一類具雙時滯的種群模型的穩(wěn)定性及Hopf分支分析

1、理學碩士學位論文一類具雙時滯的種群模型的穩(wěn)定性及hopf分支分析stability and hopf bifurcationanalysis in species model with two delays楊瑞智哈爾濱工業(yè)大學2010年06月國內(nèi)圖書分類號：0193 國際圖書分類號：517.9理學碩士學位論文一類具雙時滯的種群模型的穩(wěn)定性及hopf分支分析碩士研究生：楊瑞智 導師：魏俊杰教授申請學位：理學碩士 學科：應用數(shù)學所在單位：理學院 答辯h期：2010年6月授予學位單位：哈爾濱工業(yè)大學classified index: 0193 u.d.c: 517.9dissertation for

2、 the master degree in sciencestability and hopf bifurcationanalysis in species model withtwo delayscandidate：supervisor：academic degree applied for： speciality：affiliation：date of defence：degree-conferring-institutionyang ruizhiprof. wei junjiemaster of scienceapplied mathematics department of mathe

3、matics june，2010harbin institute of technology摘要對于種群模型來說，個體的成熟期是一個很重要的因素，在建立模型的過 程中通常是不能忽略的，2001年j.wu和m. li等人在基本年齡結構方程的基 礎上，加入?yún)紲砜紤]成熟期對種群數(shù)量模型的影響，得到了兩個地區(qū)間具冇 年齡結構的單種群數(shù)量模型。后來c.yu等人對該模型進行了分析，得到了平 衡點的穩(wěn)定性以及hopf分支的性質等。但是該模型沒有考慮兩個地區(qū)之間的距 離對種群數(shù)量的影響，在本文中我們對該模型進行了改進，加入了一個吋滯來 考慮兩個地區(qū)之間的距離對結果造成的影響。由于方程具有兩個時滯，給我們 的

4、研宄過程造成了很大的困難，但是對該模型的研宄具有很強的理論和實際意 義。首先我們求得該系統(tǒng)的平衡點；然后利用線性穩(wěn)定性方法對此系統(tǒng)的平衡 點進行穩(wěn)定性分析，我們得到當t = 0時，ge 0, +00）時平衡點是漸近穩(wěn)定 的；在討論t#0吋，我們對beretta和kuang的方法進行了推廣，來討論具有 雙時滯微分方程零解穩(wěn)定性以及局部hopf分支的性質，我們得到了平衡點穩(wěn)定 的充分條件以及產(chǎn)生hopf條件；接著我們利用規(guī)范型理論和中心流形定理討論 了系統(tǒng)hopf分支的分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性，給出了關于分支方向和分 支周期解穩(wěn)定性的計算公式。最后利用matlab軟件進行相應的數(shù)值模擬，數(shù) 值

5、模擬結果與所得理論分析結果具有一致性。關鍵詞：時滯；hopf分支；中心流形abstractmaturation is an important factor in population dynamics，and it should not be neglected. j. wu and m. y. li proposed the age-structured model of a single species living in two patches by employing the basic age structure equation andcharacteristics in ter

6、ms of time and age. after that chunbo yu had considered the model and derived the property of the equilibrium solution and hopf bifurcations.for the age-structured model of a single species living in two patches the distance of the two patches is another important factor，so in this paper we improve

7、the model by introducing a delay g to consider the distance of the two patches. it is difficult to analyze the model with two delays but is of great theoretical and practical significance.in this thesis，in the first, we get the equilibrium solution of the system. secondly, we analyze the stability o

8、f the equilibrium by using linearizing stability method. wc get that when t = 0 for a e 0, +oo) the equilibrium solution (x 9 x ) is asymptotic stability. thirdly，when t 關 0，we improve the method of beretta and kuang to investigate the stability of the equilibrium solution and hopf bifurcations. the

9、n, we derive the explicit formulae for determining the direction of the hopf bifurcation and the stability of these periodic solutions bifurcating from the steady states，by using the normal form method and center manifold theorem. finally, some numerical simulations are carried out by using matlab，a

10、nd the results are consistent with our analysis results.keywords: delay, hopf bifurcation, center manifold«iabstractii第1章緒論11.1課題背景11.2研究現(xiàn)狀21.3本文的主耍內(nèi)容與結構3第2章預備知識52.1超越方程根的分布分析及應用52.2 beretta 和 kuang 的方'法52.3本章小結7第3章穩(wěn)定性和局部hopf分支分析83.1方程平衡點的計算83.2當t = 0時方程平衡點的穩(wěn)定性83.3當時方程平衡點的穩(wěn)定性103派.i 17第4章hop

