線性代數(shù)：第一章 行列式

1、用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入1 二階與三階行列式二階與三階行列式;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.2112

2、22112112112aaaaabbax 由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定. 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa 1221.a a二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111

3、bxaxabxaxa對(duì)于二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD ，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組右邊值取代相應(yīng)的系數(shù)列由方程組右邊值取代相應(yīng)的系數(shù)列 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,222212112121

4、11bxaxabxaxa.2211112babaD 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求求解解二二元元線線性性方方程程組組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成

5、設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 33

6、3231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)元素的乘積冠以負(fù)號(hào)說(shuō)明說(shuō)明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,

7、0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項(xiàng)項(xiàng), ,每一項(xiàng)都是位于不同行每一項(xiàng)都是位于不同行, ,不同列的三個(gè)元素的乘積不同列的三個(gè)元素的乘積, ,其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, ,三項(xiàng)為三項(xiàng)為負(fù)負(fù). . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若記若記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxax

8、axabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333

9、231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232

10、221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx由解得3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 1

11、11 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對(duì)角線法則對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232

12、221131211aaaaaaaaa三、小結(jié) 使使求一個(gè)二次多項(xiàng)式求一個(gè)二次多項(xiàng)式,xf .283, 32, 01 fff一、概念的引入引例引例用用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個(gè)位個(gè)位12 32種放法種放法1種放法種放法種放法種放法.共有共有6123 2 全排列、逆序數(shù)全排列、逆序數(shù)二、全排列及其逆序數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列把把 n問(wèn)題問(wèn)題定義定義把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，

13、叫做這 個(gè)個(gè)元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1

14、 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法計(jì)算排列逆序數(shù)的方法方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)

15、為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)序數(shù).方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1

16、 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個(gè)個(gè),故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個(gè)個(gè),故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;例例2 2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性偶性. 2179863541解解453689712544310010 t18 此排列為此排列為偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為

17、奇排列時(shí)為奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為n!.n三、小結(jié)分別用兩種方法求排列分別用兩種方法求排列16352

18、487的逆序數(shù)的逆序數(shù).一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說(shuō)明說(shuō)明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)6!3（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積3 n階行列式定義（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211

19、312 t322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號(hào)正號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、n階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這

20、個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 (big formula)說(shuō)明說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式

21、 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa 5、 的符號(hào)為的符號(hào)為nnpppaaa2121 .1t 例例1 1計(jì)算行列式計(jì)算行列式0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314例例2 2 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa

22、00022211211分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 2

23、1例例4 4 證明證明對(duì)角行列式對(duì)角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢例例5 5設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明.21DD 證證由行列式定義有由行列式定義有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnn

24、nnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的要而定義的.2、 階行列式共有階

25、行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定列的逆序數(shù)決定.nn!n三、小結(jié)已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x提示，在不求解行列式結(jié)果的前提下如何確定特定項(xiàng)系提示，在不求解行列式結(jié)果的前提下如何確定特定項(xiàng)系數(shù)？數(shù)？一、概念的引入4 對(duì)換 由于我們已經(jīng)學(xué)會(huì)解對(duì)角行列式、上下三角形由于我們已經(jīng)學(xué)會(huì)解對(duì)角行列式、上下三角形行列式，我們希望一般的行列式能夠化成這些形式，行列式，我們希望一般的行列式能夠化成這些形式，所以必須研究行列式的性質(zhì)。本節(jié)先推出對(duì)換的概所

26、以必須研究行列式的性質(zhì)。本節(jié)先推出對(duì)換的概念以及行列式的另一種定義，從而說(shuō)明行列式中行、念以及行列式的另一種定義，從而說(shuō)明行列式中行、列地位的平等性。列地位的平等性。定義定義 把一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素的位置互換，把一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素的位置互換，而其余的元素不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列，這樣一而其余的元素不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列，這樣一個(gè)變換叫做個(gè)變換叫做對(duì)換對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)1，2對(duì)換，排列對(duì)換，排列 2431 就變成了就變成了 1432；例如，例如，排列排列 2134 就變成了就變成了 1234。二、對(duì)換的定義及性質(zhì)定理定理1 1一個(gè)排列

