華羅庚杯幾何部分(小高組)

1、華羅庚杯幾何部分第19講 圖形的分割與拼接怎樣把一個(gè)圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個(gè)圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個(gè)圖形？這就是本講要解決的問題。例1請(qǐng)將一個(gè)任意三角形分成四個(gè)面積相等的三角形。分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來分割。方法一：將某一邊等分成四份，連結(jié)各分點(diǎn)與頂點(diǎn)（見左下圖）。方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結(jié)分點(diǎn)與另兩個(gè)頂點(diǎn)（見右上圖）。方法三：找出三條邊上的中點(diǎn)，然后如左下圖所示連結(jié)。方法四：將三條邊上的中點(diǎn)兩兩連結(jié)（見右上圖）。前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相等的兩部分，然后分別將

2、每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。例2將右圖分割成五個(gè)大小相等的圖形。分析與解：因?yàn)閳D中共有15個(gè)小正方形，所以分割成的圖形的面積應(yīng)該等于15÷5=3（個(gè)）小正方形的面積。3個(gè)小正方形有和兩種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。例3右圖是一個(gè)4×4的方格紙，請(qǐng)?jiān)诒３置總€(gè)小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。分析與解：因?yàn)榉指畛赏耆嗤膬蓧K，所以每塊有8個(gè)小方格，并且這兩塊關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱。下面是六種分割方法。例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形。分析與解：圖形的面積等于16個(gè)小方格，如果以每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，那么

3、拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是4。因?yàn)轭}圖是缺角長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來長(zhǎng)為6，向左平移2使長(zhǎng)為4）?？紤]到缺角這一特點(diǎn)，可做下圖所示的分割和拼接。例5有一塊長(zhǎng)4.8米、寬3米的長(zhǎng)方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長(zhǎng)4米、寬3.6米的房間中。請(qǐng)將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。分析與解：首先驗(yàn)證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何以可將原來的長(zhǎng)分為4份，寬分為3份（見下頁(yè)左上圖），現(xiàn)在的長(zhǎng)與寬如下頁(yè)右上圖。容易得到下圖所示的分割與拼接的方法。例6用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個(gè)外面是正方形，

4、里面有正方形孔的圖形。分析與解：右圖所示的三角板，A是直角，B+C=90°。因?yàn)橐吹膱D形有內(nèi)外兩個(gè)正方形，所以有將A作為外正方形的角（左下圖）和拼內(nèi)正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以重疊放置，還有右下圖所示的拼法。 練習(xí)19 1.試將一個(gè)等邊三角形分割成8個(gè)全等的直角三角形。2.用四種方法將左下圖分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整。3.將右上圖分成四個(gè)大小相等、形狀相同的圖形。4.將下圖分成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形。5.將一塊30×20的方格紙分成大小、形狀都相同的兩塊，然后拼成一個(gè)24×25的長(zhǎng)方形。6.將一個(gè)正方形分成相等的4

5、塊，然后用這4塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形。 第20講 多邊形的面積我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計(jì)算，圖形及計(jì)算公式如下：正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=a2，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬=ab，平行四邊形面積=底×高=ah，圓面積=半徑×半徑×=r2，扇形面積=半徑×半徑××圓心角的度數(shù)÷360°在實(shí)際問題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計(jì)算。在本講和后面的兩講中，我們將學(xué)習(xí)如何計(jì)

6、算它們的面積。例1 小兩個(gè)正方形組成下圖所示的組合圖形。已知組合圖形的周長(zhǎng)是52厘米，DG=4厘米，求陰影部分的面積。分析與解：組合圖形的周長(zhǎng)并不等于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和，因?yàn)镃G部分重合了。用組合圖形的周長(zhǎng)減去DG，就得到大、小正方形邊長(zhǎng)之和的三倍，所以兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。又由兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差是4厘米，可求出大正方形邊長(zhǎng)=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形邊長(zhǎng)=（16-4）÷2=6（厘米）。兩個(gè)正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，就得到陰影部分的面積。102+62-（10×10÷

7、2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。例2如左下圖所示，四邊形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。分析與證明：這道題兩個(gè)平行四邊形的關(guān)系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié)CE（見右上圖），這時(shí)通過三角形DCE，就把兩個(gè)平行四邊形聯(lián)系起來了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。兩個(gè)平行四邊形的

