§1--向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性-課件PPT

1、一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換1. 定義定義1 設(shè)有設(shè)有 n 維向量維向量,2121 nnyyyyxxxx令令 x, y = x1 y1+x2 y2+ +xn yn ,稱稱 x, y 為向量為向量 x 與與 y 的的內(nèi)積內(nèi)積 (Inner product) .說(shuō)明說(shuō)明 1. n (n 4)維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積維向量數(shù)量積的推廣的推廣, 但是沒(méi)有但是沒(méi)有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義2. 若向量若向量 x 與與 y 均

2、為列向量均為列向量, 內(nèi)積可用矩陣記法內(nèi)積可用矩陣記法表示為表示為: x, y = xT y .2. 內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) ( 其中其中 x, y , z 為為 n 維向量維向量, 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) ).(1) x, y = y, x;(2) x, y = x, y;(3) x+y, z = x, z+ y, z;(4) 當(dāng)當(dāng) x = 時(shí)時(shí), x, x = 0; 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí), x, x 0. 施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式: x, y 2 x, x y, y.1. 定義定義2 令令 ,|22221nxxxxxx 稱稱 | x | 為為 n 維向量維向量 x 的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度 (

3、或或范數(shù)范數(shù)).向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：(1) 非負(fù)性非負(fù)性: 當(dāng)當(dāng) x = 時(shí)時(shí), | x |= 0; 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí), | x | 0. (2) 齊次性齊次性: | x |= | | | x | ; (3) 三角不等式三角不等式:| x +y | | x | + | y |; (4) | x, y | | x | | y |. 當(dāng)當(dāng) | x | | y | 0時(shí)時(shí), 有有:. 1|, yxyx2. 當(dāng)當(dāng) | x |= 1 時(shí)時(shí), 稱稱 x 為為單位向量單位向量.,31,31,31T 例如,0 ,21, 0 ,21T 若若 , 則則 |1 為為單位向量單位向量.若若

4、, |1 稱為稱為把把向量向量 單位化單位化.,)3 , 2 , 1(T 例如.)3 , 2 , 1(141:T 單位化得單位化得.)1 , 5 , 1 , 3()3 , 2 , 2 , 1(的的夾夾角角與與求求向向量量TT 例例解解|,cos 18 23(3) 當(dāng)當(dāng) | x | | y | 0時(shí)時(shí), |,arccosyxyx 稱為向量稱為向量 x 與與 y 的的夾角夾角.6 ,22 .4 1.當(dāng)當(dāng) x, y = 0 時(shí)時(shí), 稱向量稱向量 x 與與 y 的的正交正交 .,)1 , 2, 1 , 8()1 , 1 , 1 , 0(TTyx 與與例如例如有有 x, y = 0 , 故向量故向量 x

5、 與與 y 正交正交 .由定義可知由定義可知: 若若 x = 時(shí)時(shí), 則則 x與任何向量都正交與任何向量都正交.2. 若一若一非零非零向量組中的向量向量組中的向量?jī)蓛烧粌蓛烧? 則稱該向則稱該向量組為量組為正交向量組正交向量組定理定理 若若n維維向量向量 1, 2, , r 是是正交向量組正交向量組, 則則 1, 2, , r 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)., 0|21111 T由由.01 從從而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T定理定理 若若n維維向量向量 1, 2,

6、, r 是是正交向量組正交向量組, 則則 1, 2, , r 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).3. 正交單位向量組正交單位向量組每個(gè)向量都是單位向量的正交向量組每個(gè)向量都是單位向量的正交向量組. .4. 向量空間的正交基向量空間的正交基., 212121的的正正交交基基向向量量空空間間是是則則稱稱組組是是兩兩兩兩正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間若若VVrrr 例例1 1 已知已知R3空間中兩個(gè)向量空間中兩個(gè)向量 正交正交, 121,11121 試求試求 3 使使 1, 2, 3 構(gòu)成構(gòu)成R3的一個(gè)正交基的一個(gè)正交基.解題分析解題分析: 即求即求 3使使 1, 2, 3為正

7、交向量組為正交向量組.解解設(shè)設(shè) 3=(x1, x2, x3)T , 且與且與 1, 2正交正交,則有則有,0,0,3231 ,020321321 xxxxxx即即解得：解得：,0231 xxx令令 x3=1, 得得: 3=( 1,0,1)T, 則則 1, 2, 3 構(gòu)成構(gòu)成R3的一個(gè)正交基的一個(gè)正交基.5. 規(guī)范規(guī)范 正交基正交基. ,)( , 212121 的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱稱向向量量?jī)蓛蓛蓛烧唤磺仪叶级际鞘菃螁挝晃蝗缛绻牡囊灰粋€(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021

8、214321 eeee例如例如定義定義(標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)).1000,0100,0010,00014321 同理可知：初始單位向量組同理可知：初始單位向量組.4的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基也為也為R6、 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法稱稱為為這這樣樣一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題價(jià)價(jià)等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化這個(gè)基規(guī)這個(gè)基規(guī)把把r 下面介紹下面介紹施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt or

9、thogonalizations method ）,21的的一一個(gè)個(gè)基基為為向向量量空空間間若若Vaaar(1) 正交化正交化 取取 b1=a1 ,1112122bbbabab ,222321113133bbbabbbbabab 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價(jià)價(jià)與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb(2) 單位化單位化,|,|,|222111rrrbbebbebbe : :取取.,21的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer例例2 2 用施密特正交化方法將向量組正交規(guī)范化用施密特正交化方法將向量組正交規(guī)

10、范化:.0211,3120,1111321 aaa解解 取取 b1=a1=(1,1,1,1)T ,1112122,bbbabab TT)1 , 1 , 1 , 1(44)4 , 0 , 1, 1( ,)3 , 1, 2, 0(T 222321113133,bbbabbbbabab TTT)3 , 1, 2, 0(1414)1 , 1 , 1 , 1(48)1, 1 , 5 , 3( ,)0 , 2, 1 , 1(T 單位化得如下規(guī)范正交向量組單位化得如下規(guī)范正交向量組:,1111211 e,31201412 e.0211613 e例例2 2 .,1 , 1 , 1 321321兩兩兩兩正正交交

11、使使求求非非零零向向量量已已知知 T 解解, 0,32132 xxx應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 ,110,10121 : :其基礎(chǔ)解系為其基礎(chǔ)解系為,1012 : :則有則有2222223, 10121110.12121 定義定義4 4. , )( 1正正交交矩矩陣陣為為則則稱稱即即滿滿足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 定理定理 A 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 A 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交例例5 5 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣,121312112131211)1( .979494949198949891)2( 正交矩陣的性質(zhì)：正交矩陣的性質(zhì)：. , , (1)1正交矩陣正交矩陣亦為亦為則則正交矩陣正交矩陣為為設(shè)設(shè) AAAT. 1|, (2) AA則則正正交交矩矩陣陣為為設(shè)設(shè). , , (3)正交矩陣正交矩陣亦為亦為則則為同階正交矩陣為同階正交矩陣設(shè)設(shè)ABBA. (4)組組向量組是正交單位向量向量組是正交單位向量的列的列為正交陣為正交陣AA )(行行定義定義 若若P為正交陣為正交陣,稱線性變換稱線性變換 y=Px為正交變換為正交變換性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變證明證明,為為正正交交變變換換設(shè)設(shè)Pxy .|xxxPxPxyyyTTTT 則則有有1. 施密特正交