一類具雙時(shí)滯的種群模型的穩(wěn)定性及Hopf分支分析

1、理學(xué)碩士學(xué)位論文一類具雙時(shí)滯的種群模型的穩(wěn)定性及hopf分支分析stability and hopf bifurcationanalysis in species model with two delays楊瑞智哈爾濱工業(yè)大學(xué)2010年06月國(guó)內(nèi)圖書分類號(hào)：0193 國(guó)際圖書分類號(hào)：517.9理學(xué)碩士學(xué)位論文一類具雙時(shí)滯的種群模型的穩(wěn)定性及hopf分支分析碩士研究生：楊瑞智 導(dǎo)師：魏俊杰教授申請(qǐng)學(xué)位：理學(xué)碩士 學(xué)科：應(yīng)用數(shù)學(xué)所在單位：理學(xué)院 答辯h期：2010年6月授予學(xué)位單位：哈爾濱工業(yè)大學(xué)classified index: 0193 u.d.c: 517.9dissertation for

2、 the master degree in sciencestability and hopf bifurcationanalysis in species model withtwo delayscandidate：supervisor：academic degree applied for： speciality：affiliation：date of defence：degree-conferring-institutionyang ruizhiprof. wei junjiemaster of scienceapplied mathematics department of mathe

3、matics june，2010harbin institute of technology摘要對(duì)于種群模型來說，個(gè)體的成熟期是一個(gè)很重要的因素，在建立模型的過 程中通常是不能忽略的，2001年j.wu和m. li等人在基本年齡結(jié)構(gòu)方程的基 礎(chǔ)上，加入?yún)紲砜紤]成熟期對(duì)種群數(shù)量模型的影響，得到了兩個(gè)地區(qū)間具冇 年齡結(jié)構(gòu)的單種群數(shù)量模型。后來c.yu等人對(duì)該模型進(jìn)行了分析，得到了平 衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及hopf分支的性質(zhì)等。但是該模型沒有考慮兩個(gè)地區(qū)之間的距 離對(duì)種群數(shù)量的影響，在本文中我們對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，加入了一個(gè)吋滯來 考慮兩個(gè)地區(qū)之間的距離對(duì)結(jié)果造成的影響。由于方程具有兩個(gè)時(shí)滯，給我們 的

4、研宄過程造成了很大的困難，但是對(duì)該模型的研宄具有很強(qiáng)的理論和實(shí)際意 義。首先我們求得該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)；然后利用線性穩(wěn)定性方法對(duì)此系統(tǒng)的平衡 點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，我們得到當(dāng)t = 0時(shí)，ge 0, +00）時(shí)平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定 的；在討論t#0吋，我們對(duì)beretta和kuang的方法進(jìn)行了推廣，來討論具有 雙時(shí)滯微分方程零解穩(wěn)定性以及局部hopf分支的性質(zhì)，我們得到了平衡點(diǎn)穩(wěn)定 的充分條件以及產(chǎn)生hopf條件；接著我們利用規(guī)范型理論和中心流形定理討論 了系統(tǒng)hopf分支的分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性，給出了關(guān)于分支方向和分 支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式。最后利用matlab軟件進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值模擬，數(shù) 值

5、模擬結(jié)果與所得理論分析結(jié)果具有一致性。關(guān)鍵詞：時(shí)滯；hopf分支；中心流形abstractmaturation is an important factor in population dynamics，and it should not be neglected. j. wu and m. y. li proposed the age-structured model of a single species living in two patches by employing the basic age structure equation andcharacteristics in ter

6、ms of time and age. after that chunbo yu had considered the model and derived the property of the equilibrium solution and hopf bifurcations.for the age-structured model of a single species living in two patches the distance of the two patches is another important factor，so in this paper we improve

7、the model by introducing a delay g to consider the distance of the two patches. it is difficult to analyze the model with two delays but is of great theoretical and practical significance.in this thesis，in the first, we get the equilibrium solution of the system. secondly, we analyze the stability o

8、f the equilibrium by using linearizing stability method. wc get that when t = 0 for a e 0, +oo) the equilibrium solution (x 9 x ) is asymptotic stability. thirdly，when t 關(guān) 0，we improve the method of beretta and kuang to investigate the stability of the equilibrium solution and hopf bifurcations. the

9、n, we derive the explicit formulae for determining the direction of the hopf bifurcation and the stability of these periodic solutions bifurcating from the steady states，by using the normal form method and center manifold theorem. finally, some numerical simulations are carried out by using matlab，a