8、面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。例3如左下圖所示，一個(gè)腰長(zhǎng)是20厘米的等腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到兩腰的垂線段的長(zhǎng)分別是a厘米和b厘米。求a+b的長(zhǎng)。分析與解：a，b與三角形面積的關(guān)系一下子不容易看出來。連結(jié)等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊上所取的點(diǎn)，把等腰三角形分為兩個(gè)小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米（見右上圖）。大三角形的面積與a，b的關(guān)系就顯露出來了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個(gè)小三角形的面積分別為20×a÷2和20×b÷2。因?yàn)檫@兩個(gè)小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有20&#

9、215;a÷2+20×b÷2=140，10×（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通過添加輔助線，使圖形間的關(guān)系更清晰，從而使問題得解。下面再看一例。例4如左下圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長(zhǎng)一倍到D，E，F(xiàn)，兩兩連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到一個(gè)新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。分析與解：想辦法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯(lián)系。連結(jié)FB（見右上圖）。因?yàn)镃A=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因?yàn)锳B=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF

10、的面積是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。所以三角形DEF的面積等于20×3+10=70（厘米2）。例5一個(gè)正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長(zhǎng)方形比原來正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長(zhǎng)方形的面積。分析與解：根據(jù)已知條件畫出下頁(yè)左上圖，其中甲、乙、丙為截去的部分。由左上圖知，丙是長(zhǎng)15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150（厘米2）。因?yàn)榧住⒈纬傻木匦蔚拈L(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，乙、丙形成的矩形的長(zhǎng)也等于原正方形的邊長(zhǎng)，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于10+15=

11、25（厘米），長(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，面積等于（甲+丙）+（乙+丙）= 甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米2）。所以原正方形的的邊長(zhǎng)等于1875÷25=75（厘米）。剩下的長(zhǎng)方形的面積等于75×75-1725=3900（厘米2）。例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見右圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。分析與解：把黃色正方形紙片向左移動(dòng)并靠緊盒子的左邊。由于三個(gè)正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁(yè)右上圖。此時(shí)露出的黃、綠兩部分的面積相等

12、，都等于（14+10）÷2=12。因?yàn)榫G：紅=A黃，所以綠×黃=紅×A，A=綠×黃÷紅 =12×12÷20=7.2。正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2。 練習(xí)201.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個(gè)最大的正方形，求這個(gè)正方形的面積。2.如左下圖所示，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是75厘米，以BC為底的高是14厘米，以CD為底的高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。3.如右上圖所示，在一個(gè)正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平

13、方米？4.如右圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是28厘米2，梯形的上底長(zhǎng)是多少厘米？5.如下圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形ABC的面積是多少？6.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是28厘米，如果它的長(zhǎng)、寬都分別增加3厘米，那么得到的新長(zhǎng)方形比原長(zhǎng)方形的面積增加了多少平方厘米？7.如下圖所示，四邊形ABCD的面積是1，將BA，CB，DC，AD分別延長(zhǎng)一倍到E，F(xiàn)，G，H，連結(jié)E，F(xiàn)，G，H。問：得到的新四邊形EFGH的面積是多少？第21講 用等量代換求面積一個(gè)量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個(gè)數(shù)，它們的

14、差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個(gè)性質(zhì)在解幾何題時(shí)有很重要的作用，它能將求一個(gè)圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)圖形的面積，或?qū)蓚€(gè)圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個(gè)圖形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。例1兩個(gè)相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析與解：陰影部分是一個(gè)高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因?yàn)槿切蜛BC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為

15、10-3=7（厘米），面積為（7+10）×2÷2=17（厘米2）。所以，陰影部分的面積是17厘米2。例2在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長(zhǎng)8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形ABCD的面積。分析與解：因?yàn)殛幱安糠直热切蜤FG的面積大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10厘米2，所以平行四邊形ABCD的面積等于10×8÷2+10=50（厘米2）。例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘

16、米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2。求ED的長(zhǎng)。分析與解：求ED的長(zhǎng)，需求出EC的長(zhǎng)；求EC的長(zhǎng)，需求出直角三角形ECB的面積。因?yàn)槿切蜛FB比三角形EFD的面積大18厘米2，這兩個(gè)三角形都加上四邊形FDCB后，其差不變，所以梯形ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形ABCD的面積，就能依次求出三角形ECB的面積和EC的長(zhǎng)，從而求出ED的長(zhǎng)。梯形ABCD面積=（8+4）×6÷2=36（厘米2），三角形ECB面積=36-18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。例

17、4 下頁(yè)上圖中，ABCD是7×4的長(zhǎng)方形，DEFG是10×2的長(zhǎng)方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差，而這兩個(gè)圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。解法一：連結(jié)B，E（見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法二：連結(jié)C，F(xiàn)（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都

