三平面互檢方法的研究

1、三平面互檢方法的研究鄭顯鋒，田愛玲，劉丙才,王紅軍,王春慧，鄭穎（1西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，西安710032 ； 2.西安航空技術(shù)高等專科學(xué)校車輛與 醫(yī)電工程系，西安710065 ）摘要：目前用于高精度光學(xué)平面面型檢測的方法主要是干涉法，但是用干涉法測量高精度的平 面時(shí)需要一個(gè)更高精度的平面作為參考面，因此在高精度光學(xué)平面的面型檢測中需要引入一個(gè)絕 對檢驗(yàn)的概念。三平面互檢法是一種重要的用于高精度光學(xué)平面絕對檢驗(yàn)的干涉測量方法，它是 對三個(gè)待測平面兩兩組合進(jìn)行測量，得到三個(gè)平面各自的面型信息。傳統(tǒng)的三平面互檢法僅能得 到三個(gè)平面各自在y軸方向的截面面型，不能實(shí)現(xiàn)在整個(gè)平面的三維面型的測量。

2、本文針對此問 題,以傳統(tǒng)三平面互檢法為基礎(chǔ),結(jié)合三平面互檢法的平面對稱觀點(diǎn)、平面旋轉(zhuǎn)對稱觀點(diǎn)、奇偶 函數(shù)觀點(diǎn)以及n位平均的近似算法等理論，采用一種改進(jìn)的三平面互檢法。將這種方法所得結(jié)果 與zyg0干涉儀中three-flats直接測得的三個(gè)平面各自在y軸截面的測量結(jié)果進(jìn)行比較和分析, 結(jié)果非常一致，從而驗(yàn)證這種改進(jìn)的三平面互檢方法是有效的。關(guān)鍵字:干涉測量；絕對檢驗(yàn)；三平面互檢；方位角平均算法中圖分類號th744. 3文獻(xiàn)標(biāo)志碼a引言干涉法作為一種最為有效的高梢度光學(xué)平而的測量方法。用這種方法對一個(gè)髙粕度的平 面進(jìn)行測雖時(shí)需要另一個(gè)更高精度的平面作為參考平面，因此參考平面的精度將大大制約最 終

3、測景結(jié)果的精度。因此在對高精度光學(xué)平面測最的研究屮，我們有必要引入絕對檢驗(yàn)的概 念，因?yàn)榇ㄊ娣ㄟM(jìn)行測量時(shí)干涉儀的系統(tǒng)誤差（絕大部分來自參考平面的誤差）將以相同 大小的測量誤差引入到測量結(jié)果中，絕對檢驗(yàn)就是一種能夠?qū)崿F(xiàn)將系統(tǒng)誤差從測量結(jié)果中分 離的方法。三平而互檢法則是-種重要的絕對檢驗(yàn)方法。1 原理研究斐索干涉儀通常用于高精度的面型測量，參考ifli與測試面的位置如圖（1）中和sy所 示。干涉儀的光源發(fā)岀一條準(zhǔn)直光束到參考面，具屮一部分光束被反射，另一部分被透射。 被透射的光束的一部分被測試而反射回來，與反射光束疊加后成像在探測器上。這樣測試面 相對于參考面的面型和波前就可以被測量。丸

4、87;y«w(x,y) sr(.x.y) s0y)圖（1）斐索干涉儀示意圖如圖（1）所示，在標(biāo)明了坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中用參考面和測試面來描述面型和波前，同時(shí)假設(shè)參考面和測試面都是直徑為d的闘并r坐標(biāo)系的原點(diǎn)在平面的中心位置，即t涉儀測得的合并后的波前"（x）為:wy) = wr(-x,y)wt(x,y)其屮（-兀，y）表示參考面反射的波前，叫（兀刃表示測試面反射的波前，（-兀,.y） 屮的負(fù)號是指參考面相對于測試面沿y軸進(jìn)行了一次翻轉(zhuǎn)。在斐索t涉儀中面型和波前僅可以進(jìn)行兩兩測量，三平面互檢法就是通過對三個(gè)平面分別進(jìn)行兩兩測量，來判定每個(gè)平面的面型。不管進(jìn)行測量的平面次序如何，總