10、nd the results are consistent with our analysis results.keywords: delay, hopf bifurcation, center manifold«iabstractii第1章緒論11.1課題背景11.2研究現(xiàn)狀21.3本文的主耍內(nèi)容與結(jié)構(gòu)3第2章預(yù)備知識(shí)52.1超越方程根的分布分析及應(yīng)用52.2 beretta 和 kuang 的方'法52.3本章小結(jié)7第3章穩(wěn)定性和局部hopf分支分析83.1方程平衡點(diǎn)的計(jì)算83.2當(dāng)t = 0時(shí)方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性83.3當(dāng)時(shí)方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性103派.i 17第4章hop

11、f分支方向及穩(wěn)定性的計(jì)算18叫 1 f:""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&quo

12、t;"" 1.84.2本章小結(jié)23第5章數(shù)值模擬255.1模擬舉例255.2本章小結(jié)2829參考文獻(xiàn)30哈爾濱工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明1哈爾濱工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文使用授權(quán)書15女i 射2第1章緒論1.1課題背景己經(jīng)有很多人對(duì)種群模型進(jìn)行了研宄u-7,而對(duì)于具有年齡結(jié)構(gòu)的種群數(shù)量 模型來說成熟期是一個(gè)很重要的因素，j.wu等通過考慮基本年齡結(jié)構(gòu)方程，并 加入時(shí)滯的影響，得到y(tǒng)具有年齡結(jié)構(gòu)的在兩個(gè)地區(qū)間的單種群數(shù)量模型m1廠=-di,m x(t) + d2,m y(t) -xt) + e<l(0)鄴陶-t)+ ea (ed'，(t)dt-di,m y(t)

13、+ d,m x(t) - di m y(t) + e* 1)dalo d?(e 瞻-t )d (0 )j0 b (x(r - t)其中x和和t/i.oo)表示地區(qū)1的種群數(shù)量和死亡率，t表示成熟期， bi表示地區(qū)f種群新出生函數(shù)z=l,2 , a0表示從地區(qū)/出發(fā)去另外一個(gè)地區(qū)的數(shù)量占地區(qū)f的種群數(shù)量的比值，#:表示年齡為6/的死亡率，參數(shù)eet, 1od'(a)da被稱為殘存率，eje d.(0 )dqb x(t-x )表示在地區(qū)1在z-t時(shí)刻新出生 生物能夠成長(zhǎng)為成熟個(gè)體的數(shù)量，但是卻成為地區(qū)2屮在z時(shí)刻能夠成長(zhǎng)為成熟個(gè)體的數(shù)量的一部分。同理dh砷|-t)表示在地區(qū)2在z-t時(shí)刻新

14、出生生物能夠成長(zhǎng)為成熟個(gè)體的數(shù)量，但是卻成為地區(qū)1中在f時(shí)刻能夠 成長(zhǎng)為成熟個(gè)體的數(shù)量的一部分。在1之前，這項(xiàng)是被忽略不計(jì)的。當(dāng)兩個(gè)地區(qū)的物種相同時(shí)，di，m = d=. d，di，, = dm =: d， bi (s) = b(s)，di (a) = di (a) ,0 < < t ,z'=l，2。則該系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為dxdt(t) = - dx (z) + dy (t)- dx (z) +e (l-r)b(x(t )+ rb(y(t-t),d (t) =- dy (z)+ dx (z) - dv (t )4- * (1-r)/?(y (t )+e rb x (z -t )

15、vdt其中v 。在文獻(xiàn)1中作者選取b(s) = shs , p0，分析了改模型，得出當(dāng)死亡率 -1 -變化時(shí)平衡點(diǎn)的性質(zhì)也隨著改變，并且討論了hopf分支的存在性等。在文獻(xiàn)19中作者選取b(s) = se-，p0 ,討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并且分析了hopf分支 的存在性，以及hopf分支的性質(zhì)等。但是以上等人對(duì)模型分析過程中對(duì)于兩地 區(qū)之間距離的考慮還不夠，本文引入時(shí)滯o來考慮兩個(gè)地區(qū)之間的距離對(duì)結(jié)果 造成的影響因此具有很強(qiáng)的實(shí)際意義。對(duì)于時(shí)滯微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)已經(jīng)有 很多人進(jìn)行了研究而當(dāng)微分方程只有多時(shí)滯時(shí)其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)就變得非常 復(fù)雜u9-291,因此對(duì)于該模型的研宄也同樣具有很強(qiáng)的理論意

16、義。1.2研究現(xiàn)狀對(duì)于非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題的研究，理論上有很多方法叫，其中平均 法、多尺度法卩2、三級(jí)數(shù)法、liapunov-schmidt方法和奇異性理論可用于研宄 非線性動(dòng)力系統(tǒng)的簡(jiǎn)化；規(guī)范型理論網(wǎng)可用來研究局部和全局分支；melnikov 方法m可用來研宂分支和混沌力學(xué)；中心流形理論和慣性流形理論可對(duì)髙維系 統(tǒng)和無限維系統(tǒng)進(jìn)行降維處理降36,使系統(tǒng)的維數(shù)降低。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)屮的非 線性動(dòng)力學(xué)的許多實(shí)際問題，單獨(dú)使用某些方法已難以解決問題，經(jīng)常需要同 時(shí)使用幾種方法進(jìn)行研究。分支問題的研究源于對(duì)天體力學(xué)、彈性力學(xué)、流體力學(xué)和非線性振動(dòng)中的 一些失穩(wěn)現(xiàn)象的探討，它有著深刻的應(yīng)用背景。因此，長(zhǎng)