18、加上三角形CFO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法三：延長(zhǎng)BC交GF于H（見下頁(yè)左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。解法四：延長(zhǎng)AB，F(xiàn)E交于H（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為4×（10-7）-（10-7

19、）×（4+2）÷2=3。例5左下圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求三角形ABC的面積。分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒關(guān)系。連結(jié)AD（見右上圖），可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等。因?yàn)槿切蜛FD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABF與三角形FCD面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于4×4÷2=8（厘米2）。

20、 練習(xí)21 1.左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？2.右上圖（單位：厘米）是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。3.左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面積。（=3.14）4.在右上圖的三角形中，D，E分別是所在邊的中點(diǎn)，求四邊形ADFE的面積。5.下頁(yè)左上圖中，矩形ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面積大9厘米2，求ED的長(zhǎng)。6.右上圖中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三

21、角形CDE的面積大2厘米2，求CD的長(zhǎng)。影部分的面積和。 第22講 用割補(bǔ)法求面積在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它們的面積，常常需要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計(jì)算面積，有時(shí)也要用到割補(bǔ)的方法。例1求下列各圖中陰影部分的面積：分析與解：（1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積

22、之差。×4×4÷4-4×4÷2=4.56。（2）在題圖虛線分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓。如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯觯}圖的陰影部分正好等于一個(gè)正方形的面積，為5×5=25。例2在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。分析與解：陰影部分是一個(gè)梯形。我們用三種方法解答。（1）割補(bǔ)法從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將這兩個(gè)直角三角

23、（2）拼補(bǔ)法將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形（下頁(yè)左上圖）。積和平行四邊行面積同時(shí)除以2，商不變。所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面（3）等分法將原圖等分成9個(gè)小三角形（見右上圖），陰影部分占3個(gè)小三角形，注意，后兩種方法對(duì)任意三角形都適用。也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。例3如左下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長(zhǎng)5厘米、下底長(zhǎng)9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。分析與解：因?yàn)椴恢捞菪蔚母?，所以不能直接求出梯形的面積。可以從等腰直角三角形與正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形（上頁(yè)

24、右下圖），圖中陰影部分是邊長(zhǎng)9厘米與邊長(zhǎng)5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。例4在左下圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。分析與解：題中給出了兩個(gè)似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個(gè)直角三角形再拼補(bǔ)上一個(gè)相同的直角三角形（見右上圖）。因?yàn)锳與A，B與B面積分別相等，所以甲、乙兩個(gè)矩形的面積相等。乙的面積是4×6=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。例5下圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘米2。求乙正方形的面積

25、。分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（見左下圖）。把C割下，拼補(bǔ)到乙正方形的上面（見右上圖），這樣A，B，C三塊就合并成一個(gè)長(zhǎng)20厘米的矩形，面積是40厘米2，寬是40÷20=2（厘米）。這個(gè)寬恰好是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差，由此可求出乙正方形的邊長(zhǎng)為（20-2）÷2=9（厘米），從而乙正方形的面積為9×9=81（厘米2）。練習(xí)221.求下列各圖中陰影部分的面積：（1） （2）2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個(gè)半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長(zhǎng)4厘米，求圖中陰影部分的面積。3.在左下圖所示的等腰直角

26、三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求下底和高。4.在右上圖中，長(zhǎng)方形AEFD的面積是18厘米2，BE長(zhǎng)3厘米，求CD的長(zhǎng)。5.下圖是甲、乙兩個(gè)正方形，甲的邊長(zhǎng)比乙的邊長(zhǎng)長(zhǎng)3厘米，甲的面積比乙的面積大45厘米2。求甲、乙的面積之和。6.求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD的面積。立體幾何第十一講：圓和扇形（一）（一）基本知識(shí)1、圓：圓周長(zhǎng)公式：C=d或C=2r。 圓面積公式：。圓環(huán)面積： 圖一 圖二 圖三2、扇形。如上圖二，連接兩條半徑OA、OB，就可得到一個(gè)扇形OAB，扇形面積公式是：S=。扇形的圓弧長(zhǎng)=所在圓周長(zhǎng)的。其

27、中r是指扇形的在圓的面積，n指的是圓心角的度數(shù)。例1、圖二中n=60°，半徑為6厘米，扇形面積是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上圖三， S弓AC= S扇AOCSAOC例2、圖三中，直角三角形AOC的直角邊OA= 6厘米，求弓形AC的面積。（二）基本運(yùn)用例3、街心花園中圓形花壇的周長(zhǎng)是18.84米?；▔拿娣e是多少平方米？例4、計(jì)算下圖陰影部分的面積(單位：厘米)例5、在一塊長(zhǎng)4.5米，寬2米的長(zhǎng)方形鐵板上截下2個(gè)最大的圓形后，剩下的鐵板面積是多少平方米？ 例6、從一塊邊長(zhǎng)10厘米的正方形鐵皮上剪下一個(gè)最大的圓，這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的面積是多少？例7、從一個(gè)直徑為1