27、中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列 改變奇偶性改變奇偶性證明證明先證相鄰對(duì)換的情形，設(shè)排列為先證相鄰對(duì)換的情形，設(shè)排列為mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 與與abmlbbbaaa11abbamlbbbaaa11ba)1()2( 顯然，在排列顯然，在排列（1）中，中，a ,b與其它元素構(gòu)成逆序，與其它元素構(gòu)成逆序， 則在排列則在排列（2）中仍然構(gòu)成逆序，中仍然構(gòu)成逆序， 如不構(gòu)成逆序則在如不構(gòu)成逆序則在（2）中也不構(gòu)成逆序；中也不構(gòu)成逆序；因此，對(duì)于相鄰對(duì)換的情形，定理是對(duì)的。因此，對(duì)于相鄰對(duì)換的情形，定理是對(duì)的。 如果原來(lái)如果原來(lái) a ,b 組成逆序，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換，逆組成

28、逆序，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換，逆序數(shù)就減少一個(gè)；序數(shù)就減少一個(gè)； 如果原來(lái)如果原來(lái) a ,b 不組成逆序，那么經(jīng)過(guò)換，逆不組成逆序，那么經(jīng)過(guò)換，逆序數(shù)就增加一個(gè)序數(shù)就增加一個(gè). . 無(wú)論是增加無(wú)論是增加 1 1還是減少還是減少 1 1，排列的逆序數(shù)的，排列的逆序數(shù)的奇偶性總是變了奇偶性總是變了. .不同的只是不同的只是 a ,b 的次序。的次序。nmlcbcbabaa111經(jīng)過(guò)對(duì)換經(jīng)過(guò)對(duì)換 ， a.b再證一般對(duì)換的情形再證一般對(duì)換的情形)3(nmlccabbbaa111ab設(shè)排列為設(shè)排列為排列（排列（3 3）變?yōu)椋┳優(yōu)?4( 不難看出，這樣一個(gè)對(duì)換可以經(jīng)過(guò)一系列相不難看出，這樣一個(gè)對(duì)換可以經(jīng)過(guò)一系列相鄰

29、對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn)。鄰對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn)。 次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換1 mnmlccbbbaaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換mnmlccabbbaa111nmlcbcbabaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa 2m+1 是奇數(shù)，相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，故這兩個(gè)排列的奇偶性相反故這兩個(gè)排列的奇偶性相反. .banmlccbbbaaa111abab)3()5()4(推論推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，證明證明 由定理由定理1 1知對(duì)換的次數(shù)就是排列知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)奇偶性的變化次數(shù), ,而標(biāo)

30、準(zhǔn)排列是偶排列而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列( (逆序數(shù)為逆序數(shù)為0),0),因此，因此，知推論成立知推論成立. .偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù). .的的逆序數(shù)逆序數(shù)。三、行列式定義的另一表示法三、行列式定義的另一表示法對(duì)于行列式的任意一項(xiàng)對(duì)于行列式的任意一項(xiàng)njinpjpipptaaaa11)1( 其中其中nji1為自然排列，為自然排列，t為排列為排列njipppp1對(duì)換元素對(duì)換元素成成與與jijpipaanijnpipjpptaaaa11)1( 這時(shí)，這一項(xiàng)的值不變，而行標(biāo)排列與列標(biāo)同時(shí)這時(shí)，這一項(xiàng)的值不變，而行標(biāo)排列與列標(biāo)同時(shí)作了一次對(duì)換。作了一次對(duì)換。設(shè)新的

31、行標(biāo)排列設(shè)新的行標(biāo)排列nij1的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為, r為為則則r奇數(shù)奇數(shù)；設(shè)新的列標(biāo)排列設(shè)新的列標(biāo)排列nijpppp1的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為,1t.) 1() 1(11111nijnjinpipjpptrnpjpipptaaaaaaaa 于于是是,)1()1(.)1()1(11trttt 故故則則這就表明，這就表明，對(duì)換對(duì)換乘積中兩元素的次序，從而行標(biāo)排乘積中兩元素的次序，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列列與列標(biāo)排列同時(shí)同時(shí)作了相應(yīng)的對(duì)換。作了相應(yīng)的對(duì)換。 于是行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的于是行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序之和并不改變奇偶性逆序之和并不改變奇偶性。經(jīng)一次對(duì)換是如此，經(jīng)多次對(duì)換當(dāng)然還是如此。經(jīng)一次對(duì)換是