17、期以來分支研究主要 在應(yīng)用領(lǐng)域中進(jìn)行。直到木世紀(jì)70年代，由于動(dòng)力系統(tǒng)、非線性分析和非線性 微分方程等方面研宄的推動(dòng)，以及隨計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而來的強(qiáng)有力的數(shù)值手 段的協(xié)助，才幵始形成分支的數(shù)學(xué)理論和方法，并在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、物理 學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、數(shù)值計(jì)算、控制、工程技術(shù)、以至經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)中得到廣 泛的應(yīng)用。當(dāng)前，分支的研宄無論是在理論上還是應(yīng)用上都在迅速深入地發(fā) 展。在實(shí)際應(yīng)用屮，許多系統(tǒng)都含有參數(shù)，考慮當(dāng)參數(shù)連續(xù)地變動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)發(fā)生變化，這就是含參數(shù)系統(tǒng)的分叉問題。hopf分支是研宄一族具有參數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)經(jīng)過某個(gè)特殊值時(shí)，系 統(tǒng)的平衡解能否進(jìn)入周期軌道的問題。雖然h

18、opf分支方法不是解決這一問題的 唯一方法，但是近30多年來，卻得到人們很大的注意，不僅對(duì)原來所考察的 ode (ordinary differential equations)系統(tǒng)進(jìn)行更深入的研光，而且在 fde(functional differential equations)系統(tǒng)以及 pde(partial differential equations) 系統(tǒng)進(jìn)行廣泛地推廣工作。ode hopf分支起源于近100年前poincare的工作，他給出了平面系統(tǒng)分支 的例子，1929年俄國(guó)人andronov給出了定理及計(jì)算公式，他們?cè)谶@方面的工作涉及的是二維向量場(chǎng)。直到1942年俄國(guó)人hop

19、f才第一次給出了著名的n維 向量場(chǎng)情形hopf分支定理38，現(xiàn)己成為經(jīng)典周期解理論的一個(gè)重要組成部 分。從常微分方程的觀點(diǎn)看，它是屬于線性系統(tǒng)的擾動(dòng)理論；而從現(xiàn)代分支理 論的觀點(diǎn)來看，hopf分支定理實(shí)際上是提供了處理含參數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù) 變動(dòng)時(shí)，如何引起相空間軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生本質(zhì)性改變的一種最簡(jiǎn)單方法。將ode的hopf分支定理推廣到fde中是一個(gè)非常自然的問題，這個(gè)工作 首先開始 丁 rfde(retarded functional differential equations)把 ode 的 hopf 分 支定理推廣到rfde中來，最大的網(wǎng)難是rfde的相空間是一個(gè)無限維的函數(shù)空

20、間，但是中心流形定理和空間的譜分解理論成為有力的工具，它們能使無限維 的問題轉(zhuǎn)化為冇限維問題得以解決。冇限吋滯的rfde hopf分支的存在性定 理首先由n. chaffe和j. hale用不同的方法所給出。1971年n. chaffe在文獻(xiàn) 39中利用中心流形定理給出了存在性定理。1.3本文的主要內(nèi)容與結(jié)構(gòu)在本文中，我們對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)，加入了一個(gè)時(shí)滯g來考慮兩個(gè)地區(qū)之 間的距離對(duì)結(jié)果造成的影響。模型變?yōu)椋篸xdt(t)4- dy (t -a)- dx (t )+e* (1-r )b(x(t )+e rb (y (t -x)dy (r) - dy (t)+ dx (t-a)- dy (t )

21、+e* (l-r)b(y(t)+ e r/f(x (/ -t)(1-1)dt、本文主要通過beretta和kuang4o的一些基本理論，分別討論當(dāng)t = 0和 w0時(shí)方程(1-1)的零解的穩(wěn)定性及局部hopf分支存在性，然后結(jié)合規(guī)范型和 中心流形理論，應(yīng)用hassard方法川來計(jì)算hopf分支方向以及分支周期解的穩(wěn) 定性等。本文共分五章。第一章闡述y課題背景及發(fā)展情況，在兩個(gè)地區(qū)間，具有 年齡結(jié)構(gòu)的單種群數(shù)量模型做了簡(jiǎn)單的介紹。第二章引入超越方程零點(diǎn)分析及其應(yīng)用，并且介紹了 beretta和kuang研宂 時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性的方法。第三章中首先求出(1-1)的平衡點(diǎn)，然后通過討論時(shí)滯微分方

