二元二次多項式的因式分解

1、形如Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F的二元二次多項式的因式分解分解形如Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F的多項式，常用的方法有：求根法、待定系數(shù)法、 雙十字相乘法和雙零分解法。當(dāng)然結(jié)合多項式的特點可以采用靈活的方法，如若已知它的一 個因式，可用分析二次項和常數(shù)項的方法，較容易的求得?，F(xiàn)舉例說明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F的二元二次多項式可看成關(guān)于 x (或y )的一元二次多項式。用求根公式求出兩根 Xr,X2，則原式=A X - Xr X - X2。在實 數(shù)范圍內(nèi)，原多項式分解成兩個一次因式，必須是關(guān)于x的方程的判別式是y的一次式的

2、完全平方式，為此這個判別式的判別式必須是0。例1、a為何值時，6x2 -xy-2y2 ay-6能分解成兩個一次式的乘積，并進行分解。分析：把上面的多項式看成x的一元二次式，令這個一元二次式為 0，解出x的兩個值 Xi,X2，則原式=6x-Xi x-X2，這里只須研究a何值時，為必是y的一次式即可。解：設(shè)6x2 -xy-2y2 ay-6 = 0，把此式看成關(guān)于x的一元二次方程，則該方程的判別 式： - y2 _24：i-2y2 ay _6 = 49y2 _24ay 144 ，要使方程的解為y的一次式，厶必須為完全平方式，那么判別式的判別式；1必須是零。.-m = 24a 2 -4 24 144

3、二 242 a2 -49 = 0，二 a 二 7(1)、當(dāng) a =7 時，由 6x2xy2y2 +7y 一6= 0解得 xr =空1,x2 =-丄 y +132則原式=6冷 y 一1 = 3x -23 2x y 221(2)、當(dāng) a =-7 時，由 6x2xy 2y27y-6 = 0解得捲=一 y+ 1,X2 =-一 y-132則原式=3x-2y -3 2x y 2練習(xí)： 把x2 -8xy 15y2 - 6x - 22y 8分解因式 答案：原式=x-3y-2 x-5y-4方法二：待定系數(shù)法用待定系數(shù)法因式分解的一般步驟：1、根據(jù)多項式的特點，確定所能分解成的形式。要盡量減少待定系數(shù)的個數(shù)，以利

4、求解。2、利用多項式恒等定理，列出以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組。3、解方程組，如方程或方程組有解，則原式可以分解為所設(shè)的形式；如果無解，則原方 程組不能分解為所設(shè)的形式。如果方程組有解，把解得的待定系數(shù)的數(shù)值代入所設(shè)的分解式中。例2、k為何值時，多項式2x2 kxy 3y2 -52可分解為兩個一次因式的積。分析：先設(shè)可分解成兩個一次式，原式中的k是xy的項未知系數(shù)。為使待定系數(shù)盡量少，可先考慮3y2 -5y -2二y -2 3y 1 ，所以可設(shè)：原式=ax 2 bx 3y 1 .，也可以先考 慮2x2 - 22x 2 x -1，所以可設(shè)：原式=2x my 2 x ny -1，這里只解前者。

5、解：設(shè) 2x2 kxy 3y2 -5y -2 = ax y - 2 bx 3y 1T ax y -2 bx 3y 1 = abx23a b xy 3y2a - 2b x - 5y - 2二 2x2 kxy 3y25y2 = abx2 3a b xy 3y2 a _ 2b x5y2由兩邊對應(yīng)項系數(shù)相等得:ab =2*3b + a = k a _ 2b = 0-a = 2 a = -2，解此方程組得b=1或b = T= 7,k = -7.當(dāng) k = 7 時，原式可分解為 2x2 kxy 3y2 -5y - 2 = 2x y - 2 x 3y 1 ;當(dāng) k - -7 時，原式可分解為 2x2 - k

6、xy 3y25y2 = 2x y -2：i-x 3y 1練習(xí)：a為何值時，6x2 xy2y2 ay_6能分解成兩個一次式的乘積，并進行分解。| m = -3答案：解得n=2 原式可分解為 6x2 -xy -2y2 + ay-6 = (3x -2y -3、(2x + y + 2) a = 7說明：上面方法是常用的兩種方法，特別是求待定系數(shù)很有效；不含待定系數(shù)的也可用 雙十字相乘法。方法三、雙十字相乘法雙十字相乘法即運用兩次十字相乘法，第一次運用十字相乘法將多項式中的二次齊次式 分解因式，然后再運用一次十字相乘法。其理論依據(jù)：若 Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx + Ey + F 可分解為(

7、ax+ by+ c j(dx +ey+f )，貝U當(dāng) c = f =0 時，Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F = Ax2 Bxy Cy2 二 ax by dx ey例 3、把 x2 2xy-3y2 5x-7y 6 分解因式解：可先用十字相乘法，把x22xy-3y2分解,x 3yx '-y，然后再用十字相乘法x 3- 2x _ y- 3于是原式=x 3y2 x-y _3練習(xí)：分解因式2x2 -x6y2 8x 5y 6答案：原式=2x 3y 2 x - 2y 3方法四、雙零分解法理論依據(jù)：若Ax2BxyCy2Dx EyF可分解為ax by cdx ef，則當(dāng)y = 0時有 Ax2 B

8、xy Cy2DxEyF = Ax2Dx F = ax c dx f ;當(dāng)x = 0 時有Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F = Cy2 Ey F 二 by c ey f 。次多項式時，可令y =0得關(guān)于x的二次三項式Ax2 Dx F分解為ax c d f ;再令x = 0得 關(guān)于y的二次三項式Cy2 Ey F并分解為by c e f ;注意這里兩分解式中的常數(shù)項應(yīng) 相同，如果不同就要變形使其相同。這時有Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =ax by c dx ey f。例 4、分解因式 6x2 13xy 5y2 7x 7y 2解：令 y = 0 有 6x2 13xy 5y2 7x 7

9、 y 2 = 6x2 7x 2 = 2x 1 3x 2 ； 令 x = 0有 6x2 13xy 5y2 7x 7y 2 = 5y2 7y 2 二 y 1 5y 2 所以有 6x2 13xy 5y2 7x 7y 2 = 2x y 1 3x 5y 2練習(xí)：分解因式 x2 x6y2 2x 113答案：原式-:：-2y 3 x，3y-1方法五：分析二次項、常數(shù)項法若已知它的一個因式，可用分析二次項和常數(shù)項的方法，較容易的求得。 例5、若多項式x2 +2xy-8y2+2x+14y-3有一個因式x-2y+3，則另一個因式為。解：由于多項式x2 2x8y2 2x 143有一個因式x-2y，3，且原式二次項中含有x2和-8y2，所以另一個因式中必有一次項 x 4y