2022年2022年高中立體幾何知識(shí)點(diǎn)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載立體幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 空間多邊形 不在同一平面內(nèi)的如干線(xiàn)段首尾相接所成的圖形叫做空間折線(xiàn).如空間折線(xiàn)的最終一條線(xiàn)段的尾端與最初一條線(xiàn)段的首端重合,就叫做封閉的空間折線(xiàn).如封閉的空間折線(xiàn)各線(xiàn)段彼此不相交,就叫做這空間多邊形平面,平面為一個(gè)不定義的概念,幾何里的平面為無(wú)限舒展的 .平面通常用一個(gè)平行四邊形來(lái)表示.平面常用希臘字母. . 或拉丁字母m.n.p 來(lái)表示,也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示,如平面 ac.在立體幾何中,大寫(xiě)字母a,b,c,表示點(diǎn),小寫(xiě)字母,a、b、c、l、m、n、表

2、示直線(xiàn),且把直線(xiàn)和平面看成點(diǎn)的集合,因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系,例如：a) a l 點(diǎn) a 在直線(xiàn) l 上； a點(diǎn) a 不在平面 內(nèi)；b) l 直線(xiàn) l 在平面 內(nèi)；c) a 直線(xiàn) a 不在平面 內(nèi)；d) l m=a直線(xiàn) l 與直線(xiàn) m相交于 a 點(diǎn)；e) l=a 平面 與直線(xiàn) l 交于 a 點(diǎn)；f) =l 平面 與平面 相交于直線(xiàn)l.2. 平面的基本性質(zhì)公理 1假如一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理 2假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理 3經(jīng)過(guò)不在同始終線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.依據(jù)上面的公理,

3、可得以下推論.推論 1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論 2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面.推論 3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面.3. 證題方法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證題方法直接證法反證法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載間接證法同一法4. 空間線(xiàn)面的位置關(guān)系共面平行沒(méi)有公共點(diǎn)(1) 直線(xiàn)與直線(xiàn)相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面 既不平行,又不相交直線(xiàn)在平面內(nèi)有很多個(gè)公共點(diǎn)(2) 直線(xiàn)和平面直線(xiàn)不在平面內(nèi)平行沒(méi)有公共點(diǎn)直線(xiàn)在平面外 相交有且只有一公共點(diǎn)(3) 平面與平面相交有一條公共直線(xiàn) 很多個(gè)公共點(diǎn)平行沒(méi)有公共點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

4、 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載5. 異面直線(xiàn)的判定證明兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)通常采納反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線(xiàn),與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”.6. 線(xiàn)面平行與垂直的判定(1) 兩直線(xiàn)平行的判定定義：在同一個(gè)平面內(nèi),且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行.假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行,即如 a 、a , =b、 就 a b.平行于同始終線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行,即如a b、b c、 就 ac.垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行,即如a , b ,就 a b兩平行平面與同一個(gè)平面相交,那么兩條交線(xiàn)平行,即如 、 、 =b、 就 a

5、b假如一條直線(xiàn)和兩個(gè)相交平面都平行,那么這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行,即如 =b、a 、a ,就 ab.(2) 兩直線(xiàn)垂直的判定定義：如兩直線(xiàn)成90°角,就這兩直線(xiàn)相互垂直.一條直線(xiàn)與兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直,也必與另一條垂直. 即如 b c、a b、 就 a c一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面,就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn). 即如 a 、b , a b.三垂線(xiàn)定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,就它也和這條斜線(xiàn)垂直.假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面的垂線(xiàn)垂直. 即如 a 、b 、 就 a b.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線(xiàn)兩兩垂直,即如

6、、 , 、 且 =a、 =b、 =c,就 a b、b c、c a.(3) 直線(xiàn)與平面平行的判定定義：如一條直線(xiàn)和平面沒(méi)有公共點(diǎn),就這直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.假如平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,就這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行. 即如 a 、b,a b、 就 a .兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面,即如 、l,就 l .假如一個(gè)平面和平面外的一條直線(xiàn)都垂直于同一平面,那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行. 即如 、l ,l ,就 l .在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),假如它們與這個(gè)平面的距離相等,那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面平行,即如 a , b , a. b在 同側(cè),且a.b 到 等距,就ab