22、程平衡點(diǎn)穩(wěn)定 性的基本方法以及推廣的beretta和kuang的方法，分別討論當(dāng)t = 0和0時(shí) 方程(1-1)的零解的穩(wěn)定性及局部hopf分支存在性。第四章通過應(yīng)用規(guī)范型理論和屮心流形定理，我們推導(dǎo)出確定分支周期解 的穩(wěn)定性和hopf分支方向的品式；公成，進(jìn)而叫以判斷hopf分支以及分支周期 解的性質(zhì)。第五章，我們把這一系列分析應(yīng)用到一個(gè)具體的模型中，并給出數(shù)值模 擬，以此來支持前面對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的分析結(jié)果。第2章預(yù)備知識(shí)2.1超越方程根的分布分析及應(yīng)用定理2丄142假設(shè)是一連通開集，gpi，）?。╆P(guān)于（x，p）e cxb連續(xù)，關(guān)于xec解析，且g（x，|i）在右半平面xe|cre?o

23、上的零點(diǎn)一致有界.若對(duì)任意（1 e 5i e bg （x，（i）在虛軸上無零點(diǎn)，則g （x，（i）在右半開平面xe c|rex>0上的零點(diǎn)重?cái)?shù)之和關(guān)于及是一定數(shù)，即g （x , |1）位于右半開平面上零點(diǎn)重?cái)?shù)之和與參數(shù)me凡無關(guān)，其屮b：是有界連通閉集?？紤]多滯量線性中立型微分方程組：其中r/（j=l，2,，h）是正常數(shù),（/=1，2,，fc）是非負(fù)常數(shù)，xg rn;aj9bi u= 1，2,，h，/ = 1, 2,，）都是常數(shù)陣。（2-1）的特征方程為kk2det（x / + aj b,e- ag ,） = 0>=1/=1展開其左端可得：0 （2-2） 其中r。是r=（n，ai）

24、中某些元素之和，（7 = （<5<5, g （x, r,<7 ）是關(guān)于的次數(shù)不高于n-1的指數(shù)多項(xiàng)式，q是a （j=l，的某些元素的組合。引理2.1.142對(duì) r?a）e _1+ £ ,1 - £ x r+ki x /?+n ,方程（2-2）位于右半平面的根是一致有界的，其屮0<e<l。引理2.1.242對(duì)方程（2-2），若j/fl，且其所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，貝ij存在（70 ,使其任一根？i滿足rex<-5。定理2丄242若卜|<1且（2-2）的所有根都有具嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，則（2-1）的零解是一致漸近穩(wěn)定的。2.2 beretta

25、和 kuang 的方法對(duì)于吋滯微分方程的特征方程/）（入 j ） = 0（2-3）其中d(k,x )=尸乂入，t ) + 2,”(入，t >-xxnmph (xj ) = e (t )入 a ; qm (入，t ) = e 小(t )入(* = 0人=0這里n, m g no , pk (), qk () : ro r關(guān)丁 t連續(xù)可微的函數(shù)。并且(2-3)滿足條件 (/)如果入=to，0) e /?，則 p，, (0,t ) + qm (0,t )0,tg r(/0p;1(/co,t ) + q,n (/c0,t )0;("/)對(duì)于t 2 0 ljm sup斗(入,t ,) /

26、 p (入，t ):卜| +oo, re x > 0 < 1;(/v)f (c0> j ) =«|p (/co,t ),(i|,t)只2有暢限個(gè)根；(v) f (co,t ) = 0的毎個(gè)正根co(t )關(guān)于t都是連續(xù)可微的。假設(shè)；c/?o 是使 f(c0，t)+p(/c0，t|2)-|2(/c0;)| 有正根(0(t)的 t 的集合，當(dāng)t任/時(shí),c0(t)沒有定義。定義2.2.1一 p" (/co，t )(?/ (，c0j ) + 尸(/0)，t、0/i (zovc )sin6(t)=|e )|2cose (t )二-p/(0，t 識(shí)，巧 + p q憐鴣

27、 |e(/o),t)|'0 cc) + 幽(o(t)定義2.2.2 14 rw , n e no 為t«(t)：=其屮co (t )是f (co,t ) = 0的根 引入函數(shù)irsn (t ) := t -t (t ),t g /，h e m則有以下定理引理2.2.1i40j若co(t)是當(dāng)te/時(shí)f (co,t ) = 0的正實(shí)根，并且關(guān)于t連續(xù)可 微，則函數(shù)s,(t)，m在/上是連續(xù)可微的。定理2.2.14。若co(t)是當(dāng)te /時(shí)f(co,t) = 0的正實(shí)根，/e/?0并且存在 /使對(duì)于一個(gè)m吋s4t-) = 0 ,則方程(2-3)存在一對(duì)純虛根?u(t*) = /

