長沙理工大學高數(shù)下冊練習冊答案

1、習題8.1(A)1 . (1) (0-3J), 0 , -37 ：(2)或.2 .解:陷/肛=(-1,_ /,1),與麻河方向相同的單位向量為0% =，-22 211所以 Ml"?的方向余弦為 COS2 n-cos/? = -,cos/ = -；的方向角為/ = ',7 = £； 343與M1"；方向相反的單位向量為，所以與麻同 方向相反且長度為L的向量為,d,空,!)=(L 史,一,). 22 2 224 443.解:設所求點為“(0,y,z)，由題意，|M4|=|網 = |MC|,即9 + (y-l)2+(z-2)2=16 + (y + 2)2+(z

2、+ 2)2=(y-5)2+a-l)2,解得)，= 1,Z = 2,故所求點為(0,1,-2).(B)1 .解:設)的方向角為a,Q,y,依題意有e = /7,y = 2。.因為 cos2 a + cos2 p + cos2 / = 1,即 cos2 tz+cos2 a+cos2 2<z = L解得，從而；，0 < a < 0 < /? < , 0 < / </.不合，舍去.于是)的方向角為或.2 .解：因為夾角平分線的方向必為1+六的方向，1,"分別表示上的單位向量,則反力間夾角平分線上的單位向量為習題8.2(A)1 一 一 一1. (1)

3、(-4,2,-4)； (2)3, ±=(13/-2j-4k).2解：/+ + ? = 0,7(不+ +?) = 7-6 = 0=i,7 +刁8+7,? = 0= |7 + 23 + % = 0 =1+7? = -|回 =T同理可得3,。+ 亍=-9,?1+ ? =-16 ,從而- 一一一292(1 b +b -c+ c - a) = -29, ：.a h + b - c +c a =- 一 23,解:依題意有萬故萬。xi , 7xi =(12,-3,4)x(1,0,0) = (0,-4,3),|p|=|a|=i3,p=±i3-x/axi 13小 :- = ± -

4、(0,-4,3)0(B)1 .解：以？為鄰邊的平行四邊形的面積S = |，乂¥，nx v = (2a + 3b)x(ci-4b) = 2axa + 3b xa-8axh -12b xb =-axb ,V3 2=1 cixb，- a-b 1-2 .解:v cos(a9b) = = 一, sin(a.b)= 明2|/«xn| = |(2J + 3/?)x(3-/?)| = |-1 1clxb =cixb = 1習題8. 31 . (1) (x-1)2 +(y-3)2 +(z + 2)2 = 14 ： (2) x2-4y2-422 =9, x2-4y2 + z2 =9.2 .略(

5、B)1 . k>0時，表示橢圓拋物而；<0時，表示雙曲拋物而：k=0時，表示拋物柱面.2 .解:設M (2，y, 4)為曲線L上任一點，由L的方程知再=1與M的坐標為(1, y，&) .當L繞Z軸旋轉到某一位置時，變到另一點M(x,y,z),豎坐標不變，z = & ;點 到z軸距離不變，l + y；=x2+y2.又因M在L上，所以y=Z = z.因此1 + Z? = / + / ,即/ /一 j,此旋轉曲而為單葉雙曲面.習題8. 4(A)1. (1)橢圓與直線x = 2的交點，橢圓柱而與平面x = 2的交線；(2).2.解:柱而V +),2 內=。即為投影柱面，曲線

6、在my而上的投影曲線方程為 由方程組消去x,得投影柱面方程為z4 = a2(z2-y2),則曲線在yoz而上的投影曲線方程為"廠+1)7 -2-z = 0x = 0 *3.解：由方程組消去 >',得母線垂直于MZ坐標而的柱面方程為Y + XZ + Z? = 4,此柱而通 過已知空間曲線,故即為所求柱而.(B)1 .解：由第一，二兩個方程消去參數(shù)區(qū)得V + V =，/，螺旋線在my坐標而上的投影曲線 方程為：由第一,三兩個方程消去參數(shù)氏得,螺旋線在wz坐標而上的投影曲線方程為；由第二，三兩個方程消去參數(shù)氏得，螺旋線在yoz坐標而上的投影曲線方程為.2 .解:設圓心坐標為3