11、f分支方向及穩(wěn)定性的計算18叫 1 f:""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&quo

12、t;"" 1.84.2本章小結23第5章數(shù)值模擬255.1模擬舉例255.2本章小結2829參考文獻30哈爾濱工業(yè)大學碩士學位論文原創(chuàng)性聲明1哈爾濱工業(yè)大學碩士學位論文使用授權書15女i 射2第1章緒論1.1課題背景己經(jīng)有很多人對種群模型進行了研宄u-7,而對于具有年齡結構的種群數(shù)量 模型來說成熟期是一個很重要的因素，j.wu等通過考慮基本年齡結構方程，并 加入時滯的影響，得到y(tǒng)具有年齡結構的在兩個地區(qū)間的單種群數(shù)量模型m1廠=-di,m x(t) + d2,m y(t) -xt) + e<l(0)鄴陶-t)+ ea (ed'，(t)dt-di,m y(t)

13、+ d,m x(t) - di m y(t) + e* 1)dalo d?(e 瞻-t )d (0 )j0 b (x(r - t)其中x和和t/i.oo)表示地區(qū)1的種群數(shù)量和死亡率，t表示成熟期， bi表示地區(qū)f種群新出生函數(shù)z=l,2 , a0表示從地區(qū)/出發(fā)去另外一個地區(qū)的數(shù)量占地區(qū)f的種群數(shù)量的比值，#:表示年齡為6/的死亡率，參數(shù)eet, 1od'(a)da被稱為殘存率，eje d.(0 )dqb x(t-x )表示在地區(qū)1在z-t時刻新出生 生物能夠成長為成熟個體的數(shù)量，但是卻成為地區(qū)2屮在z時刻能夠成長為成熟個體的數(shù)量的一部分。同理dh砷|-t)表示在地區(qū)2在z-t時刻新

14、出生生物能夠成長為成熟個體的數(shù)量，但是卻成為地區(qū)1中在f時刻能夠 成長為成熟個體的數(shù)量的一部分。在1之前，這項是被忽略不計的。當兩個地區(qū)的物種相同時，di，m = d=. d，di，, = dm =: d， bi (s) = b(s)，di (a) = di (a) ,0 < < t ,z'=l，2。則該系統(tǒng)可以簡化為dxdt(t) = - dx (z) + dy (t)- dx (z) +e (l-r)b(x(t )+ rb(y(t-t),d (t) =- dy (z)+ dx (z) - dv (t )4- * (1-r)/?(y (t )+e rb x (z -t )

15、vdt其中v 。在文獻1中作者選取b(s) = shs , p0，分析了改模型，得出當死亡率 -1 -變化時平衡點的性質也隨著改變，并且討論了hopf分支的存在性等。在文獻19中作者選取b(s) = se-，p0 ,討論了平衡點的穩(wěn)定性，并且分析了hopf分支 的存在性，以及hopf分支的性質等。但是以上等人對模型分析過程中對于兩地 區(qū)之間距離的考慮還不夠，本文引入時滯o來考慮兩個地區(qū)之間的距離對結果 造成的影響因此具有很強的實際意義。對于時滯微分方程的動力學性質已經(jīng)有 很多人進行了研究而當微分方程只有多時滯時其動力學性質就變得非常 復雜u9-291,因此對于該模型的研宄也同樣具有很強的理論意

16、義。1.2研究現(xiàn)狀對于非線性系統(tǒng)的動力學問題的研究，理論上有很多方法叫，其中平均 法、多尺度法卩2、三級數(shù)法、liapunov-schmidt方法和奇異性理論可用于研宄 非線性動力系統(tǒng)的簡化；規(guī)范型理論網(wǎng)可用來研究局部和全局分支；melnikov 方法m可用來研宂分支和混沌力學；中心流形理論和慣性流形理論可對髙維系 統(tǒng)和無限維系統(tǒng)進行降維處理降36,使系統(tǒng)的維數(shù)降低。對于復雜系統(tǒng)屮的非 線性動力學的許多實際問題，單獨使用某些方法已難以解決問題，經(jīng)常需要同 時使用幾種方法進行研究。分支問題的研究源于對天體力學、彈性力學、流體力學和非線性振動中的 一些失穩(wěn)現(xiàn)象的探討，它有著深刻的應用背景。因此，長