32、如此，經(jīng)多次對(duì)換當(dāng)然還是如此。 行標(biāo)排列行標(biāo)排列自然變?yōu)槟硞€(gè)新的排列，設(shè)此新的排自然變?yōu)槟硞€(gè)新的排列，設(shè)此新的排列為列為q1q2qn, ,其其逆序數(shù)為逆序數(shù)為 s ，則有：，則有：.)1()1(21212121nqqqsnppptnnaaaaaa .).( ,2121所所唯唯一一決決定定由由排排列列可可見見排排列列即即則則又又若若nnjqijipjipppqqqaaaiqjpji 于是經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換，使于是經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換，使 列標(biāo)排列列標(biāo)排列p1pipjpn（逆序數(shù)為（逆序數(shù)為 t ）變?yōu)樽裕┳優(yōu)樽匀慌帕校嫘驍?shù)為然排列（逆序數(shù)為 0 0）；）；定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定

33、義為 ,)1(2121nppptnaaaD其中其中 t 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列nppp21的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。證證 按行列式定義有按行列式定義有 ,)1(2121nnppptaaaD記記 ,)1(21121nppptnaaaD按上面討論知：對(duì)于按上面討論知：對(duì)于D 中任一項(xiàng)中任一項(xiàng),)1(2121nnppptaaa 有且僅有有且僅有 D1 中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng)nqqqtnaaa2121)1( 之對(duì)應(yīng)并相等。之對(duì)應(yīng)并相等。于是于是 D 與與 D1 中的項(xiàng)可以中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等一一對(duì)應(yīng)并相等，從，從而而 D = D1 。反之，對(duì)于反之，對(duì)于 D1 中的任一項(xiàng)中的任一項(xiàng)nppptnaaa2121

34、)1( 也總也總有且僅有有且僅有 D 中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng)nnqqqtaaa2121)1( 與之對(duì)應(yīng)并相等，與之對(duì)應(yīng)并相等，一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa22115 行列式性質(zhì)證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記ijaDdet , 2 , 1,njiabijij 即即按定義按定義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾?/p>

35、列式D可表示為可表示為 .12121 nppptnaaaD,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 故故.TDD 證畢證畢 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, , 說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.21221112aaaa11122122aaaa11222112a aa a21121122a aa a？行列式變號(hào)行列式變號(hào).推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互

36、換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面11122122aaaa11122122kakaaa11222112a aa a()11222112k a aa a性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式

37、中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，

38、行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr21

39、01044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式

40、nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)為設(shè)為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)

41、算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)為設(shè)為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運(yùn)列作運(yùn)，再對(duì)后，再對(duì)后行作運(yùn)算行作運(yùn)算的前的前對(duì)對(duì)DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立同樣成立). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用

42、定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化簡(jiǎn)，從而算得行列式的值性質(zhì)把行列式化簡(jiǎn)，從而算得行列式的值三、小結(jié)行列式的行列式的6個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)作業(yè)：作業(yè)：階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知提示：先將行列式變?yōu)閮蓚€(gè)行列式之和，再對(duì)行列式提示：先將行列式變?yōu)閮蓚€(gè)行列式之和，再對(duì)行列式進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn),312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312

43、aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式6 行列式按行(列)展開在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 4442413432311

44、4121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個(gè)個(gè)代代數(shù)數(shù)余余子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于

45、 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 從而從而.1111AaD 再證一般情形再證一般情形, 此時(shí)此時(shí)nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行對(duì)調(diào)行對(duì)調(diào)第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第

46、把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ij

47、nnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列

48、）展開法則(cofactors)nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立時(shí)（時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例2證明范德蒙德證明范德蒙德(Vander

49、monde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對(duì)于）對(duì)于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階

50、范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninj

51、iji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展開，得按第一行展開，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .108012422

52、0 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具. ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中三、小結(jié)作業(yè)：作業(yè)：階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 提示：將行列式展開反過(guò)來(lái)應(yīng)用，構(gòu)造新的行列式計(jì)算題目提示：將行列式展開反過(guò)來(lái)應(yīng)用，構(gòu)造新的行列式計(jì)算題目要求要求 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組,21不全為零不全為零若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng)nbbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零全為零若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng)nbbb此時(shí)稱方程組為此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念7 克拉默法則一、克拉默法則如果線性方程組如果線