第八章多元函數(shù)微分法PPT課件

1、 高等數(shù)學（XAUAT）練習題練習題解答解答重點難點重點難點基本概念基本概念計算方法計算方法練習題練習題典型例題定理結論定理結論習題課結構高等數(shù)學（XAUAT）一.本章的重點、難點、此次習題課達到的目的重點：偏導數(shù)的概念；全微分的概念；多元函數(shù)求偏導數(shù)；多元重點：偏導數(shù)的概念；全微分的概念；多元函數(shù)求偏導數(shù)；多元 函數(shù)求極值。函數(shù)求極值。難點：二元函數(shù)極限的計算；多元符合函數(shù)的求導法則、隱函數(shù)難點：二元函數(shù)極限的計算；多元符合函數(shù)的求導法則、隱函數(shù) 求導法則的運用；條件極值的概念與拉格朗日數(shù)乘法的意義。求導法則的運用；條件極值的概念與拉格朗日數(shù)乘法的意義。習題課達到的目的：使學生理解偏導數(shù)、全

2、微分的概念，熟練掌習題課達到的目的：使學生理解偏導數(shù)、全微分的概念，熟練掌 握偏導函數(shù)的計算方法。握偏導函數(shù)的計算方法。 高等數(shù)學（XAUAT）2.二元函數(shù)偏導數(shù)00000000,limlimxxxxfxx yfxyzfxyxx 記 00000000000,lim,.xxyyfx yDPxyDPDfx yfxyfx yPxy設函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)有定義，是 的內(nèi)點或邊界點，且如果則稱函數(shù)在點連續(xù)00000000000,.,lim,xzfx yPxyyfxx yfxyyzfx yxxyx 設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義當 固定在而極限存在，稱在關于 的偏導數(shù)存在.1.二元函數(shù)連續(xù).二 基 本 概 念高等

3、數(shù)學（XAUAT）00000000,limlimyyyyzf xyyf xyfxyyy 0000000,limxxxyyfxyyfxyfxyy 二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義。二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義。同理有同理有軸軸0000.,x yf xyx00,xfx y是曲線是曲線在點在點 的切線與的切線與tan x正向夾角的正切（即切線對0,zf x yy y軸的斜率）3.全微分全微分 若函數(shù)若函數(shù),z f x y在點在點, x y的全增量的全增量z可表為(,)( ,)( )zf xx yyf x yA x B y o 其中, A B與, x y 無關，僅與有關，, x y22xy 高等數(shù)學（XAUAT）

4、0202(,)( ,)()(liml( ,)( ,)(),(,)imf xx yyfzf x yP x ypplxlpxxx yfpfpyylxy 設函數(shù)在點的某一鄰域U內(nèi)有定義。自點 引射線設 軸正向到射線 的轉角為 ，并設為 上另一點若存在），（=）( ,),)zf x yx yxB y 在點（的微分 dz=Ayzdzdxdyxy全 微 分 公 式 : 4.方向導數(shù)稱函數(shù).ff xyPll（ ， ）在 點沿方向的方向導數(shù)存在,記為,)x y稱函數(shù)在點（可微，而函數(shù)高等數(shù)學（XAUAT）0limfpfpfl既cossi,nffflxzfyyyxp x方向導數(shù)計算公式： 若在是可微的 則 ,1

5、212,.,1,0,0,1 1,00, 1xyfx yp x yfffx ypxeyexeye 若在點的偏導存在 則在點沿 軸正向軸正向， 軸負方向， 軸負方向的方向導數(shù)存在1122xxyffffeeffffee 且 高等數(shù)學（XAUAT）( , )D( , )( , )zf x yffijzf x yp x yxy 設函數(shù)在平面區(qū)域 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),稱為函數(shù)在點的梯度.22(,)fffx yxy梯 度 的 模 ： grad(,)fffxyijxygra d 記 5 . 梯 度22max( ,)ffffx ylxygrad梯 度 的 方 向 與 取 得 最 大 方 向 導 數(shù) 的 方 向

6、 一 致 ， 它 的模 為 方 向 導 數(shù) 的 最 大 值 ，即 tanfxxfy梯 度 與 軸 正 向 轉 角 的 正 切 為高等數(shù)學（XAUAT）zfufvfwxuxvxwx Z W y v U x三.計算方法,zfx y1.多元顯函數(shù)偏導數(shù)的計算2.多元復合函數(shù)求偏導注意：分段表示的函數(shù)求偏導數(shù)時，各段上用公式求， 分段點一般而言，分段函數(shù)的偏 導數(shù)仍為處用定義求.分段函數(shù). .,.,.,zf u v wuu x y vv x y ww x yxzf u x yv x yw x y若其中那么.的偏導公式為xyyx對（或 ）求偏導.把（或 ）看成常量。高等數(shù)學（XAUAT）（1） 先畫出復