17、期以來分支研究主要 在應用領域中進行。直到木世紀70年代，由于動力系統(tǒng)、非線性分析和非線性 微分方程等方面研宄的推動，以及隨計算機科學的發(fā)展而來的強有力的數(shù)值手 段的協(xié)助，才幵始形成分支的數(shù)學理論和方法，并在生物學、生態(tài)學、物理 學、力學、化學、數(shù)值計算、控制、工程技術、以至經(jīng)濟學和社會學中得到廣 泛的應用。當前，分支的研宄無論是在理論上還是應用上都在迅速深入地發(fā) 展。在實際應用屮，許多系統(tǒng)都含有參數(shù)，考慮當參數(shù)連續(xù)地變動時，系統(tǒng)的 拓撲結構是否會發(fā)生變化，這就是含參數(shù)系統(tǒng)的分叉問題。hopf分支是研宄一族具有參數(shù)的動力系統(tǒng)，當參數(shù)經(jīng)過某個特殊值時，系 統(tǒng)的平衡解能否進入周期軌道的問題。雖然h

18、opf分支方法不是解決這一問題的 唯一方法，但是近30多年來，卻得到人們很大的注意，不僅對原來所考察的 ode (ordinary differential equations)系統(tǒng)進行更深入的研光，而且在 fde(functional differential equations)系統(tǒng)以及 pde(partial differential equations) 系統(tǒng)進行廣泛地推廣工作。ode hopf分支起源于近100年前poincare的工作，他給出了平面系統(tǒng)分支 的例子，1929年俄國人andronov給出了定理及計算公式，他們在這方面的工作涉及的是二維向量場。直到1942年俄國人hop

19、f才第一次給出了著名的n維 向量場情形hopf分支定理38，現(xiàn)己成為經(jīng)典周期解理論的一個重要組成部 分。從常微分方程的觀點看，它是屬于線性系統(tǒng)的擾動理論；而從現(xiàn)代分支理 論的觀點來看，hopf分支定理實際上是提供了處理含參數(shù)的動力系統(tǒng)，當參數(shù) 變動時，如何引起相空間軌道的拓撲結構發(fā)生本質性改變的一種最簡單方法。將ode的hopf分支定理推廣到fde中是一個非常自然的問題，這個工作 首先開始 丁 rfde(retarded functional differential equations)把 ode 的 hopf 分 支定理推廣到rfde中來，最大的網(wǎng)難是rfde的相空間是一個無限維的函數(shù)空

20、間，但是中心流形定理和空間的譜分解理論成為有力的工具，它們能使無限維 的問題轉化為冇限維問題得以解決。冇限吋滯的rfde hopf分支的存在性定 理首先由n. chaffe和j. hale用不同的方法所給出。1971年n. chaffe在文獻 39中利用中心流形定理給出了存在性定理。1.3本文的主要內(nèi)容與結構在本文中，我們對模型進行了改進，加入了一個時滯g來考慮兩個地區(qū)之 間的距離對結果造成的影響。模型變?yōu)椋篸xdt(t)4- dy (t -a)- dx (t )+e* (1-r )b(x(t )+e rb (y (t -x)dy (r) - dy (t)+ dx (t-a)- dy (t )

21、+e* (l-r)b(y(t)+ e r/f(x (/ -t)(1-1)dt、本文主要通過beretta和kuang4o的一些基本理論，分別討論當t = 0和 w0時方程(1-1)的零解的穩(wěn)定性及局部hopf分支存在性，然后結合規(guī)范型和 中心流形理論，應用hassard方法川來計算hopf分支方向以及分支周期解的穩(wěn) 定性等。本文共分五章。第一章闡述y課題背景及發(fā)展情況，在兩個地區(qū)間，具有 年齡結構的單種群數(shù)量模型做了簡單的介紹。第二章引入超越方程零點分析及其應用，并且介紹了 beretta和kuang研宂 時滯微分方程解的穩(wěn)定性的方法。第三章中首先求出(1-1)的平衡點，然后通過討論時滯微分方

