北京首師大附中初一分班考試數(shù)學(xué)試題講解

1、北京首師大附中初一分班考試數(shù)學(xué)試題講解北京首師大附中初一分班考試試題講解一、填空題：1、2310的所有約數(shù)的和是_。先分解質(zhì)因數(shù), 2310=2*3*5*7*11求約數(shù)個(gè)數(shù)，質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加一，相乘。 (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32求所有約數(shù)和，對(duì)于每個(gè)質(zhì)因數(shù),從1開始,加到對(duì)應(yīng)質(zhì)因數(shù)的最高次數(shù),然后再相乘。（1+2）*（1+3）*（1+5）*(1+7）*(1+11)= 6912例如:99=3×3×11=3²×11所有約數(shù)的和,就是:(1+3+3²)×(1+11)=1562、用分別去除某一個(gè)分?jǐn)?shù)，結(jié)果都是整數(shù)，

2、那么這個(gè)分?jǐn)?shù)最小是 。用5/28、15/56、1又1/20分別去除某分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于用28 / 5、56 / 15、20 / 21去乘它，所以此數(shù)分子必定是這些數(shù)分母的最小公倍數(shù)（為了讓它最小），分母必定是它們分子的最大公約數(shù)（為了讓它最小），所以：28、56、20的最大公約數(shù)是4，5、15、21的最小公倍數(shù)是105，所以它是105/4。1994個(gè)19943、今年2月9日是星期五，問經(jīng)過(guò)1994 19941994天，是星期 _。（包括今天）1994÷7=2846 即每經(jīng)歷1994天星期幾就得往前推6天如“今年2月9日是星期五”，歷經(jīng)一個(gè)1994天后是星期四（星期五再往前推6天）但要經(jīng)歷1

3、994個(gè)1994天，而每個(gè)1994天就必須把星期幾往前推6天，于是，就必須往后推1994×6=11964天而11964÷7=17091，即往后推一天，故是星期六。4、甲、乙、丙三種貨物，如果購(gòu)買甲3件、乙7件、丙1件共花元；如果購(gòu)買甲4件、乙10件、丙1件共花元，那么購(gòu)買甲、乙、丙各1件需_元錢。設(shè)甲乙丙分別單價(jià)分別是x,y,z元3x+7y+z=, (1)4x+10y+z=, (2)(2)-(1): x+3y=代回（1）： 3x+7y+z=3(x3y)-2y+z=3*+z=z-2y=0, z=2y.x+y+z=x+y+2y=x+3y=5、從1、2、3、1998、1989這些

4、自然數(shù)中，最多可以取多少個(gè)數(shù)，才能使其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4？解：每8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，至少只能取四個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4. 把1989個(gè)數(shù)依次每8個(gè)分成一組，最后5個(gè)數(shù)也成一組，即 1，2，3，4，5，6，7，8； 9，10，11，12，13，14，15，16； 1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984； 1985，1986，1987，1988，1989. 又 1989÷8 = 2485 因此可以分成249組，每一組都取前4個(gè)數(shù)，顯然這些取出的數(shù)滿足要求.這樣共取出數(shù) 249×4 = 996（個(gè)）答：最多可以取出996個(gè)數(shù).6、

5、（如圖）三角形abc中，c是直角，已知ac2厘米，cd2厘米, cb=3厘米,am=bm，那么三角形amn（陰影部分）的面積是_平方厘米。7、六年級(jí)同學(xué)采了10千克蘑菇，這些蘑菇的含水量為99，稍經(jīng)晾曬后，含水量下降到98，晾曬后的蘑菇重_千克。解：蘑菇含水量99%時(shí)，干蘑菇重10x(1-99%)= 含水量為98%時(shí)，蘑菇重為(1-98%)=5kg 此時(shí)蘑菇重5公斤。8、從樓下經(jīng)過(guò)一些臺(tái)階走到樓上，規(guī)定你每一步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)臺(tái)階。問： （1）從樓下登上第五級(jí)臺(tái)階，有多少種不同的走法？ （2）從樓下登上第十級(jí)臺(tái)階，有多少種不同的走法？解：用遞推即可到達(dá)第一級(jí)有a1=1種方法，到達(dá)第二級(jí)有a2

6、=2種方法，（一步，或兩步）到達(dá)第三級(jí)可以從第一級(jí)上，也可以從第二級(jí)上 所以 a3=a1+a2=3同理 a4=a3+a2=5 a5=a4+a3=8即共有8種登法 a6=a5+a4=13 a7=a6+a5=21a8=a7+a6=34a9=a8+a7=55a10=a9+a8=89即共有89種登法9、圖中一個(gè)殘缺的乘法豎式，在每個(gè)方框中填入一個(gè)不是2的數(shù)字，可使其成為正確的算式。那么所得的乘積是 。76 x396 456 684 228 30096 先說(shuō)那個(gè)9設(shè)兩位數(shù)為ab，三位數(shù)為def，假設(shè)結(jié)果是abcdab*d得到220多，a*d=3*7，4*5不可能，其他更不可能，所以a=7,d=3或者a=