5、存在有一個(gè)平面作為參考面，另一個(gè)平面作為測試面。木文中規(guī)定在一組測量中如ba,第一個(gè)字母代表 的是參考面，第二個(gè)字母代表的是測試面。三個(gè)平面a、b、c按照圖（2）所示（ba, ca,cb）的次序依次進(jìn)行測量。圖（2）傳統(tǒng)三平面互檢法測量次序則有:巴（兀,刃 肌（兀,v）% （一兀 y） %（兀丿）其屮：必（3）、（»）和妙3（“）是平面兩兩組合的波前，必（3）和必（3）是平面a和b反射的波前,%（-兀,刃 和%（-x,刃是平面b和c沿y軸翻轉(zhuǎn)后反射的波前。這種方法只能得到x=0時(shí),y軸方向的面型:必(0, y)w (0, y)wc (0, y)-1-1-1（0, y） ”2（0，刃

6、%（°，y）這種測量是不充分的，不能得到我們所需要的整個(gè)平血的三維血型。本文通山上可知，過添加一組額外的測量來尋求對這個(gè)問題的最佳解決方案。2.萬法研究經(jīng)過過去兒十年的研究，兒個(gè)重要觀點(diǎn)的出現(xiàn)推動(dòng)了三平血互檢法的發(fā)展。包括平血對 稱觀點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)對稱觀點(diǎn)（方位角平均），奇偶函數(shù)觀點(diǎn)等，他們的共同點(diǎn)就是將原有波前分 成兩個(gè)或兩個(gè)以上具有特殊要求的波前。2. 1平面對稱觀點(diǎn)此觀點(diǎn)是將公式（1）中的波前分成対稱運(yùn)算（關(guān)丁y軸）中的對稱不變部分閃"和對稱變 化部分所以冇:w(x9y) = wx9y) + wv(x,y)其屮：w,（x,y） = wl（-x,y）用這種觀點(diǎn)可以將公式（2）

7、的變化量進(jìn)行相應(yīng)的分解，從 而可以對原公式進(jìn)行相應(yīng)的簡化。2. 2旋轉(zhuǎn)對稱觀點(diǎn)此觀點(diǎn)引入z前，需要対方位角平均和n位平均求近似值的概念進(jìn)行簡單的介紹。對于極 坐標(biāo)中的波前w（m）,定義個(gè)算子于和個(gè)函數(shù)為:w/?(r) = w(r, 0)f=-lw(r, 0)d0(5)2tt其中r叫做方位角平均算子,wp）是w（m）的方位角平均值,與角度4）無關(guān),它是旋轉(zhuǎn)不變的。從公式（5）中可以得到：w（r,0）f=wr什）我們把w°，0）的旋轉(zhuǎn)變化量疋義為。（匚0）,則每個(gè)波而was）都町以寫成個(gè)旋轉(zhuǎn)w (匚 0) = w * (廠) + 0(匚 0)不變量與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變化址之和：（7）對公式（7）

8、中的方位角平均值中的積分進(jìn)行一個(gè)求和的近似。所以公式（5）中的積分可以 寫成：“氣“二丄w(r, 0)d0= i n-l、2 兀 k=o)其屮引入角的常數(shù)增量z = 2%計(jì)算方法是通過對波前was)進(jìn)行n次旋轉(zhuǎn)角度"0 = 2% 計(jì)算平均值，是一個(gè)n位平均的概念。2. 3奇偶函數(shù)觀點(diǎn)奇偶函數(shù)觀點(diǎn)有兩種不同的表述，它們是和互聯(lián)系的，相互轉(zhuǎn)化。在本文中用到第一種表述, 故只對這種表述簡單介紹如下：當(dāng)波詢函數(shù)w(x，y) =二w(-兀刃一呀彳了彳呀時(shí)，函數(shù)就可以簡化為關(guān)y軸對稱的函數(shù)。因此波前可以化簡為兩部分：關(guān)于y軸對稱部分和關(guān)于y軸不對稱部分。對于波前函數(shù)w(x,y),我們定義個(gè)翻轉(zhuǎn)算

9、了wx(x,y) = |w(x,y)lx=w(-x,y)所以可以在這個(gè)基礎(chǔ)上定義兩個(gè)函數(shù)w°(x,y)和w°(x,y)：we(x,y) = w(x,y) + wx(x,y)/2w°(x,y) = w(x?y)-wx(x?y)/2(10)顯然每一個(gè)w(兀,刃都可以寫成一個(gè)偶(對稱)分量和奇(反對稱)分量z和:w = wc +w°(11)3.測量方法在使用三平面互檢法測量過程中，原始的測量次序(ba, ca, cb)只能得到y(tǒng)軸截面 方向的而型是不充分的，在第2節(jié)中已得到證明。為了實(shí)現(xiàn)對整個(gè)平面的三維而型的測量, 在傳統(tǒng)的三平面互檢法的基礎(chǔ)上，結(jié)合三平而互檢