22、程平衡點穩(wěn)定 性的基本方法以及推廣的beretta和kuang的方法，分別討論當t = 0和0時 方程(1-1)的零解的穩(wěn)定性及局部hopf分支存在性。第四章通過應用規(guī)范型理論和屮心流形定理，我們推導出確定分支周期解 的穩(wěn)定性和hopf分支方向的品式；公成，進而叫以判斷hopf分支以及分支周期 解的性質。第五章，我們把這一系列分析應用到一個具體的模型中，并給出數(shù)值模 擬，以此來支持前面對時滯系統(tǒng)動力學性質的分析結果。第2章預備知識2.1超越方程根的分布分析及應用定理2丄142假設是一連通開集，gpi，）！）關于（x，p）e cxb連續(xù)，關于xec解析，且g（x，|i）在右半平面xe|cre?o

23、上的零點一致有界.若對任意（1 e 5i e bg （x，（i）在虛軸上無零點，則g （x，（i）在右半開平面xe c|rex>0上的零點重數(shù)之和關于及是一定數(shù)，即g （x , |1）位于右半開平面上零點重數(shù)之和與參數(shù)me凡無關，其屮b：是有界連通閉集。考慮多滯量線性中立型微分方程組：其中r/（j=l，2,，h）是正常數(shù),（/=1，2,，fc）是非負常數(shù)，xg rn;aj9bi u= 1，2,，h，/ = 1, 2,，）都是常數(shù)陣。（2-1）的特征方程為kk2det（x / + aj b,e- ag ,） = 0>=1/=1展開其左端可得：0 （2-2） 其中r。是r=（n，ai）

24、中某些元素之和，（7 = （<5<5, g （x, r,<7 ）是關于的次數(shù)不高于n-1的指數(shù)多項式，q是a （j=l，的某些元素的組合。引理2.1.142對 r?a）e _1+ £ ,1 - £ x r+ki x /?+n ,方程（2-2）位于右半平面的根是一致有界的，其屮0<e<l。引理2.1.242對方程（2-2），若j/fl，且其所有根都具有嚴格負實部，貝ij存在（70 ,使其任一根？i滿足rex<-5。定理2丄242若卜|<1且（2-2）的所有根都有具嚴格負實部，則（2-1）的零解是一致漸近穩(wěn)定的。2.2 beretta

25、和 kuang 的方法對于吋滯微分方程的特征方程/）（入 j ） = 0（2-3）其中d(k,x )=尸乂入，t ) + 2,”(入，t >-xxnmph (xj ) = e (t )入 a ; qm (入，t ) = e 小(t )入(* = 0人=0這里n, m g no , pk (), qk () : ro r關丁 t連續(xù)可微的函數(shù)。并且(2-3)滿足條件 (/)如果入=to，0) e /?，則 p，, (0,t ) + qm (0,t )0,tg r(/0p;1(/co,t ) + q,n (/c0,t )0;("/)對于t 2 0 ljm sup斗(入,t ,) /

26、 p (入，t ):卜| +oo, re x > 0 < 1;(/v)f (c0> j ) =«|p (/co,t ),(i|,t)只2有暢限個根；(v) f (co,t ) = 0的毎個正根co(t )關于t都是連續(xù)可微的。假設；c/?o 是使 f(c0，t)+p(/c0，t|2)-|2(/c0;)| 有正根(0(t)的 t 的集合，當t任/時,c0(t)沒有定義。定義2.2.1一 p" (/co，t )(?/ (，c0j ) + 尸(/0)，t、0/i (zovc )sin6(t)=|e )|2cose (t )二-p/(0，t 識，巧 + p q憐鴣

27、 |e(/o),t)|'0 cc) + 幽(o(t)定義2.2.2 14 rw , n e no 為t«(t)：=其屮co (t )是f (co,t ) = 0的根 引入函數(shù)irsn (t ) := t -t (t ),t g /，h e m則有以下定理引理2.2.1i40j若co(t)是當te/時f (co,t ) = 0的正實根，并且關于t連續(xù)可 微，則函數(shù)s,(t)，m在/上是連續(xù)可微的。定理2.2.14。若co(t)是當te /時f(co,t) = 0的正實根，/e/?0并且存在 /使對于一個m吋s4t-) = 0 ,則方程(2-3)存在一對純虛根?u(t*) = /