7、y),圓與拋物線的切點坐標為。,)，則有=產.又在(/,)點切線的斜率,則在該點的法線方程為，即2tY-2t3=t-X.因圓心在此法線上,故得202/=1 x.而圓的方程為(Xx)2 + (乂 -y)2 =；,其中)為圓上動點坐標，點(八p)在此圓 上,故有,即.綜上有所求圓心(M y)軌跡參數(shù)方程為：x = - -，y =產+一 .J4/ + 1244產+1習題8. 5(A)1. (1)1： (2)3.2 .解:所求平面的法向量為n = (7-3,1),所求平面方程為7(x-1)-3(y + 2) + (z 3) = 0,即 7x-3y+ z-16 = 0.3 .解:通過X軸的平面方程為By

8、+ Cz = 0,將已知點的坐標代入,得8 = -2C,所求平面方程為- 2Q，+ Cz = 0,即 2y z = 0.4 .解:平行于y軸的平面方程為Av+ Cz +。= 0，將兩已知點的坐標代入,得，解得A = -9C, O = 38C,則所求平而方程為9Cv + Q + 38C = 0,即9x-y-38 = 0.(B)1 .解：因為所求平面垂直于平而-y + z = 7和3x + 2y -12z + 5 = 0,所以所求平面的法向量五垂直于=(1-1,1)和用=(3,2,-12),則亓4 x &,Ex&= (10,15,5),取萬= (2,3,1),故所求平面方程為2x

9、+ 3y + z = 0.2 .解：因為所求平面過點且垂直于平面x 2)，+ 3z -1 = 0,所以所求平面的法向量方_1_"加2 =(2,2,3),且亓_!_% = (1,-2,3),故認,陷=(12,3,-6),取力=(4,一2),則所求平面方程為4(x_l)_(y + l)_2(z + 2) = 0,即4x-y-2z-9 = 0.習題&6(A)1 . (1)0； (2). 22 .解：因為所求直線平行于兩平而與x + 2z 4 = 0,)，+ 3z 5 = 0,所以所求直線的方向向 量垂直于這兩平面的法向量4 =(1,2,T),加=(0,1,3),從而所求直線的方向向

10、量平行于 % X元=(10,-34).故所求直線方程為.3 .解:點(-1,2,0)在平面x + 2y - z +1 = 0上的投影即過點(-1,2,0)且垂直于平而x + 2y - z + l = 0的直線與平面x + 2y-z + l = 0的交點.過點(-1,2,0)且垂直于平面x + 2)， z +1 = 0的直線方程為，其參數(shù)方程為x = -l+f, y = 2 + 2，, z = T,代入x + 2y-z + l = 0,得 (-1+0 + 2(2 + It) (T) + 1 = 0,解得.從而得投影點的坐標為.4 .解:過直線的平面束:方程為(2x4y z) + 3xy 2z9)

11、 = 0,即(2 + 34)x+(4 + (1 2Z)z 9/i = 0,其中與平而4x y + z = 1垂直的平面滿足條件(2 + 3/t)4+(Y孫(-1) + (-1-24= 0,解得2 = 1,則投影平面的方程為x + 3y-z9 = 0,故投影直線的方程為*(B)1 .解:直線的參數(shù)方程為，其方向向量為耳=(3,2,1), 直線的參數(shù)方程為，其方向向量為工2 =(127).設所求直線與/1的交點為內=36一1,力=24一3, % =力所求直線與/2的交點為M與,Mg), x2 =t2, y2 = 2f2-5, z2 = 7r2 + 2,MA/, = (f 3f + 192f2 2/

12、1 2,7/)4 + 2) 1 * M/V/, JL 5j, MA/0 .L s,3«2 3/ +1) + 2(2,2 -26 -2) + (7,2 F +2)=()(f, 3f +1) + 2(2f) 2f 2) + 7(7/) 4 + 2) = 0則M的坐標為，M,的坐標為，MM；,所求直線的方向向量取? = (3-5,1),則所求直線的方程為.2 .解：先求已知平面和已知直線的交點，即解線性方程組解之得交點坐標(1,1,-1).再過交點作垂直于已知直線的平而江，只需取其法向量為已知直線的方向向量，即« = (0,1,0)x(0,0,1) = (1,0,0).故垂而乃的