7、 .兩個(gè)平行平面外的一條直線(xiàn)與其中一個(gè)平面平行,也與另一個(gè)平面平行,即如 、a , a, a ,就 .假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直,就平面外與這條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與該平面平行,即如a 、b,ba,就 b .假如兩條平行直線(xiàn)中的一條平行于一個(gè)平面,那么另一條也平行于這個(gè)平面 或在這個(gè)平面內(nèi) ,即如a b、a 、b 或 b (4) 直線(xiàn)與平面垂直的判定定義：如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直,就這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面. 即如m , n , m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載n=b、l m、l

8、 n、 就 l .假如兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于同一平面. 即如 l a、a 、 就 l .一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面,即如 、l ,就 l .假如兩個(gè)平面相互垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面,即如 、a = , l , l a、 就 l .假如兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面,就它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面,即如 、 、 且 a =、就 a .(5) 兩平面平行的判定定義：假如兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面平行,即無(wú)公共點(diǎn) .假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行,即如a、b

9、, ab=p、a 、b 、 就 .垂直于同始終線(xiàn)的兩平面平行. 即如 a、 a、 就 .平行于同一平面的兩平面平行. 即如 、 、 就 .一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),就這兩個(gè)平面平行,即如a、b 、c、d、a b=p、a c、b d、 就 .(6) 兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交,假如所成的二面角為直二面角,那么這兩個(gè)平面相互垂直,即二面角 a =90° .假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面相互垂直,即如l 、l,就 .一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),也垂直于另一個(gè). 即如 , ,就 .7. 直線(xiàn)在平面內(nèi)的判定(1) 利用公理 1

10、：始終線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi),就這條直線(xiàn)在平面內(nèi).(2) 如兩個(gè)平面相互垂直,就經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于其次個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi),即如 、a , ab ,就 ab .(3) 過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線(xiàn)垂直的全部直線(xiàn),都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線(xiàn)的平面內(nèi),即如a a、a b, a 、b ,就 a .(4) 過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線(xiàn),都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi),即如p ,p , , pa、a ,就 a .(5) 假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)必在這個(gè)平面內(nèi),即如a 、a ,a b、b a、 就 b.8. 存在性和唯獨(dú)性定理(1) 過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與

11、這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)有且只有一條；(2) 過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有且只有一條；(3) 過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4) 與兩條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)有且只有一條；(5) 過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)；(6) 過(guò)平面的一條斜線(xiàn)且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7) 過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8) 過(guò)兩條相互垂直的異面直線(xiàn)中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).9. 射影及有關(guān)性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(1) 點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn),垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影,點(diǎn)的射影仍

12、為點(diǎn).(2) 直線(xiàn)在平面上的射影自直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線(xiàn),過(guò)兩垂足的直線(xiàn)叫做直線(xiàn)在這平面上的射影.和射影面垂直的直線(xiàn)的射影為一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線(xiàn)的射影為一條直線(xiàn).(3) 圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上全部的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí),射影為一條線(xiàn)段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí),射影仍為一個(gè)圖形.(4) 射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：(i) 射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等,射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；(ii) 相等的斜線(xiàn)段的射影相等,較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(zhǎng)；(iii) 垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短

13、.10. 空間中的各種角等角定理及其推論定理如一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且方向相同,就這兩個(gè)角相等.推論如兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行,就這兩組直線(xiàn)所成的銳角 或直角 相等 .異面直線(xiàn)所成的角1 定義： a.b 為兩條異面直線(xiàn),經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o,分別引直線(xiàn)a a、b b、 就 a和 b所成的銳角 或直角 叫做異面直線(xiàn)a 和 b 所成的角 .2 取值范疇： 0° 90°.3 求解方法依據(jù)定義,通過(guò)平移,找到異面直線(xiàn)所成的角；解含有 的三角形,求出角的大小 .11. 直線(xiàn)和平面所成的角(1) 定義和平面所成的角有三種：(i) 垂線(xiàn)面所成的角的一條斜線(xiàn)和它