28、0xt*) t 1(t*) = -/co(t*),并且如果5(t*)0則從左向右穿過虛軸，如果 8(t-)<0則從右向左穿過虛軸。其屮 8(t* ) = r/rex |=咖凡(0)(x-)sign2.3本章小結在本章中，我們先介紹了42中用rouche定理建立起關于一般的超越函數(shù) 零點的分布定理，超越方程零點分布分析的一般性結果及在中立型方程中的應 用。然后我們又介紹了 bcretta和kuang的方法，用來分析方程平衡點的穩(wěn)定性 等。第3章穩(wěn)定性和局部hopf分支分析3.1方程平衡點的計首先求(1-1)的平衡點，將x = y = 代入(1-1)«-dx* + e /?(x*)

29、 = -dx e x e- px = 0得出平衡點為(0,0)或-(l,x3.2當t =o時方程平衡點的穩(wěn)定性方程(1-1)在平衡點(x、，x*)(x* = 0或x)處線性化為d.xdt(t) =-clx(t)+ dy(t-o )-dx(t)+£-* (1-r)(1-px* )e 帥-(t)+er(-v)e)，.$-()|dy (t )4- dx (t -g )-dy (t )+c- (1-r)(1-p x*) e ytp- (t )+e*r(l-x(t)vdt特征方程為x + + d-e* (1 - r)(l - p.v )-px- de-/-er( - p%* )e-xdet =

30、 0 |l -de-xa-r(l -px* )e-xx + z) 什(1 一 r)(l 一 px. >-p.v i即x + / + z) + dc-xa d(i px*) = 0(3-1)x + 6/ + £) dc ka d ( i p x*) = 0(3-2)當(y = o時，由42得(1-1)在x- = 0即平衡點(0,0)處不穩(wěn)定。下面討論(1-1)在 平衡點(yc-x)處穩(wěn)定性。當(7 = 0 時，e- = b r= 0 , pzv = in= -nd ,則(3-1)、(3-2)可化為x + d+2d + -d( +lnt/) = ox + in j) = 0hp x

31、 = -2d + dnd x = dnd ,由己知條件知入<0，故有以下定理。定理3.2.1當t = 0, (7二0時，方程(1-1)的平衡點(0,0)不穩(wěn)定，平衡點 是漸近穩(wěn)定的。當(7*0時，在lytx)處方程(1-1)的特征方程為z + fz+d + dea-j(1 -px) = 0(3-3)x + d+d-dnd( -p7) = 0(3-4)對于方程(3-3),假設x = /co，co0是根，代入得/co + 6? + £) + dc-iax5 d (1 p x) = 0分離實部虛部得|d - j in t/+ £)cos oxj = 0因為 sim co&l

32、t;5 + cos2 coo = 1，則(d in cl )> - 2dd in j + 0)2 = 0 ,由-2c/d in 0 與 已知矛盾，所以方程(3-3)沒有純虛根。對于方程(3-4),假設入= /co,co0是根，代入得/co + + £) dc-nao 6/(1 p x)= 0分離實部虛部得|£)- dnd- d cos coo - 0因為 sin2 co<5 + cos2 cog = 1，貝1j (d in d )2 - 2dd in j + co? = 0 ,由-2t/d in f/0 與 已知矛盾，所以方程(3-4)沒有純虛根。定理3.2.2

33、當t = o，eye 0，+oo)時系統(tǒng)(1-1)在平衡點7r，x)漸近穩(wěn)定。3.3當t *0時方程平衡點的穩(wěn)定性方程(1-1)在(x, x)處線性化為clxdt(t) =- dx(t )4- dy (z-a)- dx(t )+e* (1-r )(l-px) e(z-t ) +e r (1 - px) e y.vp- (r 一)dy (t )4- dx (z -a )- dy (t )+* (l-r)(l-px> 一)命(，t 汁x(t-x)dt特征方程為det + d + d -(1 - r)( 1 - p x)xe- ixdc ko c r (1 p x)c c - xt-de za

34、 - ev (1-p3 x)e e七i.v(3-5)(3-6)入 + £) dc-入(j 一 d ( l x)£?- xt = 0入 + z) + de-xo d ( p -)( 1 一 2廠)e-xx = 0對于方程(3-5)我們假設是它的根，代入得zcoi + 6/ + d - a cos (oit + ia sin coit - d cos(0i<5 + /d sin coin = 0其中a = j(1 - px) =(1 + 山t + lnd)分離實部虛部得j+d-a cos (oit - dcos (did = 0 coi + a sjn co t + 仿咖