28、0xt*) t 1(t*) = -/co(t*),并且如果5(t*)0則從左向右穿過虛軸，如果 8(t-)<0則從右向左穿過虛軸。其屮 8(t* ) = r/rex |=咖凡(0)(x-)sign2.3本章小結(jié)在本章中，我們先介紹了42中用rouche定理建立起關(guān)于一般的超越函數(shù) 零點(diǎn)的分布定理，超越方程零點(diǎn)分布分析的一般性結(jié)果及在中立型方程中的應(yīng) 用。然后我們又介紹了 bcretta和kuang的方法，用來分析方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 等。第3章穩(wěn)定性和局部hopf分支分析3.1方程平衡點(diǎn)的計(jì)首先求(1-1)的平衡點(diǎn)，將x = y = 代入(1-1)«-dx* + e /?(x*)

29、 = -dx e x e- px = 0得出平衡點(diǎn)為(0,0)或-(l,x3.2當(dāng)t =o時(shí)方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性方程(1-1)在平衡點(diǎn)(x、，x*)(x* = 0或x)處線性化為d.xdt(t) =-clx(t)+ dy(t-o )-dx(t)+£-* (1-r)(1-px* )e 帥-(t)+er(-v)e)，.$-()|dy (t )4- dx (t -g )-dy (t )+c- (1-r)(1-p x*) e ytp- (t )+e*r(l-x(t)vdt特征方程為x + + d-e* (1 - r)(l - p.v )-px- de-/-er( - p%* )e-xdet =

30、 0 |l -de-xa-r(l -px* )e-xx + z) 什(1 一 r)(l 一 px. >-p.v i即x + / + z) + dc-xa d(i px*) = 0(3-1)x + 6/ + £) dc ka d ( i p x*) = 0(3-2)當(dāng)(y = o時(shí)，由42得(1-1)在x- = 0即平衡點(diǎn)(0,0)處不穩(wěn)定。下面討論(1-1)在 平衡點(diǎn)(yc-x)處穩(wěn)定性。當(dāng)(7 = 0 時(shí)，e- = b r= 0 , pzv = in= -nd ,則(3-1)、(3-2)可化為x + d+2d + -d( +lnt/) = ox + in j) = 0hp x

31、 = -2d + dnd x = dnd ,由己知條件知入<0，故有以下定理。定理3.2.1當(dāng)t = 0, (7二0時(shí)，方程(1-1)的平衡點(diǎn)(0,0)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn) 是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)(7*0時(shí)，在lytx)處方程(1-1)的特征方程為z + fz+d + dea-j(1 -px) = 0(3-3)x + d+d-dnd( -p7) = 0(3-4)對(duì)于方程(3-3),假設(shè)x = /co，co0是根，代入得/co + 6? + £) + dc-iax5 d (1 p x) = 0分離實(shí)部虛部得|d - j in t/+ £)cos oxj = 0因?yàn)?sim co&l

32、t;5 + cos2 coo = 1，則(d in cl )> - 2dd in j + 0)2 = 0 ,由-2c/d in 0 與 已知矛盾，所以方程(3-3)沒有純虛根。對(duì)于方程(3-4),假設(shè)入= /co,co0是根，代入得/co + + £) dc-nao 6/(1 p x)= 0分離實(shí)部虛部得|£)- dnd- d cos coo - 0因?yàn)?sin2 co<5 + cos2 cog = 1，貝1j (d in d )2 - 2dd in j + co? = 0 ,由-2t/d in f/0 與 已知矛盾，所以方程(3-4)沒有純虛根。定理3.2.2

33、當(dāng)t = o，eye 0，+oo)時(shí)系統(tǒng)(1-1)在平衡點(diǎn)7r，x)漸近穩(wěn)定。3.3當(dāng)t *0時(shí)方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性方程(1-1)在(x, x)處線性化為clxdt(t) =- dx(t )4- dy (z-a)- dx(t )+e* (1-r )(l-px) e(z-t ) +e r (1 - px) e y.vp- (r 一)dy (t )4- dx (z -a )- dy (t )+* (l-r)(l-px> 一)命(，t 汁x(t-x)dt特征方程為det + d + d -(1 - r)( 1 - p x)xe- ixdc ko c r (1 p x)c c - xt-de za

34、 - ev (1-p3 x)e e七i.v(3-5)(3-6)入 + £) dc-入(j 一 d ( l x)£?- xt = 0入 + z) + de-xo d ( p -)( 1 一 2廠)e-xx = 0對(duì)于方程(3-5)我們假設(shè)是它的根，代入得zcoi + 6/ + d - a cos (oit + ia sin coit - d cos(0i<5 + /d sin coin = 0其中a = j(1 - px) =(1 + 山t + lnd)分離實(shí)部虛部得j+d-a cos (oit - dcos (did = 0 coi + a sjn co t + 仿咖