28、0厘米的圓中，剪去一個(gè)最大的正方形，正方形面積是多少？例8、求下圖中陰影部分的面積和周長(zhǎng)。練 習(xí)一、基本題1、一個(gè)圓形花壇的周長(zhǎng)是25.12米。花壇的面積是多少平方米？2、已知一個(gè)圓的面積是28.26平方厘米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。3、下圖涂色部分是個(gè)環(huán)形，它的內(nèi)圓半徑是10厘米，外圓半徑是15厘米，它的面積是多少？4、從一塊邊長(zhǎng)8厘米的正方形鐵皮上剪下一個(gè)最大的圓，陰影部分面積是多少？5、下圖圓的半徑為6厘米，圓心角為45度，扇形AOC的面積是多少？弧AC是多少？6、下圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為20厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。 7、求陰影部分的面積：(單位：分米) （=3）8、右圖中直角三角形ABC

29、的底AB= 20 厘米，以AB為直徑畫成一個(gè)圓，圓心為O，CO垂直于AB，求弓形AC的面積。9、求下圖中陰影部分面積和周長(zhǎng)（1）等腰梯形的腰是0.8。（單位：厘米）（2）三角形ABC是等邊三角形，底BC= 6厘米，扇形圓心角為120度。思考題：10、在下圖中左右兩個(gè)正方形一樣大小，且圖（2）中四個(gè)小圓一樣大試問是圖（1）中的大圓面積大，還是圖（2）中四個(gè)小圓的面積之和大？請(qǐng)說明理由。第11講 圓與扇形五年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長(zhǎng)、面積等問題。圓的面積=r2，圓的周長(zhǎng)=2r，本書中如無特殊說明，圓周率都取=3.14。例

30、1 如下圖所示，200米賽跑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在直跑道上，中間的彎道是一個(gè)半圓。已知每條跑道寬1.22米，那么外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面多少米？（精確到0.01米）分析與解：半徑越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長(zhǎng)，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點(diǎn)就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長(zhǎng)度差。雖然彎道的各個(gè)半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。設(shè)外彎道中心線的半徑為R，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，則兩個(gè)彎道的長(zhǎng)度之差為R-r（R-r） 3.14×1.223.83（米）。即外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面3.83米。例2 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡

31、皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時(shí)橡皮筋的長(zhǎng)度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長(zhǎng)等于6個(gè)線段AB與6個(gè)BC弧長(zhǎng)之和。將圖中與BC弧類似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心角平移拼補(bǔ)，得到6個(gè)角的和是360°，所以BC弧所對(duì)的圓心角是60°，6個(gè)BC弧等于直徑5厘米的圓的周長(zhǎng)。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長(zhǎng)=5×65×3.1445.7（厘米）。例3 左下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計(jì)算。容易看出，正方形中的空白部分是4個(gè)四分之一圓，利用五年級(jí)學(xué)過的割補(bǔ)法，可以得到右上圖。右上圖的陰影部

32、分的面積與原圖相同，等于一個(gè)正方形與4個(gè)半圓（即2個(gè)圓）的面積之和，為（2r）2r2×2=1023.14×50257（厘米2）。 例4 草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動(dòng)的范圍是例5 右圖中陰影部分的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半徑是4厘米。例6 右圖中的圓是以O(shè)為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積。分析與解：解此題的基本思路是：從

33、這個(gè)基本思路可以看出：要想得到陰影部分S1 的面積，就必須想辦法求出S2和S3的面積。S3的面積又要用下圖的基本思路求： 現(xiàn)在就可以求出S3的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積了。S3=S4-S5=50-100（厘米2），S1=S2-S3=50-（50-100）=100（厘米2）。練習(xí)111.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長(zhǎng)20厘米，直角邊BC長(zhǎng)10厘米。如下圖所示，三角形由位置繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置，此時(shí)B，C點(diǎn)分別到達(dá)B1，C1點(diǎn)；再繞B1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置，此時(shí)A，C1點(diǎn)分別到達(dá)A2，C2點(diǎn)。求C點(diǎn)經(jīng)C1到C2走過的路徑的長(zhǎng)。2.下頁(yè)左上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘

34、米？3.一只狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的等邊三角形建筑物的墻角上（見右上圖），繩長(zhǎng)是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個(gè)400米的跑道，兩頭是兩個(gè)半圓，每一半圓的弧長(zhǎng)是100米，中間是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為100米。求兩個(gè)半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左下圖中，正方形周長(zhǎng)是圓環(huán)周長(zhǎng)的2倍，當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，這個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影部分的面積是14厘米2 ，求圖中三角形的面積。答案與提示練習(xí)111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影部分周長(zhǎng)是6+2×7=62.8（厘米）。3.

