時(shí)頻分析基本理論

1、    時(shí)頻分析基本理論    杜廣正一、時(shí)頻分析的基本概念分析和處理平穩(wěn)信號的最常用也是最主要的方法是fourier分析，fourier變換是傳統(tǒng)信號分析中最重要的數(shù)學(xué)工具。fourier變換建立了信號時(shí)域與頻域之間變換的關(guān)系，而fourier反變換則建立了一種能使信號從頻域變到時(shí)域的路徑，而且頻域時(shí)域變換是一一對應(yīng)的。我們可以從頻域和時(shí)域來分析一個(gè)信號。基于 fourier變換解釋了信號在頻域的特征，fourier變換是一種全局變換。在整體上，將信號分解為不同的頻率分量，即對信號的表征完全在頻域，這種表征同信號的時(shí)域形式是相對獨(dú)立的，即兩者不能同時(shí)聯(lián)

2、合描述信號。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，我們使用時(shí)間和頻率的的聯(lián)合函數(shù)來表示信號，這種方法稱為信號的時(shí)頻表示或者聯(lián)合時(shí)頻分析，其基本思想是設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)臺函數(shù)，用它同時(shí)描述信號在不同時(shí)間和頻率的能量密度和強(qiáng)度。假設(shè)存在這樣一個(gè)分布wx（t，），就可以計(jì)算在某一特定時(shí)間的頻率的密度，求在某一確定的頻率和時(shí)間范圍內(nèi)的能量百分比，計(jì)算該分布的整體和局部的各階矩等等。在信號處理中，信號一般可以分為兩類：確定性信號和隨機(jī)信號。而隨機(jī)信號又分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)信號。平穩(wěn)信號常用的處理方法是頻域分析法，這種方法通常采用建立信號x（t）與其頻譜x（f）之間的一一映射關(guān)系，調(diào)整傅立葉變換與傅立葉反變換之間存在的整

3、體和全局的變化，即頻譜只能是從整體信號的時(shí)域表示得到的，其時(shí)域表示只能從整體信號的頻譜獲得的，信號的平穩(wěn)或非平穩(wěn)主要是根據(jù)信號的統(tǒng)計(jì)量特征來衡量的。因此，傳統(tǒng)的傅立葉變換無法反映非平穩(wěn)信號統(tǒng)計(jì)量的時(shí)間變化特征。二、短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅立葉變換（窗口傅立葉變換）是用一個(gè)很窄的窗函數(shù)取出信號， 對其求傅立葉變換，假定信號在這個(gè)時(shí)窗內(nèi)是平穩(wěn)的，得到該時(shí)窗內(nèi)的頻率，并過濾掉了窗函數(shù)以外的信號頻譜，確定頻率在特定的時(shí)間內(nèi)是存在的，然后沿著信號移動窗函數(shù)，得到信號頻率隨時(shí)間的變化關(guān)系，這樣就得到了時(shí)頻分布?？芍?，短時(shí)傅立葉變換的定義為：這種變換是線性的，而且滿足疊加原理。換言之，如果s（t）是幾個(gè)信號分量

4、的線性組合，那么各個(gè)信號分量的時(shí)頻線性組合可以得到s（t）的時(shí)頻表示：線性由于不會產(chǎn)生交叉項(xiàng)干擾，所以是區(qū)分多分量信號的希望的性質(zhì)，而且小波變換也是線性時(shí)頻變換。傅立葉變換可以分別從信號的時(shí)域和頻域觀察信號 ，但卻不能把二者聯(lián)合起來描述信號。因?yàn)樾盘柕臅r(shí)域中不包含任何頻域信息；而頻域中不包含時(shí)域信息。同時(shí)短時(shí)傅立葉變換概念直接，算法簡單，已經(jīng)成為研究非平穩(wěn)信號十分有力的工具，在信號瞬時(shí)頻率的估計(jì)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并且是其它時(shí)頻分析的基礎(chǔ)。但是它存在兩個(gè)問題：對窗函數(shù)的長度選擇與窗函數(shù)的選擇問題。為了得到更好的頻域效果，因?yàn)榇昂瘮?shù)的長度與頻譜圖的頻率分辨率密切相關(guān)，因此信號的觀察時(shí)間必須比較

5、長。當(dāng)信號變化很快時(shí)，反應(yīng)頻率與時(shí)間變化的關(guān)系將會受到影響；然而，當(dāng)窗函數(shù)很短時(shí)，對于特定的窗函數(shù)來說，將會得到更好的效果。對比其他方法來說，短時(shí)傅立葉變換（stft）雖然有著分辨率不高等明顯缺陷，但由于其算法簡單，實(shí)現(xiàn)容易，所以在很長一段時(shí)間里成為非平穩(wěn)信號分析標(biāo)準(zhǔn)和有力的工具，而且不會產(chǎn)生多信號交叉干擾項(xiàng)，同時(shí)我們采用短時(shí)傅里葉變換算法估計(jì)瞬時(shí)頻率對于頻率分集和頻率編碼脈沖信號來說會更加方便。三、wigner-ville分布從本質(zhì)上說，短時(shí)傅里葉變換和小波變換都是線性時(shí)頻表示，它不能描述信號的瞬時(shí)功率譜密度，進(jìn)行時(shí)頻分析的基本目的就是確定一種時(shí)頻分析函數(shù)，使其能夠確定在時(shí)間 t及頻率f處信

6、號的那部分能量。cohen類雙線性表示的本質(zhì)就是在時(shí)頻平面中分布信號的能量，其中wignerville（wvd）就是常用的一種時(shí)頻分布。wvd 是一種二次型變換，具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，但當(dāng)分析多頻率成分的信時(shí)，由于是二次型變換，不可避免地出現(xiàn)交叉項(xiàng)干擾，這是它的缺點(diǎn)。最初，wigner利用量子力學(xué)提出了這種分布：由于wigner-ville分布在時(shí)域與頻域的定義形式基本相同，因此，對于在時(shí)頻討論的問題在頻域也同樣適用。此外，wigner-ville分布對于不同時(shí)間采用同樣的加權(quán)，因此它是完全非局部化。為了在特定時(shí)間得到wigner-ville分布，我們要把幾段信號加起來，這幾段信號是由過去某一時(shí)間的信號乘上未來某一時(shí)間的信號的乘積組成，所取時(shí)間的過去時(shí)間與未來時(shí)間相等。wigner-ville分布相等的權(quán)衡遠(yuǎn)處時(shí)間與近處時(shí)間。將其稱為互wigner分布（cross wigner distribution）。wvd有許多優(yōu)良的性質(zhì)，時(shí)頻聚焦好，比線形時(shí)頻有較高分辨率。由于wigner變換的雙線性特性，在分布中引入交叉項(xiàng)，使得從分布中提起有用信息的過程變得復(fù)雜。自項(xiàng)和交叉項(xiàng)會有多種組合形式，交叉項(xiàng)不僅能對自項(xiàng)進(jìn)行干擾，還能出現(xiàn)在自項(xiàng)的地方。然而wvd雖存在交叉項(xiàng)，但不存在窗函數(shù)或母小波的選取問題，而且