35、d+ d = a cos coit + d cos coig l coi = -(a sin (oit + d sin (oig )兩邊平方相加得2 =a + b-(d +2z>) + 2 adcos(cot- (0(3-7)d +d-d cos coigcoi - d sin (oigcos 0)t=，sin 0)it=，aa考慮函數(shù) gi (c9i) = ai + di - (d + d)2 + 2 ad cos(coit - coig ) f (coi) = co12 的圖像 關(guān)系，則有引理3.3.1當(dāng)a0時(shí)，即t 41偏)時(shí)，只要爐(0)0，則/(價(jià):與 di-(1 + in d

36、)丨 門-rv定有交點(diǎn)；當(dāng) a<0 時(shí)，即1<, 時(shí)，只要(a-d)2-(t/+£>)20dim 7c且(二7)2 幺(£>-a)2-(6/+z)2，貝 g /(價(jià))與 g (coi) 一定有父點(diǎn)。對(duì)于方程(3-6)我們假設(shè)x =是它的根，代入得/oh + 6? + £> - a(1 - 2r)cos a>?t - / sin oht + dcos co2c - z sin 0)2(7 = 0分離實(shí)部虛部得fj+ £> - a(l- 2r) cos co2t + d cos (02(5 = 0 i co2 + 六

37、(1 - 2r )sin (0 tco即jj + £> = a(1 - 2r) cos (o2t - d cos oha 1 oh = (焱(1 - 2r) sin (0 t +(0兩邊平方相加得2 = a (1- 2r ) a- d -(6z+ d) - 2 ad( i - 2r) cos(co t - (0(3-8)d+d + d cos (o2q cosom=7-co2 + d sin coiq ，sin om =:ae-2 dix考慮函數(shù)幺2 (0)2) = 712 (1-2r )2+ £>2-(6/+£)2-2/u?(l-2r)cos(0)2

38、t-0)2(7)與 fi(co2 ) = (o22的圖像關(guān)系，則有引理 3.3.2 當(dāng)a0時(shí)，即i(1+ln6/)時(shí)，只要 d,n兀a(l-2r) + o2-(6/ + o)2>0 j1 ( )2<a(1 -2r) +di-(d+d)2 ,貝 u /2 (oh )與t- g(0)2 ) 一定有交點(diǎn)；當(dāng)a<0吋，即1< "0+'nj)吋，只要幻(0)0 ,則f2(0)2 )di與g2(c02 ) 一定有交點(diǎn)。定義3.3j71)2<(d-a)2-(d+d)：hi：t-071t-0-)2<a(1 -2r) + d2-(j + d)：一 002 +

39、 in d) 口 (_ in，+的),從成立/1 =didiin d(-+oo) di(-co di1 + in 6/) u1 +indi (1 - 2r)11 + in c/(_oo,-)j/ (1 - 2r) did,引理3.3.3當(dāng)te/i時(shí)，方程(3-7)定有根，t g /2時(shí)方程(3-8)定有根。證明：根據(jù)/，和h的定義知，時(shí)滿足引理2.1則方程(3-7)定有根。 xe a時(shí)滿足引理2.2，則方程(3-8)定有根。哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩丄學(xué)位論文特別的，由于t20 ,則/，和/2可以重新定義如下當(dāng)0< 6/仝么2時(shí)il 2 + in 6/in ddidiind(-;+-) d i

40、，從成立,ft不成立i1 i + in dl1 + in <7/'=!/d, d,( -2r),+°°), 成立,h2不成立2r)d/ = (-md,11 + in 6/(1 - 2r) d下面我們討論(3_5)的純虛根入=/co! (coi>0 )以及(3_6)的純虛根入=也(co： > 0 ) 的存在性，應(yīng)用beretta和kuang的方法40。首先將(3-5)、(3-6)寫成川認(rèn)，t) + w(?ijk-h = 0 , j=l,2 的形式。其中pi(x-,t )=入 + /+£) dc-kc f cf (x ,t ) = 6/ (p

41、 x 1)pt (x，t )=人+ / + /) + d(a，爐(x，t ) = d (p x引理 3.3.4 當(dāng)te a (y= 1，2)時(shí))u(-13-)u(0,h=y di(/) pj (0,t ) + q (0,t )0；(/) pj (zco,t ) + qj (/o),t )0;(/")對(duì)于t 2 0 jim sup qj (x ?t ) /p (x，ij )|:卜> +oo, re x > 0 < 1;(iv) fj (q) j ) =7：冰識(shí)有2有批個(gè)根；(v) f；(co；,t) = 0的每個(gè)正根(oj (t )關(guān)于t都是連續(xù)可微的。證明 (i)