35、43.96米2。解：如下頁(yè)右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300°的扇形與兩個(gè)半徑為1米、圓心角為120°的扇形。面積為4.60°。解：設(shè)CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有解得n=60。5.13。6.3圈。7.8厘米2。解：圓的面積是42=16（厘米2），空白扇形面積占圓面積的1-的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8（厘米2）。第12講 圓柱與圓錐這一講學(xué)習(xí)與圓柱體和圓錐體有關(guān)的體積、表面積等問題。例1 如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能裝多少升水？分析與解：本題的關(guān)鍵是要找出容器上

36、半部分的體積與下半部分的關(guān)系。這表明容器可以裝8份5升水，已經(jīng)裝了1份，還能裝水5×（81）=35（升）。例2 用一塊長(zhǎng)60厘米、寬40厘米的鐵皮做圓柱形水桶的側(cè)面，另找一塊鐵皮做底。這樣做成的鐵桶的容積最大是多少？（精確到1厘米3）分析與解：鐵桶有以60厘米的邊為高和以40厘米的邊為高兩種做法。時(shí)桶的容積是桶的容積是例3 有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30分米3?，F(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時(shí)飲料高度為20厘米，倒放時(shí)空余部分的高度為5厘米（見右圖）。問：瓶?jī)?nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？分析與解：瓶子的形狀不規(guī)則，并且不知道底面的半徑，似乎無法計(jì)算。比較一下正放與倒放，因

37、為瓶子的容積不變，裝的飲料的體積不變，所以空余部分的體積應(yīng)當(dāng)相同。將正放與倒放的空余部分變換一下位置，可以看出飲料瓶的容積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為 205=25（厘米）例4 皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是水面升高的高度是450÷9000.5（厘米）。答：水面升高了0.5厘米。例5 有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、

38、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個(gè)與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為例6 將一個(gè)底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個(gè)底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個(gè)圓柱形鋁塊的高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：被熔的圓柱形鋁塊的體積：×302×20=18000（厘米3）。 熔成的圓柱形鋁塊的高：（360018000）÷（×152） =21600÷225=96（厘米）。 答：熔鑄成的圓柱體高96厘米。練習(xí)121.右圖是一頂帽子。帽頂部分是圓柱形，

39、用黑布做；帽沿部分是一個(gè)圓環(huán)，用白布做。如果帽頂?shù)陌霃?、高與帽沿的寬都是a厘米，那么哪種顏色的布用得多？2.一個(gè)底面直徑為20厘米的圓柱形木桶里裝有水，水中淹沒著一個(gè)底面直徑為18厘米、高為20厘米的鐵質(zhì)圓錐體。當(dāng)圓錐體取出后，桶內(nèi)水面將降低多少？3.用直徑為40厘米的圓鋼鍛造長(zhǎng)300厘米、寬100厘米、厚2厘米的長(zhǎng)方形鋼板，應(yīng)截取多長(zhǎng)的一段圓鋼？容器高度的幾分之幾？5.右上圖是一個(gè)機(jī)器零件，其下部是棱長(zhǎng)20厘米的正方體，上部是圓柱形的一半。求它的表面積與體積。6.有兩個(gè)盛滿水的底面半徑為10厘米、高為30厘米的圓錐形容器，將它們盛的水全部倒入一個(gè)底面半徑為20厘米的圓柱形容器內(nèi)，求水深。答案

40、與提示練習(xí)121.一樣多。2.5.4厘米。3.47.8厘米。解：（300×100×2）÷（3.14×202）47.8（厘米）。解：設(shè)水面高度是容器高度的x倍，則水面半徑也是容器底面半徑的x倍。根據(jù)題意得到5.表面積2942厘米2，體積11140厘米3。6.5厘米。第13講 立體圖形（一）我們學(xué)過的立體圖形有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體等。這一講將通過長(zhǎng)方體、正方體及其組合圖形，講解有關(guān)的計(jì)數(shù)問題。例1 左下圖中共有多少個(gè)面？多少條棱？分析與解：如右上圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個(gè)方向看這個(gè)立體圖形。前、后看各有1個(gè)面，左面看有1個(gè)面，右面看有