7、合函數(shù)的連鎖圖（如上頁圖）3 ddxx（ ） 公式中的復合函數(shù)的中間變量、自變量只有一個時. 求導記號用，多于一個時用。求多元復合函數(shù)的偏導數(shù)時，可用連鎖規(guī)則：具體做法（2） 連線圖中從復合函數(shù)到達某自變量的路線有幾條， 公式中就有幾項相加.每條線有幾段則該項就有幾 個偏導數(shù)（或導數(shù)）因子相乘。高等數(shù)學（XAUAT）, ,xyzFFFx y z求、時，將看作注意：相互獨立的。3. 隱函數(shù)求導()()()( , )( , )( , )( , )uvwuxyvxywxydzf duf dvf dwfu dxu dyfv dxv dyfw dxw dyg x y dxh x y dyuug x yh

8、 x yxy則（4） 利用一階全微分形式的不變性質(zhì)yxzzFFzzxFyF ( , , )0( , , )0,( , )F x y zF x y zzx yzf x ya. 如果方程滿足隱函數(shù)存在定理的條件 可由方程確定 是的函數(shù)：高等數(shù)學（XAUAT）( , )0( , )0 xyF x yFdyF x ydxF b. 方程滿足隱函數(shù)存在定理的條件 確定函數(shù) y=f（x）且 F X Y z XY以上公式可利用復合函數(shù)求導推得 , ,( ,)0,00 xxzxxzxyzyyyF x y f x yx yFzFFffxFFzFFffyF 方程兩邊分別對求偏導有 得 得 .xxyxzxyFffyF

9、zyf 2.求二階偏導數(shù)時，方程繼續(xù)對 求偏導， 是x, 的函數(shù)，解出其他同理。1.,.x yzx y注意：方程兩邊求導時，相互獨立， 是的函數(shù)高等數(shù)學（XAUAT） 00001,(,)xtytzw tttM xyz（ ）若向量曲線 由方程給出 則曲線 上對應于的點的切向量為,(,)0(,)uvuvu vx yFFF GGGU VF（x，y，u，v）=0c. 如果方程組 滿足隱函數(shù)存G（x，y，u，v）=0 在定理條件則方程組可確定是的函數(shù)，這時， 若 J= ,xuvuvxxyy 則：方程組中的每個方程兩邊對 求偏導數(shù)， 得到新方程組，解出 同理可得4. 空間曲線的切線和法平面方程高等數(shù)學（X

10、AUAT）0Tt 00（t ）， （t ）， （ ）0000)()0yyzztzz0000000 x-x切線方程： （t） （t）（t）法平面方程：（ )(x-x）+ (t )(y-y( ,)0( ,)0Fx y zGx y z若 曲 線為 曲 線的 切 向 量 為,yzxyzxyzxyzxMMMFFFFFFTGGGGGG高等數(shù)學（XAUAT）5. 曲面的切平面與法線 000zxyzxyzxyzxyMMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG切線： 0000000( , , )0(,)xyznFMFF x y zMx y zMF M 若曲面 由方程給出，則曲面 在點 法向量為 處的0000yzx

11、yzxyzxyzxMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面：高等數(shù)學（XAUAT）000000(,), 1xynfxyfxyM xy在點處的法向量: 000000 xyzF MxxF MyyF Mzz切平面： 00000 xyzxxyyzzFMFMFM 法 線： 00( , )( ,)zf x yM x y特殊：若 由給出，則 在點處0000000,1xyxxyyzzfxyfxy法 線 ： 0000000,0 xyfx yx xfx yyyzz切平面：高等數(shù)學（XAUAT）+注意：根號前要取“ ”號都取“ ”號，表示法線的一個方向。 根號前要取“-”號都取“-”號，表示法線的另一個方向

12、。 0000000000( , ),( , ),xxxyyyzf x yxyxyf xfxyBfxfxyyyC1 設在點的某鄰域內(nèi)存在直到二階連續(xù)偏導， 且為的駐點 A= 記 222222222cos,cos111coscoscoscos11yxxyxyxyffffffrrff 有法向量的方向余弦為6. 求多元函數(shù)極值高等數(shù)學（XAUAT）該駐點處的函數(shù)值即為所求的最值。2)0ACi iBi 時,不能判斷。200)0,ACBfiix y 時,處不取極值。2000,0) iACBfx yA時, 在點處取極限。且A0,y0 z0)的條件極值。 極值。 高等數(shù)學（XAUAT）2u12( , )dU.

13、,f.=e cos ,sin ,.1345ux yzx yzzv yev zuvxyxyz lnyy5. 求下列函數(shù)的一階偏導數(shù) （ ） z=x （ ）U=f(x,xy,xyz),z=6. 設 U=f(x,z),z(x,y)是有方程z=x+y (z)確定 的隱函數(shù)，求7. z=f(u,x,y),u=xe 其中 具有連續(xù)的二階偏導 數(shù)，求8. 設 x求9. 求平面和22柱面 X +Y =1的交線上 到 XOY平面距離最短的點。高等數(shù)學（XAUAT）七. 練習題答案222222222222ln1ln123231.141212 sincos02.( , )00( , )014.8ln5.(1)(ln)(2)()(