十字相乘法分解因式（精編版）

1、十字相乘法分解因式同學(xué)們都知道， 型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的常見(jiàn)題型，那么此類多項(xiàng)式該如何分解呢？觀察 =，可知 =。這就是說(shuō)，對(duì)于二次三項(xiàng)式，如果常數(shù)項(xiàng)b 可以分解為p、q 的積，并且有p+q=a，那么=。這就是分解因式的十字相乘法。下面舉例具體說(shuō)明怎樣進(jìn)展分解因式。例 1、因式分解。分析：因?yàn)?x+(-8x) =-x解：原式 =x+7 x-8 例 2、因式分解。分析：因?yàn)?2x+ -8x =-10x解：原式 =x-2 x-8 例 3、因式分解。分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)展因式分解。因?yàn)?y+10y=19y解：原式 =2y+3 3y+5例 4、因式分解。分析：因

2、為21x + (-18x)=3x解：原式 =2x+3 7x-9 例 5、因式分解。分析：該題可以將x+2 看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)展因式分解。因?yàn)?25 x+2+-4(x+2)= -29x+2解：原式 =2 x+2-55x+2 -2= 2x-1 5x+8例 6、因式分解。分析：該題可以先將看作一個(gè)整體進(jìn)展十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘。因?yàn)?2+-12=-14a+(-2a)=-a3a+ -4a =-a解：原式 =-2 -12=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)從上面幾個(gè)例子可以看出十字相乘法對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解因式十分方便，大家一定要熟練掌握。 但要注意， 并不是所有的二次三項(xiàng)式都能進(jìn)展

3、因式分解，如在實(shí)數(shù)圍就不能再進(jìn)一步因式分解了因式分解的一點(diǎn)補(bǔ)充十字相乘法5 / 5九中尤啟平教學(xué)目標(biāo)21使學(xué)生掌握運(yùn)用十字相乘法把某些形如ax +bx+c 的二次三項(xiàng)式因式分解；2進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和思維的敏捷性。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：正確地運(yùn)用十字相乘法把某些二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的二次三項(xiàng)式因式分解。難點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字相乘法因分解式。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了關(guān)于x2+p+qx+pq 這類二次三項(xiàng)式的因式分解，這類式子的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。2因此，我們得到x +p+qx+pq=x+p (x+q).課前練習(xí) ：以下各式因

4、式分解221- x+2 x+152 x+y -8 x+y+48；42223x-7x +18；4 x -5xy+6y。答： 1- x+3 x-5 ；2 x+y-12 x+y+4 ；3 x+3 x-3 x 2+2；4 x-2y x-3y 。2我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了把形如x +px+q 的某些二次三項(xiàng)式因式分解，也學(xué)習(xí)了通過(guò)設(shè)輔助元的2方法把能轉(zhuǎn)化為形如x +px+q 型的某些多項(xiàng)式因式分解。2對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的二次三項(xiàng)式如何因式分解呢？這節(jié)課就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，即把某些形如ax +bx+c 的二次三項(xiàng)式因式分解。二、新課2例 1把 2x -7x+3 因式分解。分析： 先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字穿插

5、線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在十字穿插線的右上角和右下角，然后穿插相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)。分解二次項(xiàng)系數(shù)只取正因數(shù)：2=1× 2=2× 1；-7 。分解常數(shù)項(xiàng)：3=1× 3=3× 1=-3 × -1 =-1 × -3 。用畫(huà)十字穿插線方法表示以下四種情況：11131-11-32 × 32× 12× -32× -11× 3+2× 11× 1+2× 31×-3 +2×-1 1×-1 +2×-3 =

6、5=7= -5=-7經(jīng)過(guò)觀察， 第四種情況是正確有。這是因?yàn)榇┎逑喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)2解2x-7x+3= x-3 2x-1 。一般地， 對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+ca0，如果二次項(xiàng)系數(shù)a 可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即 a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c 可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c 1c2，把 a1， a2， c 1， c 2 排列如下：a1c1a2× c2a1c 2 + a 2c12122按斜線穿插相乘，再相加，得到a1c2+a2c 1，假設(shè)它正好等于二次三項(xiàng)式ax +bx+c 的一次項(xiàng)系數(shù) b，即 a1c2+a2c 1=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1 與

7、 a2x+c2 之積，即1ax2 +bx+c=a x+c a x+c 。像這種借助開(kāi)十字穿插線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。2例 2把 6x -7x-5分解因式。分析：按照例1 的方法，分解二次項(xiàng)系數(shù)6 與常數(shù)項(xiàng) -5 ，把它們分別排列，可有8 種不同的排列方法，其中的一種213× -52× -5 +3× 1=-7是正確的，因此原多項(xiàng)式可以用直字相乘法分解因式。2解 6x-7x-5= 2x+1 3x-5 。指出： 通過(guò)例 1 和例 2 可以看到， 運(yùn)用十字相乘法把一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的二次三項(xiàng)式因式分解，往往要經(jīng)過(guò)屢次觀察