41、2個(gè)面，上面看有2個(gè)面，下面看有1個(gè)面。所以共有11+1+221= 8（個(gè)）面。前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱666=18（條）。例2 右圖是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。分析與解：如果一面一面去數(shù)，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯(cuò)。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)立體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得表面積為（978）×2=48（厘米2）。例3 右圖是由22個(gè)小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個(gè)大大小小的正方體？由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體有多少個(gè)？分析與解：正方體只可能有兩種：由1

42、個(gè)小正方體構(gòu)成的正方體，有22個(gè)；由8個(gè)小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4個(gè)。所以共有正方體 224=26（個(gè)）。由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體，根據(jù)擺放的方向可分為下 圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個(gè)，左右位有13個(gè)，前后位有14個(gè)，共有131314=40（個(gè)）。例4 有一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體木塊，從它的每個(gè)面看都有一個(gè)穿透的完全相同的孔（見下頁(yè)左上圖），求這個(gè)立體圖形的表面積。分析與解：由于正方體中間被穿了孔，表面積不好計(jì)算。我們可以將這個(gè)立體圖形看成由8個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體和12個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的立方體粘合而成。如右上圖所示，八個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的

43、正方體分別在8個(gè)頂角，12個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體分別在12條棱的中間。由于每個(gè)小正方體都有2個(gè)面分別粘接兩個(gè)較大正方體，相對(duì)于不粘接，減少了表面積4厘米2 ，所以總的表面積為（2×2×6）×8（1×1×6）×12-4×12=216（厘米2）。例5 右圖是由120塊小立方體構(gòu)成的4×5×6的立方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面三面被涂成紅色的小立方體各有多少塊？分析與解：一個(gè)長(zhǎng)方體有8個(gè)角、12條棱、6個(gè)面，角上的8個(gè)小立方體三面涂有紅色，在棱上而不在角上的小立方體兩面涂有紅色，在面上而不在棱上的

44、小立方體一面涂有紅色，不在面上的小立方體沒有涂上紅色。根據(jù)上面的分析得到：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體，因?yàn)槊織l棱上要去掉兩頭的2塊，故有（4-2）（5-2）+（6-2）×4=36（塊）；一面涂有紅色的小立方體，因?yàn)槊總€(gè)面上要去掉周圍一圈的小立方體，故有（4-2）×（5-2）（4-2）×（6-2）（5-2）×（6-2）×2 52（塊）。一般地，當(dāng)a，b，c都不小于2時(shí)，對(duì)于a×b×c的立方體：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）（b-2）（c-2）×4；一

45、面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）×（b-2）（a-2）×（c-2）（b-2）×（c-2）×2；沒有被涂上紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）×（b-2）×（c-2）。例6 給一個(gè)立方體的每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，每種顏色涂?jī)蓚€(gè)面，共有多少種不同涂法？（兩種涂法，經(jīng)過翻動(dòng)能使各種顏色的位置相同，認(rèn)為是相同的涂法。）分析與解：根據(jù)兩個(gè)紅色面相對(duì)還是相鄰可分為兩情況。（1）兩個(gè)紅色面相對(duì)。此時(shí)，有藍(lán)藍(lán)相對(duì)和藍(lán)藍(lán)相鄰兩種涂法。（2）兩個(gè)紅色面相鄰。此時(shí)，除藍(lán)藍(lán)相對(duì)和黃黃相對(duì)兩種涂法外，當(dāng)藍(lán)黃相對(duì)時(shí)，按右圖擺放，底面有藍(lán)或

46、黃兩種涂法。所以共有6種不同涂法。練習(xí)131.下頁(yè)左上圖中共有多少個(gè)面？多少條棱？2.有30個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色。求被涂成紅色的表面積。3.有一個(gè)正方體，紅、黃、藍(lán)色的面各有兩面。在這個(gè)正方體中，有一些頂點(diǎn)是三種顏色都不同的面的交點(diǎn)，這種頂點(diǎn)最多有幾個(gè)？最少有幾個(gè)？4.將一個(gè)表面涂有紅色的長(zhǎng)方體分割成若干個(gè)體積為1厘米3 的小正方體，其中一點(diǎn)紅色都沒有的小立方體只有3塊。求原來長(zhǎng)方體的體積。5.將一個(gè)5×5×5的立方體表面全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個(gè)面是紅色的小立方