10、法的平而對稱觀點(diǎn)、平而旋轉(zhuǎn)對稱觀點(diǎn)、 奇偶函數(shù)觀點(diǎn)以及n位平均的近似算法等理論進(jìn)行推導(dǎo)，采用一種改進(jìn)的三平面互檢法。 改進(jìn)的三平面互檢法是在傳統(tǒng)方法測量次序的基礎(chǔ)上再增加一組測量來實(shí)現(xiàn)對整個(gè)平面的 三維面型的測量。如圖(3)所示，引入旋轉(zhuǎn)對稱觀點(diǎn)，改進(jìn)后的測量次序是在原始測量次 序的基礎(chǔ)上增加一次一個(gè)平面與另一個(gè)平面相對旋轉(zhuǎn)-周的測量(ba, b4：ca,cb)。b(-x.y) a(x.y)b(x.y) a(x.y)r c(-x,y) a(x.y) c(-x.y) b(x.y)圖(3)改進(jìn)后的三平面互檢法測量次序其中在測量吋參考面b與測試面a相對旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，由第3節(jié)可知，其可以通過公式(8)中

11、的n位平均求得近似值。對丁圖(3)屮的巴(兀，)')的測量可以通過測試面a相對r參考而b的方位角平均來實(shí)現(xiàn)，其中a旋轉(zhuǎn)n-1次，每次旋轉(zhuǎn)角度為 w5n ,這就是我們渴望得到的相對于平ifli a與平面b相對旋轉(zhuǎn)一周的測量結(jié)果，從而可以消除了%（無刃中平面a中的旋轉(zhuǎn)變化因f:i (% (兀,j)=-z k (一兀,丁)+叱(x,刃嚴(yán)n “01 nt=%(-兀,刃+萬工叱(兀刃n k=o(12)其中旋轉(zhuǎn)算子嚴(yán)"是指旋轉(zhuǎn)的角度為ka0 0將平面測量公式應(yīng)用于圖（3）所示的改進(jìn)的測量次序可得:w （兀,刃1 00 1肥（兀,刃1 0甲（兀,刃0 110000011必（兀,y） 肌（兀

12、,刃（一兀，） %（） 吟兀劉(13)進(jìn)行推導(dǎo)化簡可分別得到:引入平而對稱觀點(diǎn)和奇偶函數(shù)觀點(diǎn)參照公式（11）,可以將公式（13）中的波詢向量部 分分解成偶分雖和奇分屋兩部分，wax9y) _1 -1 o o-ms(兀,y)1-1-11w/(x,y)wb°(-x,y)0 10 0wc"（x，y）_1-1-10w4°y)_(14)wae(x9y)_1 0 1 -1_w/g)_ 110-11w2e(x,y)wcx,y) 2-1 0 1 1w3e(x9y)叱（a）：_一 1 2 1 -1_w, (%, y)_對三個(gè)波前的偶分量和奇分量進(jìn)行疊加就町以得到三個(gè)平面的面型公式:

13、1-1-11112-22-22-20-2-2公式（15）的結(jié)果就是我們渴望得到的三平面互檢方法的一種最佳解決方案。在圖（3） 中第1、3、4次測量（ba,ca, cb）是比較容易實(shí)現(xiàn)的,可以通過zyg0干涉儀的直接測 量得到。但是笫2次測量是需要我們設(shè)計(jì)種測最方案來實(shí)現(xiàn)的。在解決這個(gè)問題時(shí)，從公式（8）中我們可以得到-種測量方案通過n次測量旋轉(zhuǎn)測試而相對角度 wsn得到（baj的測量結(jié)呆。在木文中擬采用的測量方法為在三次原始測量次序 的棊礎(chǔ)上增加7次旋轉(zhuǎn)測量（應(yīng)為8次，其中一次與原始測量次序中的一次測量重合）為： （ba,ca, cb,ba45 , ba90 , ba135 , ba180*,