35、d+ d = a cos coit + d cos coig l coi = -(a sin (oit + d sin (oig )兩邊平方相加得2 =a + b-(d +2z>) + 2 adcos(cot- (0(3-7)d +d-d cos coigcoi - d sin (oigcos 0)t=，sin 0)it=，aa考慮函數(shù) gi (c9i) = ai + di - (d + d)2 + 2 ad cos(coit - coig ) f (coi) = co12 的圖像 關系，則有引理3.3.1當a0時，即t 41偏)時，只要爐(0)0，則/(價:與 di-(1 + in d

36、)丨 門-rv定有交點；當 a<0 時，即1<, 時，只要(a-d)2-(t/+£>)20dim 7c且(二7)2 幺(£>-a)2-(6/+z)2，貝 g /(價)與 g (coi) 一定有父點。對于方程(3-6)我們假設x =是它的根，代入得/oh + 6? + £> - a(1 - 2r)cos a>?t - / sin oht + dcos co2c - z sin 0)2(7 = 0分離實部虛部得fj+ £> - a(l- 2r) cos co2t + d cos (02(5 = 0 i co2 + 六

37、(1 - 2r )sin (0 tco即jj + £> = a(1 - 2r) cos (o2t - d cos oha 1 oh = (焱(1 - 2r) sin (0 t +(0兩邊平方相加得2 = a (1- 2r ) a- d -(6z+ d) - 2 ad( i - 2r) cos(co t - (0(3-8)d+d + d cos (o2q cosom=7-co2 + d sin coiq ，sin om =:ae-2 dix考慮函數(shù)幺2 (0)2) = 712 (1-2r )2+ £>2-(6/+£)2-2/u?(l-2r)cos(0)2

38、t-0)2(7)與 fi(co2 ) = (o22的圖像關系，則有引理 3.3.2 當a0時，即i(1+ln6/)時，只要 d,n兀a(l-2r) + o2-(6/ + o)2>0 j1 ( )2<a(1 -2r) +di-(d+d)2 ,貝 u /2 (oh )與t- g(0)2 ) 一定有交點；當a<0吋，即1< "0+'nj)吋，只要幻(0)0 ,則f2(0)2 )di與g2(c02 ) 一定有交點。定義3.3j71)2<(d-a)2-(d+d)：hi：t-071t-0-)2<a(1 -2r) + d2-(j + d)：一 002 +

39、 in d) 口 (_ in，+的),從成立/1 =didiin d(-+oo) di(-co di1 + in 6/) u1 +indi (1 - 2r)11 + in c/(_oo,-)j/ (1 - 2r) did,引理3.3.3當te/i時，方程(3-7)定有根，t g /2時方程(3-8)定有根。證明：根據(jù)/，和h的定義知，時滿足引理2.1則方程(3-7)定有根。 xe a時滿足引理2.2，則方程(3-8)定有根。哈爾濱工業(yè)大學理學碩丄學位論文特別的，由于t20 ,則/，和/2可以重新定義如下當0< 6/仝么2時il 2 + in 6/in ddidiind(-;+-) d i

40、，從成立,ft不成立i1 i + in dl1 + in <7/'=!/d, d,( -2r),+°°), 成立,h2不成立2r)d/ = (-md,11 + in 6/(1 - 2r) d下面我們討論(3_5)的純虛根入=/co! (coi>0 )以及(3_6)的純虛根入=也(co： > 0 ) 的存在性，應用beretta和kuang的方法40。首先將(3-5)、(3-6)寫成川認，t) + w(?ijk-h = 0 , j=l,2 的形式。其中pi(x-,t )=入 + /+£) dc-kc f cf (x ,t ) = 6/ (p

41、 x 1)pt (x，t )=人+ / + /) + d(a，爐(x，t ) = d (p x引理 3.3.4 當te a (y= 1，2)時)u(-13-)u(0,h=y di(/) pj (0,t ) + q (0,t )0；(/) pj (zco,t ) + qj (/o),t )0;(/")對于t 2 0 jim sup qj (x ?t ) /p (x，ij )|:卜> +oo, re x > 0 < 1;(iv) fj (q) j ) =7：冰識有2有批個根；(v) f；(co；,t) = 0的每個正根(oj (t )關于t都是連續(xù)可微的。證明 (i)