42、p,(0,t) + 2. (0,x) = d + d-d + dx-d = dx0p2 (0,t ) + qi (0,t ) = j + 2d + 6/ (p x -1)(1 - 2r) o(ii) p, (z(o,t ) + q (zcoj ) = /co + d(1 e-,(na ) + d (3 x 關(guān) 0p2(/c0,t ) + 02 (/co,t ) = /0) + j + d( 1 + e-kno ) + j (p x - 1)(1- 2r)0phft (入，t ) pi (x,t)i rf(px-l)(l-2r)唞1 j-ag+ d + d + ded(|3a-1) 1laj=0

43、2-120 r | p'(k j pf1(iv)由定義和引理(2-1)、(2-2)可知(v)由定義顯然。由定義可知fi(fo)；t.t)pi (z(o/t j )cos 0)a = - re， sin (0/t = imqj (/'co/t ,t)qj (/coyt ,t )fi(0)i,t ) = (j + d)2 + £)2 + c0i2 - 2d(j + d) cos 0)1(5 + 2(0i£> sin coio -j2(l -rf/t-ln j)2f2 (co： ,t ) = (d+ d)2 + £>2 + 0)22 + 2d

44、(d + d) cos 0)2(7 - 2(0： d sin 0)2(7 - j2(p%-1) (1- 2，)2所以 |p;(/0)a j j 二小(fow) i，即 c，t) = 0，其中 j=l，2 o 當(dāng)t e /丨時(shí)，由隱函數(shù)定理可得co： = (oi (t ),同理當(dāng)t e /2時(shí)，可得c02 = 0)2 (t ) o足乂0;(1)0,2兀，使得幽山 .a , 、 t 幽山 c e/(t)+ 2/7k cos0；(t) = -re， sin0y(t) = im， s”j =飛-q, (/'(oy j)仏(d)co； (t )其中 0);=，(t )，y = 1，2，t g /

45、> ," ez。引理 3.3.5 若 shszn)對(duì)于 ne n 有一根 t. e /： (/2)，則方程(3-5)(3-6)在 t = t*處存在一對(duì)簡(jiǎn)單的純虛根±/co(t*)。定義 3.3.2 xj = t : s> (t) = 0, /? e z ,t e /； , t； = mint :xe xj,其中j = 1，2 o對(duì)于方程(3-5)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)可得-dch-ae-ix (-t-x)-dexo (- (7) = 0(ftt及 _ dd i -x dx 1 + at dt + do c zod _ dd! cos a)it - iddsin o)i

46、t - /o)i a(cos (oit - / sin coit )1 +at (cos (oit - i sin (oit ) + do (cos coin - z sin (oig )，(ddi cos o)it-y4o)i sin om) -i(必 sin(oit + 編 cos om )(1 +at cos(0it + £>a cos coin) - /( at sin coit + dg sin coin )記 oti = re xii = (1+j(1 + j/t + ln6/)x coscot + do cos oxy )2 + (t/(l+ j/t + lnj)

47、t sin cor + do sin oxy )2 > 0-=(ddi cos coit- ac0i sin coit) (1 + at cos (oit + da cos coio )ai+(w/ sin coit 十 a(oi cos (oit )(ax sin (oit + da sin coig )丄，:-dd,+j)co, , .(l+jrc + ln j)2(1 +gj+qd) + dd顏g sin coit + cfd! (1 + rf/t + in j )(t - a )對(duì)于方程(3-6)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)可得ii(j ) = 0d 入.zdd / ot ac - xt -

48、2 m (則jkljtdxidi ddi e-x-2dix a(入 + 2z)/ )g-x/c-2m dx1 + at c-xx -2 on do當(dāng)入=z0)2時(shí)e-2 d/t dd / (cos oht - z sin oht ) - /aoh (cos ovu - z sin 膩)-2 a a (cos oht - z sin oht )1 + at e-2dn (cos oht - i sin co2t ) - do (cos coza - i sin(02a )_ e-2 dtt i(ddi-2 ?!£>/ ) cos co2t - aoh sin core 1 - i

49、(dd 1 - 2 aim sin co2t + aoh cos oht u(1 +axe_2d/t cos 0)2 2dn 22 sin(0 vrpo sin(0記 0c2 = re 入！a2 = (1+j(1 + dix 4- in j )t e-2d, cos (ot - do cos c0<7 )2 + (r/ (1 + dix + in j)t e-2da sin (ot 則 -do sin 0x7 )20血2 e=-(ddi cos (o2t - 40)2 sin (o2t - 2 adi cos co2t )(1 +at e-idn cos (o2t - do cosco/

