中考必會幾何模型：半角模型

1、半角模型已知如圖：2=AOB；OA=OB.連接FB，將FOB繞點O旋轉至FOA的位置，連接FE，F(xiàn)E，可得OEFOEF模型分析OBF OAF，3=4，OF=OF.2=AOB，1+3=21+4=2又OE是公共邊，OEFOEF.（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關系，并且這兩個角共頂點；（2）通過先旋轉全等再軸對稱全等，一般結論是證明線段和差關系；（3）常見的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型實例例1 已知，正方形ABCD中，MAN=45°，它的兩邊分別交線段CB、DC于點M、N（1）求證：BM+DN=MN（2）作AHMN于點H

2、，求證：AH=AB證明：（1）延長ND到E，使DE=BM， 四邊形ABCD是正方形，AD=AB 在ADE和ABM中， ADEABM AE=AM，DAE=BAM MAN=45°，BAM+NAD=45° MAN=EAN=45° 在AMN和AEN中， AMNAEN MN=EN BM+DN=DE+DN=EN=MN （2）由（1）知，AMNAEN SAMN=SAEN 即 又MN=EN， AH=AD 即AH=AB例2 在等邊ABC的兩邊AB、AC上分別有兩點M、N，D為ABC外一點，且MDN=60°，BDC=120°，BD=DC探究：當M、N分別在線段AB

3、、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系（1）如圖，當DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是_；（2）如圖，當DMDN時，猜想（1）問的結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明 圖 圖解答（1）BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是BM+NC=MN（2）猜想：BM+NC=MN證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE BD=CD，且BDC=120°， DBC=DCB=30° 又ABC是等邊三角形， ABC=ACB=60° MBD=NCD=90° 在MBD與ECD中， DB=DC，DBM=DCE=90°，BM=CE， MBDECD（SA

4、S） DM=DE，BDM=CDE EDN=BDC-MDN=60° 在MDN和EDN中， MD=ED，MDN=EDN=60°，DN=DN， MDNEDN（SAS） MN=NE=NC+CE=NC+BM 圖 例3 如圖，在四邊形ABCD中，B+ADC=180°，AB=AD，E、F分別是BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD求證：EF=BE-FD證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG B+ADC=180°，ADF+ADC=180°， B=ADF 在ABG和ADF中， ABG ADF（SAS） BAG=DAF，AG=AF GAF=BAD EAF

5、=BAD=GAF GAE=EAF 在AEG和AEF中， AEG AEF（SAS） EG=EF EG=BE-BG， EF=BE-FD 跟蹤練習：1已知，正方形ABCD，M在CB延長線上，N在DC延長線上，MAN=45° 求證：MN=DN-BM【答案】證明：如圖，在DN上截取DE=MB，連接AE， 四邊形ABCD是正方形， AD=AB，D=ABC=90° 在ABM和ADE中， ABMADE AM=AE， MAB=EAD MAN=45°=MAB+BAN， DAE+BAN=45° EAN=90°-45°=45°=MAN 在AMN和A

6、EN中， ABMADE MN=EN DN-DE=EN DN-BM=MN 2已知，如圖在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動 點，若DAE=45°，探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系 小明的思路是：把AEC繞點A順時針旋轉90°，得到ABE，連接ED使問題得到解 決請你參考小明的思路探究并解決以下問題： （1）猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明； （2）當動點E在線段BC上，動點D運動到線段CB延長線上時，如圖，其他條件不 變，（1）中探究的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明 圖

7、圖【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2證明：將AEC繞點A順時針旋轉90°得到ABE，如圖 ACEABE BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB 在RtABC中， AB=AC， ABC=ACB=45° ABC+ABE=90°，即EBD=90° EB2+BD2=ED2 又DAE=45°， BAD+EAC=45° EAB+BAD=45°，即EAD=45° AEDAED DE=DE DE2=BD2+EC2 圖 （2）結論：關系式DE2=BD2+EC2仍然成立證明：作FAD=BAD，且截取AF=AB

8、，連接DF，連接FE，如圖 AFDABD FD=DB，AFD=ABD 又AB=AC， AF=AC FAE=FAD+DAE=FAD+45°， EAC=BAC-BAE=90°-（DAE-DAB ）=90°-（45°-DAB）=45°+DAB， FAE=CAE 又AE=AE， AFEACE FE=EC，AFE=ACE=45° AFD=ABD=180°-ABC=135° DFE=AFD-AFE=135°-45°=90° 在RtDFE中，DF2+FE2=DE2 即DE2=BD2+EC2 圖3已知

9、，在等邊ABC中，點O是邊AC、BC的垂直平分線的交點，M、N分別在直線 AC、BC上，且MON=60° （1）如圖，當CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CN、MN三 者之間的數(shù)量關系； （2）如圖，當CMCN時，M、N分別在邊AC、BC上時，（1）中的結論是否仍然 成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由； （3）如圖，當點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、 MN三者之間的數(shù)量關系 圖 圖 圖 【答案】結論：（1）AM=CN+MN；如圖 圖 （2）成立； 證明：如圖，在AC上截取AE=CN，連接OE、OA、OCO是邊AC、

10、BC垂直平分線的交點，且ABC為等邊三角形，OA=OC，OAE=OCN=30°，AOC=120°又AE=CN，OAEOCNOE=ON，AOE=CONEON=AOC=120°MON=60°，MOE=MON=60°MOEMONME=MNAM=AE+ME=CN+MN 圖（3）如圖，AM=MN-CN 圖4如圖，在四邊形ABCD中，B+D=180°，AB=AD，E、F分別是線段BC、CD上的 點，且BE+FD=EF求證：EAF=BAD【答案】證明：如圖，把ADF繞點A順時針旋轉DAB的度數(shù)得到ABG，AD旋轉到AB，AF旋轉到AG，AG=AF，

11、BG=DF，ABG=D，BAG=DAFABC+D=180°，ABC+ABG=180°點G、B、C共線BE+FD=EF，BE+BG=GE=EF在AEG和AEF中，AEGAEFEAG=EAFEAB+BAG=EAF又BAG=DAF，EAB+DAF=EAFEAF=BAD5如圖，已知四邊形ABCD，EAF的兩邊分別與DC的延長線交于點F，與CB的延長線交于點E，連接EF（1）若四邊形ABCD為正方形，當EAF45°時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？（只需直接寫出結論）（2）如圖，如果四邊形ABCD中，ABAD，ABC與ADC互補，當EAFBAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出結論并證明（3）在（2）中，若BC4，DC7，CF2，求CEF的周長（直接寫出結論）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE證明：如圖，在DF上截取DM=BE，連接AM，D+ABC=ABE+ABC=180°D=A