7、3,d=7ab*e得到三位數(shù)，a不是2，最多是3那么ab*e的百位+2再加進(jìn)位超過(guò)10，進(jìn)位可能進(jìn)1進(jìn)2，所以ab*e的百位至少是6，可能是7，8所以a>6，e=9所以a=7,d=37b*3=220多，4<=b<=6，74*3=222不符合，所以5<=b<=6如果b是5，75*3=225，75*9=685=>最終四位數(shù)百位向千位進(jìn)位至少是25+8=13，20-13=7，75*f>700這樣的f是不存在的所以b是6ab=76，76*3=228，76*9=684=>76*f>400，6<=f<=9f=7，76*7=532，含2不符合

8、f=8，76*8=608，最終四位數(shù)百位是2，不符合f=9，76*9=684，最終四位數(shù)十位是2，不符合所以f=6所以是76*396=3009610、一只鐘的時(shí)針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時(shí)針與分針的正中央，問這時(shí)是時(shí)刻？有兩個(gè)答案： 設(shè)一個(gè)是4時(shí)x分，另一個(gè)是5時(shí)y分。 x2525（4×51/12x） x27又9/13 5×51/12y2525y y23又1/13以鐘面上60個(gè)小格為計(jì)算單位分針每分鐘跑1格，時(shí)針每分鐘跑1/12格假設(shè)時(shí)針在前，分針在后，此時(shí)是4時(shí)x分150-(120+=6x-150=180x=360/13x=27又9/13所以此時(shí)是

9、4時(shí)27又9/13分假設(shè)時(shí)針在后，分針在前，此時(shí)是5時(shí)x分=150-6x=150x=300/13x=23又1/13所以此時(shí)是5時(shí)23又1/13分二、解答題：11、有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)。第一個(gè)到會(huì)的女生同全部男生握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生只差1個(gè)男生沒握過(guò)手，三個(gè)到會(huì)的女生只差 2個(gè)男生沒握手，如此等等，最后一個(gè)到會(huì)的女生同7個(gè)男生握過(guò)手，問這50名同學(xué)中有多少男生？解：設(shè)女生有a人，男生有b人。a + b = 50 (方程一）1個(gè)女生 b個(gè)男生2個(gè)女生 b-1個(gè)男生3個(gè)女生 b-2個(gè)男生.a個(gè)女生 b -（a - 1)b -（a - 1) = 7 （方程二）解得b = 28答：男生有28人。1

10、2、司機(jī)開車按順序到五個(gè)車站接學(xué)生到學(xué)校。每個(gè)站都有學(xué)生上車。第一站上了一批學(xué)生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半。車到學(xué)校時(shí)，車上最少有多少學(xué)生？1+2+4+8+16=31. 加上司機(jī)32不加司機(jī)31人13、一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16時(shí)；順流航行60千米，逆流航行120千米也用16時(shí)。求水流的速度。順?biāo)伲耗嫠?（120-60）：（120-80）=60:40=3:2順?biāo)伲?20+80×3/2）÷16=240÷16=15千米/小時(shí)逆水速（120×2/3+80）÷16=160÷16=10千米/小時(shí)

11、水速（15-10）÷2=千米/小時(shí)14、一空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管.單開甲管需5分鐘注滿水池,單開乙管需10分鐘注滿水池,滿池水如果單開排水管需6分鐘流盡.某次池中沒有水,打開甲管若干分鐘后,發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上,隨即關(guān)上排水管,同時(shí)打開乙管,又過(guò)了同樣長(zhǎng)的時(shí)間,水池的1/4注了水.如果繼續(xù)注滿水池,前后一共要花多少時(shí)間?單開甲管需5分鐘注滿水池，則甲每分鐘注入1/5； 單開乙管需10分鐘注滿水池，則乙每分鐘注入1/10； 單開排水管需6分鐘流盡，則排水管每分鐘排水1/6； 1)假設(shè)水池的1/4注滿水，花的時(shí)間為2n 由題意可列方程： （1/5-1/6）n+（1/5+1/10