42、p,(0,t) + 2. (0,x) = d + d-d + dx-d = dx0p2 (0,t ) + qi (0,t ) = j + 2d + 6/ (p x -1)(1 - 2r) o(ii) p, (z(o,t ) + q (zcoj ) = /co + d(1 e-,(na ) + d (3 x 關 0p2(/c0,t ) + 02 (/co,t ) = /0) + j + d( 1 + e-kno ) + j (p x - 1)(1- 2r)0phft (入，t ) pi (x,t)i rf(px-l)(l-2r)唞1 j-ag+ d + d + ded(|3a-1) 1laj=0

43、2-120 r | p'(k j pf1(iv)由定義和引理(2-1)、(2-2)可知(v)由定義顯然。由定義可知fi(fo)；t.t)pi (z(o/t j )cos 0)a = - re， sin (0/t = imqj (/'co/t ,t)qj (/coyt ,t )fi(0)i,t ) = (j + d)2 + £)2 + c0i2 - 2d(j + d) cos 0)1(5 + 2(0i£> sin coio -j2(l -rf/t-ln j)2f2 (co： ,t ) = (d+ d)2 + £>2 + 0)22 + 2d

44、(d + d) cos 0)2(7 - 2(0： d sin 0)2(7 - j2(p%-1) (1- 2，)2所以 |p;(/0)a j j 二小(fow) i，即 c，t) = 0，其中 j=l，2 o 當t e /丨時，由隱函數(shù)定理可得co： = (oi (t ),同理當t e /2時，可得c02 = 0)2 (t ) o足乂0;(1)0,2兀，使得幽山 .a , 、 t 幽山 c e/(t)+ 2/7k cos0；(t) = -re， sin0y(t) = im， s”j =飛-q, (/'(oy j)仏(d)co； (t )其中 0);=，(t )，y = 1，2，t g /

45、> ," ez。引理 3.3.5 若 shszn)對于 ne n 有一根 t. e /： (/2)，則方程(3-5)(3-6)在 t = t*處存在一對簡單的純虛根±/co(t*)。定義 3.3.2 xj = t : s> (t) = 0, /? e z ,t e /； , t； = mint :xe xj,其中j = 1，2 o對于方程(3-5)兩邊關于t求導可得-dch-ae-ix (-t-x)-dexo (- (7) = 0(ftt及 _ dd i -x dx 1 + at dt + do c zod _ dd! cos a)it - iddsin o)i

46、t - /o)i a(cos (oit - / sin coit )1 +at (cos (oit - i sin (oit ) + do (cos coin - z sin (oig )，(ddi cos o)it-y4o)i sin om) -i(必 sin(oit + 編 cos om )(1 +at cos(0it + £>a cos coin) - /( at sin coit + dg sin coin )記 oti = re xii = (1+j(1 + j/t + ln6/)x coscot + do cos oxy )2 + (t/(l+ j/t + lnj)

47、t sin cor + do sin oxy )2 > 0-=(ddi cos coit- ac0i sin coit) (1 + at cos (oit + da cos coio )ai+(w/ sin coit 十 a(oi cos (oit )(ax sin (oit + da sin coig )丄，:-dd,+j)co, , .(l+jrc + ln j)2(1 +gj+qd) + dd顏g sin coit + cfd! (1 + rf/t + in j )(t - a )對于方程(3-6)兩邊關于t求導可得ii(j ) = 0d 入.zdd / ot ac - xt -

48、2 m (則jkljtdxidi ddi e-x-2dix a(入 + 2z)/ )g-x/c-2m dx1 + at c-xx -2 on do當入=z0)2時e-2 d/t dd / (cos oht - z sin oht ) - /aoh (cos ovu - z sin 膩)-2 a a (cos oht - z sin oht )1 + at e-2dn (cos oht - i sin co2t ) - do (cos coza - i sin(02a )_ e-2 dtt i(ddi-2 ?!£>/ ) cos co2t - aoh sin core 1 - i

49、(dd 1 - 2 aim sin co2t + aoh cos oht u(1 +axe_2d/t cos 0)2 2dn 22 sin(0 vrpo sin(0記 0c2 = re 入！a2 = (1+j(1 + dix 4- in j )t e-2d, cos (ot - do cos c0<7 )2 + (r/ (1 + dix + in j)t e-2da sin (ot 則 -do sin 0x7 )20血2 e=-(ddi cos (o2t - 40)2 sin (o2t - 2 adi cos co2t )(1 +at e-idn cos (o2t - do cosco/