47、體，組成表面全部是紅色的長(zhǎng)方體。那么，可組成的長(zhǎng)方體的體積最大是多少？6.在邊長(zhǎng)為3分米的立方體木塊的每個(gè)面的中心打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長(zhǎng)為1分米的正方形（見左下圖）。求挖洞后木塊的體積及表面積。7.把正方體的六個(gè)表面都劃分成9個(gè)相等的正方形（右上圖）。用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？答案與提示練習(xí)131.9個(gè)面，21條棱。2.56米2。解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米2）。3.8個(gè)；2個(gè)。提示：顏色相同的面兩兩相對(duì)時(shí)有8個(gè)；顏色相同的面兩兩相鄰時(shí)有2個(gè)。4.45厘米3。解：由3塊

48、小立方體構(gòu)成的長(zhǎng)方體體積為1×1×3厘米3，故原來長(zhǎng)方體的體積為（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米3）。5.96。解：至少有一個(gè)面是紅色的小立方體有53-33=98（個(gè)），其中三面紅的8個(gè)，兩面紅的36個(gè)，一面紅的54個(gè)。可以組成4×4×6的表面全是紅色的長(zhǎng)方體，體積是4×4×6=96。6.20分米3；72分米3。7.22個(gè)。解：一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色（見左下圖）。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格。其余四個(gè)面中，每個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色

49、，至多能染4個(gè)紅色方格（見上中圖）。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成4個(gè)紅色方格。最后剩下兩個(gè)相對(duì)的面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格（見右上圖）。所以，紅色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（個(gè)）。第14講 立體圖形（二）本講主要講長(zhǎng)方體和立方體的展開圖，各個(gè)面的相對(duì)位置，提高同學(xué)們的看圖能力和空間想象能力。例1 在下面的三個(gè)圖中，有一個(gè)不是右面正四面體的展開圖，請(qǐng)將它找出來。分析與解：觀察四面體容易看出，每個(gè)頂點(diǎn)都是三個(gè)面的交點(diǎn)，即四面體的每個(gè)頂點(diǎn)只與三個(gè)面相連，而在圖2中，“中心點(diǎn)”與四個(gè)面相連，所以圖2不是正四面體的

50、展開圖。例2 在下面的四個(gè)展開圖中，哪一個(gè)是右圖所示立方體的展開圖？分析與解：觀察立方體圖形，A，B，C三個(gè)面兩兩相鄰，即三個(gè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)。再看四個(gè)展開圖，圖1中A與C不相鄰，是相對(duì)的兩個(gè)面，不合題意；圖3中C與B是相對(duì)的兩個(gè)面，也不合題意；圖2、圖4中A，B，C三個(gè)面都相鄰，還需進(jìn)步判別。我們看下面的兩個(gè)立方體圖形：這兩個(gè)圖雖然相似，但是A，B，C三個(gè)面的相對(duì)位置不同。我們可以借助一個(gè)現(xiàn)成工具右手，幫助判斷三個(gè)面的相對(duì)位置。伸出右手，讓除大姆指外的四指從A向B彎曲，此時(shí)，左上圖中C位于大姆指指向的方向，右上圖中C位于大姆指指向的相反方向。所以兩個(gè)圖A，B，C三個(gè)面的相對(duì)位置不同。用這種方

51、法判斷三個(gè)面相對(duì)位置的方法稱為右手方法。（這也是建立空間坐標(biāo)系的方法）。用右手方法很容易判斷出，圖4是所求的展開圖。例3 右圖是一個(gè)立方體紙盒的展開圖，當(dāng)折疊成紙盒時(shí)，1 點(diǎn)與哪些點(diǎn)重合？分析與解：直接想象將展開圖折疊成紙盒時(shí)的情景，也可以得到答案?，F(xiàn)在我們從另一個(gè)角度來分析。在左下圖所示的立方體上觀察8個(gè)頂點(diǎn)，其中與A點(diǎn)不在一個(gè)表面上的只有B點(diǎn)，也就是說，沿著表面走，這兩個(gè)點(diǎn)的路程最遠(yuǎn)。在展開圖上，這兩個(gè)點(diǎn)恰好是相鄰兩個(gè)小正方形所構(gòu)成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線上的兩個(gè)端點(diǎn)。在上頁(yè)右下圖中，1，2，6點(diǎn)都距9點(diǎn)最遠(yuǎn)，也就是說，1，2，6點(diǎn)都與9點(diǎn)不在一個(gè)表面上。而與9點(diǎn)不在一個(gè)表面上的只有一個(gè)點(diǎn)，所以1