14、在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.(ii) 垂線(xiàn)與平面所成的角直線(xiàn)垂直于平面,就它們所成的角為直角.(iii) 一條直線(xiàn)和平面平行,或在平面內(nèi),就它們所成的角為0°的角 .2 取值范疇 0° 90°3 求解方法作出斜線(xiàn)在平面上的射影,找到斜線(xiàn)與平面所成的角 .解含 的三角形,求出其大小.最小角定理斜線(xiàn)和平面所成的角,為這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角,亦可說(shuō),斜線(xiàn)和平面所成的角不大于斜線(xiàn)與平面內(nèi)任何直線(xiàn)所成的角.12. 二面角及二面角的平面角(1) 半平面直線(xiàn)把平面分成兩個(gè)部分,每一部分都叫做半平面.(2) 二面角條直線(xiàn)

15、動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線(xiàn)叫做二面角的棱,這兩個(gè)平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面組成.如兩個(gè)平面相交,就以?xún)蓚€(gè)平面的交線(xiàn)為棱形成四個(gè)二面角.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載二面角的大小用它的平面角來(lái)度量,通常認(rèn)為二面角的平面角 的取值范疇為0° 180°(3) 二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn),這兩條射線(xiàn)所組成的角叫做二面角的平面角.如圖, pcd為二面角 -ab- 的平面角 . 平面角 pcd的大小與頂點(diǎn)c在棱 ab上的位置無(wú)關(guān).二面角的平面角具有以下性質(zhì)：(i

16、) 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即ab平面 pcd.(ii) 從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn) 異于角的頂點(diǎn) 作另一面的垂線(xiàn),垂足必在平面角的另一邊 或其反向延長(zhǎng)線(xiàn) 上 .(iii) 二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直,即平面pcd ,平面 pcd .找 或作 二面角的平面角的主要方法.(i) 定義法(ii) 垂面法(iii) 三垂線(xiàn)法 依據(jù)特別圖形的性質(zhì)(4) 求二面角大小的常見(jiàn)方法先找 或作 出二面角的平面角 ,再通過(guò)解三角形求得的值 .利用面積射影定理s =s· cos其中 s 為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積,s為這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積,

17、 為二面角的大小.利用異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.13. 空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1) 定義面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn),這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2) 求點(diǎn)面距離常用的方法：1) 直接利用定義求找到 或作出 表示距離的線(xiàn)段；抓住線(xiàn)段 所求距離 所在三角形解之.2) 利用兩平面相互垂直的性質(zhì). 即假如已知點(diǎn)在已知平面的垂面上,就已知點(diǎn)到兩平面交線(xiàn)的距離就為所求的點(diǎn)面距離 .3) 體積法其步驟為：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn),和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積v 和所取三點(diǎn)構(gòu)成精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三角形的面積s；由v=13s·

18、;h,求出h 即為所求 . 這種方法的優(yōu)點(diǎn)為不必作出垂線(xiàn)即可求點(diǎn)面距離. 難點(diǎn)在于如何構(gòu)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載造合適的三棱錐以便于運(yùn)算.4) 轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為 平行 直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求.14. 直線(xiàn)和平面的距離(1) 定義一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離,叫做這條直線(xiàn)和平面的距離.(2) 求線(xiàn)面距離常用的方法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載直接利用定義求證 或連或作 某線(xiàn)段為距離,然后通過(guò)解三角形運(yùn)算之.將線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.作幫助垂直平面,把求線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線(xiàn)距離.15. 平行平面的距離(1) 定義個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn),叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn). 公垂線(xiàn)夾在兩個(gè)平行平面間的部分,叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段. 兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.(2) 求平行平面距離常用的方法直接利用定義求證 或連或作 某線(xiàn)段為距離,然后通過(guò)解三