50、c) dx+ (ddi sin co2t + a oh cos(02l - 2 /id/ sin 0)2t )( at e-wn sin oht - do sin oht )1 2 = ddi (i+ o d + g d) - chd-irf/d )cdi 1 i(l+ j/t + ind)(1 +g d+q d) + ddiq x + ddi (1 此冰 in d)(t - g )記5<(t) =d re xi jai (ft (lt52(t) =d re 入2da 2定理3.3.1對于t0吋(1) ，當= 0時，方程(1-1)在平衡點(xx)漸近穩(wěn)定；(2) 當= 0時，w 0,t,

51、)時方程(1-1)在平衡漸近穩(wěn)定，若 8.(x1 )0,則在t = ti處產(chǎn)生hopf分支;(3) 當1 = 0，x2*0時，tg0j2)時方程(1-1)在平衡點f)漸近穩(wěn)定，若 82(12)0 ,則在t = t2處產(chǎn)生hopf分支；(4) 當時，10:<)(1 = 0(2)時方程(1-1)在平衡點(xtx)漸近穩(wěn)定，若5 (v) # 0，則在t = <處產(chǎn)生hopf分支。3.4本章小結在本章中，我們首先求出系統(tǒng)(1-1)的平衡點，然后通過討論特征方程根的 分布來分析了當t = 0 (1-1)的平衡點的穩(wěn)定性得出了定理3.2.1、定理3.2.2；當t#0時，我們推廣了 berett

52、a和kuang的方法，的出了定理3.3.1。第4章hopf分支方向及穩(wěn)定性的計在前一章當中，我們得到了在t穿過某些臨界值時，系統(tǒng)在平衡點附近出 現(xiàn)周期解。正如hassard在文獻41中指出的，研究這些周期解的穩(wěn)定性和分支 方向，及周期解的周期都是很有意義的。在這節(jié)中我們假設在t = h時，方程(1- 1)在平衡點£. = cv7%)經(jīng)歷hopf分支。我們通過規(guī)范型和中心流形理論，應用 hassard方法來計算hopf分支的一些性質。4.1 hopf分支性質我們將(1-1)在平衡點(%7x)處展開(x(z)、(x(t) (x(tb，1=七1卜物其屮a=ll)0 -(d+d)(d( -

53、rxl-px) jr(l 3x)1l 利.omw一p(pa-l)y2(z-l ) + d2(l 4d x) p (z -t) + 0(%4,y4dp q p x 1) x2 (f t )+_l p2 (1 -j. p x) y -t ) + 0( x4 ,)記為 xf = ax + bx (t - q ) + cx(t - x) + f假設t。是方程(1-1)的hopf分支點，x(to) = zo>o ,設1 = 1：。+ |1 ,不妨設 t>a ,則在(1 = 0時(1-1)產(chǎn)生hopf分支。根掘reisz定理，對于任意（pe c"-t（），o有ax + bxt (7

54、) + cx(zt o )= j.xo(0?m(e)其中 a + b1戶n(e)=jio-c0 = 00 g (-a ,0)0 g (-to,-a 0 = tomm )<p =卻(e)t/odr (5, |i )(p (5)0 g -to，0)0 = 0鄰）= ;!0 g -to，0)0 = 0方程（l-u可以寫成x! = l(g) xi + 鄰)x對于ve nojo定義dsdr (z, 0)v (-t)s g (0, to 5 = 0-to對于(pe cz-to, 0和)/e co,to定義e< (p ,v= v (0)(p -tolov(c-0)l (6)9則zz和l = l（

55、0）是共軛算子。設g(e )和#(e )是l和a*對特征值/tocoo和-zl的特征向量。其中fco ,ifsn(t)= 0o>)= <.nenco? ,11 s(t) = 0a71、(z(0o i a jbc-coqg cc-ojoxo ) 11 i = 0 qi)< /(0()+ (r/ + d) - j (1 - r)(1 - p j )-ax. ox-de-(. - dr 1 (3 x je-(ooox-de-o-6/廠(1 (j j灰韻。too + (d+ d)-d( -r)(l - x)e取(6) = (l,l)rertooe , yfj) = a(l，l)&，則通過直接計算得（7（0 ） = （1，1）7。o由 0)，q(q )= 1 得e< y ，</(0 )= y (0)<7(0)#-e殉(e)施)我|1、¥d4l- u j(1n(eil 所以z)o2 + 2£