12、）n=1/4 解之得n=3/4 2n=3/2 2)再假設(shè)注滿水池剩下的3/4，需要的時(shí)間為m 由題意可列方程：（1/5+1/10）m=3/4 解之得m=5/2 答：前后一共需要的時(shí)間為2n+m=4分鐘【5 10 6】30設(shè)：水池的注水量為30份。 水池的1/4：30x1/4=份 還剩下：=份甲管1分鐘能注：30÷5=6份乙管1分鐘能注：30÷10=3份丙管1分鐘能排：30÷6=5份甲乙1分鐘：6+3=9份甲丙1分鐘：6-5=1份9+1=10份份÷10份=3/41x3/4=3/4（分鐘）前后一共要花：3/4+3/4+9=4（分鐘）15下面是一個(gè)算式： 11

13、×21×2×31×2×3×41×2×3×4×51×2×3×4×5×6 這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？這六個(gè)加數(shù)的個(gè)位依次是1、2、6、4、0、0，可見這個(gè)算式的和的個(gè)位為3，不可能是是某個(gè)數(shù)的平方.這個(gè)算式還可以加長(zhǎng)一些，比方加到前10個(gè)數(shù)的和，結(jié)論是一樣的，因?yàn)閺?起的連續(xù)自然數(shù)的積，乘到5以后個(gè)位都是0。1!+2!+.+9!=409113sqrt(409113)=所以不是某個(gè)數(shù)的平方數(shù)設(shè)：第五個(gè)數(shù)為x則十個(gè)數(shù)之和為：(x-4)+(x-3)

14、+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=10x+5所以這種數(shù)必須是被十除余5的數(shù)所以1010不行，而505可以16四個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有六個(gè)圓圈，如果在這些圓圈中分別填上六個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等。問這六個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少 900. 【解】設(shè)每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和都是s。4個(gè)小三角形的和s相加時(shí)，中間三角形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)被算了3次，所以：4s2s20，從而：s10，這樣，每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上出現(xiàn)的三個(gè)質(zhì)數(shù)只能是2，3，5，從而六個(gè)質(zhì)數(shù)是2，2，3，3，5，5，它們的積是：2×2×3

15、15;3×5×5900六個(gè)質(zhì)數(shù)和是20,所以這六個(gè)數(shù)為，20=2+3+5+2+3+5 2 5 33 2 517能不能將（1）505；（2）1010寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來(lái)；如果不能，說(shuō)明理由。10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的自然數(shù)為n,則最大的自然數(shù)為n+9,則這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)為n+(n+9)/2=n+,10個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為10n+45=10(n+4)+5,同時(shí)10n+4510+45=55，所以，只有個(gè)位數(shù)字為5，且該數(shù)大于或等于55時(shí)，才能寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。因此505可以寫成10個(gè)自然數(shù)的和，而1010不行。505=10n+45,解得n=

16、46，所以505=46+47+48+49+50+51+52+53+54+551822名家長(zhǎng)（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知家長(zhǎng)比老師多，媽媽比爸爸多，女教師比媽媽多2人，至少有1名男教師，那么在這22人中，爸爸有多少人？設(shè)爸爸x 媽媽y 男老師b女老師aa+b+x+y=22b>=1a-2=yx+y>a+by>xx+y>a+b=22-(x+y)所以x+y>11同樣a+b<11先取b=1則a<10而由于a=y+2所以y<8而2y>x+y>11所以y>=619長(zhǎng)方形草地abcd被分為面積相等的甲

17、、乙、丙和丁四份（如圖），其中圖形甲的長(zhǎng)和寬的比是a ：b=2 ：1，其中圖形乙的長(zhǎng)和寬的比為（ ） ：（ ）先假定甲的長(zhǎng)（bc）=7、寬=3（這在數(shù)學(xué)上是可以的） 這樣:甲的面積=21 （甲乙丙丁的面積均為21） 設(shè)乙的長(zhǎng)寬分別為x和y（cd上乙的那段為x，ad上乙的那段為y） 乙的面積=甲的面積 x×y=21 再看丙的面積（丙為直角三角形，面積=底×高÷2） 丙的底=7-y、高=x 丙的面積=（7-y）×x/2=21 上式為7x-x×y=42 將式代入上式得 x=9 從式可知y=7/3 x/y=27/7解：設(shè)ab邊上的交點(diǎn)為e，cd邊上的交點(diǎn)為f，ef邊上的交點(diǎn)為g,ad邊上的交點(diǎn)為k. 根據(jù)你的條件先假定甲的長(zhǎng)（bc）=7、寬=3（這在數(shù)學(xué)上是可以的）因?yàn)橐液投〉拿娣e相等，所以fg：ge=1:2，又因?yàn)閎c=7所以fg=7/3,ge=14/3.又因?yàn)榧缀鸵业拿娣e相等，所以df=甲的面積/fg=21/fg=9所以df/fg=9/7/3=27/720甲、乙