gè)不同元素中任取 m 個(gè)元素”；排列與組合的不同點(diǎn) ：排列與元素的順序有關(guān)系，而組合與元素的順序無關(guān)。也就是說：組合是選擇的結(jié)果，而排列是選擇后再排列的結(jié)

4、果。3 排列數(shù)的定義：從 n 個(gè)不同的元素中，任取m 個(gè)（ m數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取出m 個(gè)元素的排列數(shù)，記為n ）元素所有排列的個(gè) Anm 。例 1. 從甲、乙、丙三個(gè)中任取 2 個(gè)人分別參加明天上午和下午的比賽。問共有多少種方式？解：由上圖可知，共有6 種方式。需要注意：此題相當(dāng)于從3 個(gè)不同的元素中任取 2 個(gè)元素，并按一定的順序排列，所有共有的排列數(shù)為 A32 ，即 A3263 2 ，其中上標(biāo)2 是相乘的項(xiàng)數(shù)，下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng) 3，而且之后的每項(xiàng)總是比前一項(xiàng)少1。例 2. 從 a, b, c, d四個(gè)元素中任取 2個(gè)排成一列共有多少種可能？解 所以的可能排列為： ab

5、, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有 12 種，即A4212 4 3，其中上標(biāo) 2 是相乘的項(xiàng)數(shù)，下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng)4，而且之后的每項(xiàng)總是比前一項(xiàng)少 1。例 3. 從 a, b, c, d四個(gè)元素中任取 3 個(gè)排成一列共有多少種可能？解 所以的可能排列為： abc, acb,bac,bca,cab, cba,abd, adb, bad, bda, dab,dba,acd, adc, cad, cda, dac,dca.bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有 24 種，即 A4324 4 3 2，其中上標(biāo)3 是相乘的項(xiàng)數(shù)，

6、下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng) 4，而且之后的每項(xiàng)總是比前一項(xiàng)少1由上面的規(guī)律可以得出下面排列數(shù)的計(jì)算公式Anmn( n1)(n2).( nm 1)n!，其中上標(biāo) m 表示相乘的項(xiàng)數(shù)，( nm)!其中 n!n(n1)21。尤其：01,1, n! 。AnAnn Ann5 組合數(shù)的定義 ：從 n 個(gè)不同的元素中，任取 m 個(gè)（ m n ）元素 所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記為 Cnm 。例 4. 從甲、乙、丙三個(gè)中任取2 個(gè)人參加某項(xiàng)比賽。問共有多少種方式？解：可能的組合為：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3 種需要注意：此題相當(dāng)于從 3 個(gè)不同的元素中任取2 個(gè)元素并

7、成一組，所有共有的組合數(shù)為 C32 ，即 C323。這個(gè)結(jié)果與例 1 比較發(fā)現(xiàn)232A32C 331A22。2例 2.從 a, b, c, d四個(gè)元素中任取 2 個(gè)并成一組，共有多少種可能？解 所以的可能排列為： ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有 6 種，即 C426 。這個(gè)結(jié)果與例2 比較發(fā)現(xiàn)C42643A42。21A22例 6. 從 a, b, c, d四個(gè)元素中任取3 個(gè)并成一組，共有多少種可能？解 所以的可能排列為： abc, abd, acd, bcd。共有 4 種，即 C434 。這個(gè)結(jié)果與例 3 比較發(fā)現(xiàn)3432A43。C4421A333由上面的規(guī)律可以得出下面組合數(shù)的計(jì)算公式mAnmn(n1).(nm1)CnAmmm(m 1).21尤其： Cn01,Cn1n, Cnn1, CnmCnn m我們這本書用 mn表示 Cnm 。下面 3 題要求學(xué)解題過程1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，(1) 列出所有各場(chǎng)比賽的上方；（ 2）列出所有冠軍的可能情況。2.由 0,1,2,3,