8、，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1 的二次三項(xiàng)式， 也可以用十字相乘法分解因式，這時(shí)只需考慮如何2把常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù)。例如把x +2x-15 分解因式，十字相乘法是1-31×51×5+1× -3 =22所以 x +2x-15= x-3 x+5 。22例 3把 5x +6xy-8y分解因式。2分析： 這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x 的二次三項(xiàng)式，把-8y看作常數(shù)項(xiàng)， 在分解二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí)，只需分解5 與-8 ，用十字穿插線分解后，經(jīng)過(guò)觀察，選取適宜的一組，即125× -4221× -4 +5× 2=6解5x+6x

9、y-8y=x+2y 5x-4y 。指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x， y 的一次式。例 4把 x-y 2x-2y-3 -2 分解因式。分析： 這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式，只有先化簡(jiǎn)， 進(jìn)展多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式再因式分解。問(wèn)：兩個(gè)乘積的式子有什么特點(diǎn)，用什么方法進(jìn)展多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡(jiǎn)便？答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2，就變?yōu)?2 x-y ，它是第一個(gè)因式的二倍，然后把 x-y 看作一個(gè)整體進(jìn)展乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于x-y 的二次三項(xiàng)式，就可以用址字相乘法分解因式了。解x-y 2x-2y-3 -2=x-y 2x-y -3 -21-2=2 x-y 2

10、-3 x-y -22× +1= x-y -2 2x-y +11× 1+2× -2 =-3=x-y-2 2x-2y+1 。指出：把 x-y 看作一個(gè)整體進(jìn)展因式分解，這又是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的“整體思想方法。三、課堂練習(xí)1. 用十字相乘法因式分解：22212x -5x-12 ；2 3x -5x-2 ；3 6x-13x+5 ；22247x-19x-6 ；5 12x -13x+3 ；6 4x+24x+27。2. 把以下各式因式分解：22216x -13x+6y；28x y22+6xy-35 ；222318x -21xy+5y；42 a+b +a+b a-b -6 a-b 。答

11、案： 1 1 x-4 2x+3；2 x-2 3x+1；3 2x-1 3x-5 ；4 x-3 7x+2；5 3x-1 4x-3 ；6 2x+3 2x+9。2 1 2x-3y 3x-2y ；2 2xy+5 4xy-7 ；3 3x-y 6x-5y ；4 3a-b 5b-a 。四、小結(jié)1用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c 的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：1正確的十字相乘必須滿足以下條件： a1 c1在式子中，豎向的兩個(gè)數(shù)必須滿足關(guān)系a1a2=a， c1c2=c；在上式中，斜a2c2向的兩個(gè)數(shù)必須滿足關(guān)系a1c 2+a2c1=b，分解思路為“看兩端，湊中間。2由十字相乘的圖中的四個(gè)數(shù)寫(xiě)出分解

12、后的兩個(gè)一次因式時(shí)， 圖的上一行兩個(gè)數(shù)中， a1 是第一個(gè)因式中的一次項(xiàng)系數(shù)， c1 是常數(shù)項(xiàng)；在下一行的兩個(gè)數(shù)中， a2 是第二個(gè)因式中的一次項(xiàng)的系數(shù)， c 2 是常數(shù)項(xiàng)。3二次項(xiàng)系數(shù) a 一般都把它看作是正數(shù)如果是負(fù)數(shù)，那么應(yīng)提出負(fù)號(hào)，利用恒等變形把它轉(zhuǎn)化為正數(shù)，只需把經(jīng)分解在兩個(gè)正的因數(shù)。22形如 x +px+q 的某些二次三項(xiàng)式也可以用十字相乘法分解因式。23但凡可用代換的方法轉(zhuǎn)化為二次三項(xiàng)式ax +bx+c 的多項(xiàng)式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。五、作業(yè)1. 用十字相乘法分解因式：222212x +3x+1；22y +y-6 ；36x -13x+6 ；43a -7a-6

13、；22222256x -11xy+3y；64m+8mn+3n； 710x -21xy+2y；2288m-22mn+15n 。2. 把以下各式分解因式：2222214n +4n-15 ；26a +a-35 ；35x -8x-13 ；244x +15x+9 ；515x+x-2 ；66y+19y+10；2720-9y-20y；8 7x-1 2+4x-1 y+2 -20 y+2 。2答案：1. 1 2x+1 x+1；2 y+2 2y-3 ；3 2x-3 3x-2 ；4 a-3 3a+2；5 2x-3y 3x-y ；6 2m+n 2m+3n；7 x-2y 10x-y ；8 2m-3n 4m-5n。2. 1 2n-3 2n+5；2 2a+5 3a-7 ；3 x+1 5x-13 ；4 x+3 4x+3；5 3x-1 5x+2；6 2y+5 3y+2；7- 4y+5 5y-4 ；8 x+2y+3 7x-10y-27 。課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1. 為了使學(xué)生切實(shí)掌握運(yùn)用十字相乘法把某些二次三項(xiàng)式因式分解的思路和方法，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，先通過(guò)例1，較祥盡地講解借助畫(huà)十字穿插線分解系數(shù)的具體方法，在此根底2上再進(jìn)一步概括如何運(yùn)用十字相乘法把二次三項(xiàng)式ax +bx+c 進(jìn)展因式分解的一般思路和方法。只有使學(xué)生掌握了十字相乘法的一般法那么，才能進(jìn)一步指導(dǎo)解決各種具體的問(wèn)題，這種從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾?/p>