52、，2，6點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，即折疊成紙盒時(shí)，1，2，6點(diǎn)重合。例4 有兩塊六個(gè)面上分別寫著16的相同的數(shù)字積木，擺放如下圖。在這兩塊積木中，相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是多少？分析與解：由兩圖看出，5與1，3，4，6都相鄰，所以5的對(duì)面只能是2；對(duì)右上圖使用右手方法，四指由5向4彎曲，大姆指指向6，將5，4，6的這個(gè)關(guān)系移到左上圖，立刻得到1的對(duì)面是4，3的對(duì)面是6。5×210，1×44，3×618，相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是4。例5 有五顆相同的骰子放成一排（如下圖），五顆骰子底面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？分析與解：五顆骰子有三顆露出了5，并且5和1，2，3，6相鄰，所以

53、5的對(duì)面是4；2與1，3，5相鄰，因?yàn)?與4相對(duì)，故2也與4相鄰，所以2的對(duì)面是6；剩下的1與3必相對(duì)。五顆骰子底面的點(diǎn)數(shù)從左至右依次是4，6，3，1，4，其和為4631418。例6 用一平面去截一個(gè)立方體，把立方體截成兩個(gè)部分，截口是一個(gè)矩形的。問：這兩個(gè)部分各是幾個(gè)面圍成的？分析與解：截的方法有多種，所以一定要分情況討論。截口通過1條棱是1種情況，截口通過2條棱是1種情況，截口不通過任何棱有2種情況。所以共有下圖所示的四種可能。練習(xí)141.在下列各圖中，哪些是正方體的展開圖？2.將左下圖沿虛線折成一個(gè)立方體，它的相交于一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)面上的數(shù)字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相

54、同的骰子，展開圖如右上圖（1）。問：在右上圖（2）中，從上往下數(shù)第二、三、四枚骰子的上頂面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？4.將一個(gè)立方體紙盒沿棱剪開，使之展開成右圖所示的圖形，一共要剪開幾條棱？5.左下圖是圖（1）（2）（3）中哪個(gè)正方體的展開圖？6.在一個(gè)立方體的六個(gè)面上分別寫有A，B，C，D，E五個(gè)字母，其中兩個(gè)面寫有相同的字母。下圖是它的三個(gè)視圖。問：哪個(gè)字母被寫了兩遍？7.右圖中第1格內(nèi)放著一個(gè)立方體木塊，木塊六個(gè)面上分別寫著A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母，其中A與D，B與E，C與F相對(duì)。如果將木塊沿著圖中方格滾動(dòng)，那么當(dāng)木塊滾動(dòng)到第21個(gè)格時(shí)，木塊向上的面寫的是哪個(gè)字母？答案與提示練習(xí)141.（

55、2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個(gè)。2.13；8。提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上頂面的點(diǎn)數(shù)依次為3，6和1。4.7條。提示：每剪開一條棱，展開圖的周長(zhǎng)就會(huì)增加2條棱長(zhǎng)。展開圖的周長(zhǎng)是14條棱長(zhǎng)，所以剪開了14÷2=7（條）棱。注：沿棱剪，無論剪成哪種連通的展開圖，都要剪開7條棱。也就是說，無論哪種展開圖，周長(zhǎng)都等于14條棱長(zhǎng)。5.圖（1）。提示：圖（2）正面有兩個(gè)相連的陰影的正方形，展開圖中找不到，所以不是圖（2）；圖（3）正面與右側(cè)面各有兩個(gè)陰影正方形，這四個(gè)

56、陰影正方形沒有相鄰的邊，而展開圖中有兩個(gè)陰影正方形的面，折疊后有兩個(gè)陰影正方形相鄰，所以不是圖（3）。6.C。解：假設(shè)C只寫了一遍。因?yàn)镃與A，B，D，E都相鄰，所以被寫了兩遍的字母在C的對(duì)面。與C相鄰的四個(gè)字母的相互位置是確定的。圖（2）（3）都有D，C，用右手方法判斷，圖（2）與圖（3）不符。這個(gè)矛盾的出現(xiàn)，是因?yàn)榧僭O(shè)C只寫了一遍，所以C寫了兩遍。7.A。提示：木塊沿直線滾動(dòng)4格，與原來的狀態(tài)相同，所以木塊到第5，9，13，17，21格時(shí)，與在第1格的狀態(tài)相同。第15講 棋盤的覆蓋同學(xué)們會(huì)下棋嗎？下棋就要有棋盤，下面是中國(guó)象棋的棋盤（圖1），圍棋棋盤（圖2）和國(guó)際象棋棋盤（圖3）。用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列的方格網(wǎng)的問題，就是棋盤的覆蓋問題。棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方