14、 ba225 , ba270°, ba泅）,從而實(shí)現(xiàn)本文q.改 進(jìn)的三平面互檢法的測雖方案。4 實(shí)驗(yàn)比對與誤差分析需要指出在數(shù)據(jù)處理過程中,使用matlab肓接讀取zygo干涉儀gpi測量得到的實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)cxyz格式的文件），得到的矩陣（或三維圖形）存在一個(gè)傾斜量，而傾斜量在運(yùn)算過 程中是必須去除的，所以對每次測量的原始數(shù)據(jù)都應(yīng)用zernike多項(xiàng)式進(jìn)行了去傾斜的擬合 后才進(jìn)行運(yùn)算處理。因此最終得到的結(jié)果也是一個(gè)擬合后的圖形。對三個(gè)平面a、b、c按照第4節(jié)屮改進(jìn)的測量次序進(jìn)行測量并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后可得到三個(gè)平面a、b、c的三維血型，如圖（4）所示（從左向右依次平面a、b、c）：圖（4

15、）平面a、b、c三維面型用zygo干涉儀中three-flats s接測量三個(gè)平而a、b、c可以得到各平而在x軸、y 軸截而的測量結(jié)果。分別令平面a、b、c的二維面型兩數(shù)式tx = （xmin +a：max）/2 nj*以得到'卜面a、b、c各口在y軸方向截而的而型，與利用zygo干涉儀three-flats直接測得的結(jié)果進(jìn)行比對， 平面a、b、c在y軸方向上兩次測量結(jié)果比對如圖（5）所示（從上到下依次為平面a、b、 c；從左向右依次y軸方向截面面型用three-flats測量的結(jié)果和用改進(jìn)方法測量的擬合結(jié)果）。結(jié)果比對基本重合（改進(jìn)方法測量的擬合結(jié)果的y軸零點(diǎn)取在曲線最小值位置，因而

16、 與three-flats測量結(jié)果的圖像顯示效果冇所不同）。兩組曲線的趨勢相同，對于平面a在y 軸方向截血血型zygo干涉儀three-flats測量結(jié)果pv值為0.2m ,改進(jìn)力法測量結(jié)果pv 值約為0.22； i的兩次測罐結(jié)果pv 次為（）.（）29久和（）.（）3（）久：平而c的兩次測量 結(jié)果pv值依次為0020久和0.02（） 兩種方法測雖纟占果的pv值偏差也在0.001 以內(nèi)。但是還不能達(dá)到完全重合，分析其誤差存在的原因，主要包括實(shí)驗(yàn)操作過程中引入的誤差和 數(shù)據(jù)處理屮引入的誤差。對于第一種誤差，主要是由于手動(dòng)調(diào)節(jié)不能得到精確的旋轉(zhuǎn)角度, 從而引入誤差；另外，每次測量中記錄干涉條紋的位

17、置也會有微小的偏移量。對于第二種誤 差，方位角平均的處理方法本身是一個(gè)近似處理的過程，不可避免的對最終處理結(jié)果引入了浜差；對面型信息的擬合處理會在最終的處理結(jié)果中引入了一定的謀差。為了同時(shí)從上述兩方面減小測雖結(jié)果屮的謀并，可以從增加對ba測量的測雖次數(shù)和 完善數(shù)據(jù)處理的程序來實(shí)現(xiàn)。在增加對b4"測最次數(shù)力血，現(xiàn)在是通過8次測量來實(shí)現(xiàn)對的測量，在實(shí)驗(yàn)設(shè)備精度允許的情況下，將測量次數(shù)增加到16次、32次、64次甚至 更多；在完善數(shù)據(jù)處理程序中，將偏移量和一些影響因素都考慮進(jìn)去，這樣就能進(jìn)一步捉高 測量精度。d. 021v«rt &c«l frof&1&

18、#171;0 02000c i?ii< cv«rttcel rroril«4 00片4 00x0*0035p«>lf4» (0m« tmmb*“ gl § q" < 0 q 口4 4 4vertical profileao$tk (pii)0 01000«4q19oq4 01000£ 尸 2 " «*<* !?* m ooa a ncn圖(5)平面a. b、c在y軸方向截面的面型比對5.結(jié)論本文通過理論分析對三平而互檢法進(jìn)行了深入研究，并口通過具體的實(shí)驗(yàn)獲得的測量結(jié) 果與設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對和