50、c) dx+ (ddi sin co2t + a oh cos(02l - 2 /id/ sin 0)2t )( at e-wn sin oht - do sin oht )1 2 = ddi (i+ o d + g d) - chd-irf/d )cdi 1 i(l+ j/t + ind)(1 +g d+q d) + ddiq x + ddi (1 此冰 in d)(t - g )記5<(t) =d re xi jai (ft (lt52(t) =d re 入2da 2定理3.3.1對(duì)于t0吋(1) ，當(dāng)= 0時(shí)，方程(1-1)在平衡點(diǎn)(xx)漸近穩(wěn)定；(2) 當(dāng)= 0時(shí)，w 0,t,

51、)時(shí)方程(1-1)在平衡漸近穩(wěn)定，若 8.(x1 )0,則在t = ti處產(chǎn)生hopf分支;(3) 當(dāng)1 = 0，x2*0時(shí)，tg0j2)時(shí)方程(1-1)在平衡點(diǎn)f)漸近穩(wěn)定，若 82(12)0 ,則在t = t2處產(chǎn)生hopf分支；(4) 當(dāng)時(shí)，10:<)(1 = 0(2)時(shí)方程(1-1)在平衡點(diǎn)(xtx)漸近穩(wěn)定，若5 (v) # 0，則在t = <處產(chǎn)生hopf分支。3.4本章小結(jié)在本章中，我們首先求出系統(tǒng)(1-1)的平衡點(diǎn)，然后通過討論特征方程根的 分布來分析了當(dāng)t = 0 (1-1)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性得出了定理3.2.1、定理3.2.2；當(dāng)t#0時(shí)，我們推廣了 berett

52、a和kuang的方法，的出了定理3.3.1。第4章hopf分支方向及穩(wěn)定性的計(jì)在前一章當(dāng)中，我們得到了在t穿過某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近出 現(xiàn)周期解。正如hassard在文獻(xiàn)41中指出的，研究這些周期解的穩(wěn)定性和分支 方向，及周期解的周期都是很有意義的。在這節(jié)中我們假設(shè)在t = h時(shí)，方程(1- 1)在平衡點(diǎn)£. = cv7%)經(jīng)歷hopf分支。我們通過規(guī)范型和中心流形理論，應(yīng)用 hassard方法來計(jì)算hopf分支的一些性質(zhì)。4.1 hopf分支性質(zhì)我們將(1-1)在平衡點(diǎn)(%7x)處展開(x(z)、(x(t) (x(tb，1=七1卜物其屮a=ll)0 -(d+d)(d( -

53、rxl-px) jr(l 3x)1l 利.omw一p(pa-l)y2(z-l ) + d2(l 4d x) p (z -t) + 0(%4,y4dp q p x 1) x2 (f t )+_l p2 (1 -j. p x) y -t ) + 0( x4 ,)記為 xf = ax + bx (t - q ) + cx(t - x) + f假設(shè)t。是方程(1-1)的hopf分支點(diǎn)，x(to) = zo>o ,設(shè)1 = 1：。+ |1 ,不妨設(shè) t>a ,則在(1 = 0時(shí)(1-1)產(chǎn)生hopf分支。根掘reisz定理，對(duì)于任意（pe c"-t（），o有ax + bxt (7

54、) + cx(zt o )= j.xo(0?m(e)其中 a + b1戶n(e)=jio-c0 = 00 g (-a ,0)0 g (-to,-a 0 = tomm )<p =卻(e)t/odr (5, |i )(p (5)0 g -to，0)0 = 0鄰）= ;!0 g -to，0)0 = 0方程（l-u可以寫成x! = l(g) xi + 鄰)x對(duì)于ve nojo定義dsdr (z, 0)v (-t)s g (0, to 5 = 0-to對(duì)于(pe cz-to, 0和)/e co,to定義e< (p ,v= v (0)(p -tolov(c-0)l (6)9則zz和l = l（

55、0）是共軛算子。設(shè)g(e )和#(e )是l和a*對(duì)特征值/tocoo和-zl的特征向量。其中fco ,ifsn(t)= 0o>)= <.nenco? ,11 s(t) = 0a71、(z(0o i a jbc-coqg cc-ojoxo ) 11 i = 0 qi)< /(0()+ (r/ + d) - j (1 - r)(1 - p j )-ax. ox-de-(. - dr 1 (3 x je-(ooox-de-o-6/廠(1 (j j灰韻。too + (d+ d)-d( -r)(l - x)e取(6) = (l,l)rertooe , yfj) = a(l，l)&，則通過直接計(jì)算得（7（0 ） = （1，1）7。o由 0)，q(q )= 1 得e< y ，</(0 )= y (0)<7(0)#-e殉(e)施)我|1、¥d4l- u j(1n(eil 所以z)o2 + 2£