13、方程為x-1 = 0,則垂而與已知平面的交線即為所求.3 .解：設所求直線為/.因為/過點A/。且與z軸相交,所以/必在過點Mo且通過z軸的平面勺上.設勺的方程為Ax+ 3)，= 0,將A/。的坐標代入,得4 = 28,故町的方程為2x + y = 0 ；又因為/過點Mo且與已知直線垂直，所以/必在過點M()且與已知直線垂直的平面乃2 上42 的方程為 4(x-l) + 3(y + 2)-2(z-3) = 0,即 4x + 3y - 2z + 8 = 0.于是所求直線為平面勺與42的交線，其方程為.第八章自測題一、1.共而；2. 3 ； 3. 36： 4. ； 5.3二、1.解：設所求平而方程

14、為Ar +珍=0,由已知有cos60 =1£?)= = !, 2(A +38)(34 8) = 0, 4 = -38或8 = 34,所求平面方程為3%一)，=0或_¥ + 3)，=().2 .解:過點P且垂直于平面江的直線/的方程為x l = y + 2 = z -3,或將/的參數(shù)方程代入江的方程：(1 + /)+(2 + /) + (3+。-14 = 0, 1 = 4,則/與萬的交點為庶(5,2,7).設點P關于平面乃的對稱點為尸'(1 +小2+小3+4)，< P。為PP'的中點,，則點P'的坐標為(9,6,11).3 .解:設直線與z軸的交

15、點為(0,0,c),將其代入直線方程:解得4 = 3.4 .解：設所求直線的方向向量E = (?,),因為所求直線平行于平面3工-4)，+ 2-10 = 0,故有3m-4 + = 0.已知直線的方向向量另=(1,1,2)，點8(-1,3,0)在已知直線上,因為所求直線與已知直線相交,所以三向量赤，即T共而，故有-1-<-1) 3-0 0-4 112=0,m n p即106一4-3 = 0.(2)聯(lián)立(1)、(2)式可得 因此所求直線方程為5 .解:設柱而上任一點為準線上相應點為“。(%,凡,0),與M在同一zc= 7，/ = x-z,),o = y 2z,條母線上,= (x 丁 一 %,

16、 z) / /(1,2,1),A| = ' "代入)'o =N) 得,_22 =。_2)三、解：= x = ；-士 =。=二 + 二一二=± + (；+;)。=1, b c cra- h ce曲面=Lu曲面,即L在曲面上.七、設旋轉曲而上任一點為M(x,y,z),直線L上相應點為“。(凡,兒,人)，與"在同一垂直于z軸的圓周上，Z。= z, x02 + y02 = x2 + /.又由，得/=1，Y) = 4,代入與2+%2 =x2 + y2x2 +y2 = + /,或/ + y?z? = L習題9.1(A)1. （1）/一2上丫2+2寸：（2）曲線

17、丁=2%上所有點.卜(X,巾2+y2«z2,ZW。2. (1) (x,y)|O<x<>x2 + y2<l3.解：lim(x.yTl.O)10=10£)=1112 yjx2 + y2 Vl2+O2解：lim(aTO.o)limd(O.O)xy(yxy + +1)lim (Jxy +1 +1) = 2. (kyfO.O) vc r sin(xy)解： Inn = Inn(x,y)->(2.0> y (x.v)->(2.0)x = l.2 = 2.1町晶。期0 + 2W的1 2xy屈。.產2節(jié)產叫e4.解：lim f (x, y) = l

18、im(K.yTU,O)(x.y)-XO.O)工二十 y,】 lim y = 0, r g)T0.0)1-廠十廠t®/小輔。J«y)=°="°M則/（%,），）在點（0,0）處連續(xù).(B)1. (1)： (2)直線x = 或y = (7,eZ)上所有點.2. (1)x,yy2 <4x90<x2+ y2 <1卜(x,y)|-y*x«y2,0v)Yl.3,解：人曾。.。）表2（：2 +lim(x.y)->(0.0)C2廠+廠2sin -2廠廠（廠+）廣）«醇。） 2 廠 +sin -2x2 +y,國（r +

19、 7) = 8 2y2 2x2r It(2)解：: liin = lim ：.lim (/+ y2)6-"-').V->4-X 、T+0Cr M 1 )廣=1UB ( + -、 « v K*30 w eV 1 )= o-o+oo = o./ ex4.證:當(x, y)沿曲線y = k,趨于(0,0)時,有l(wèi)im ;，、(x.y)->().0) x*1 + vX2 -kx1lim(x.vfO.O) 1 + K顯然它是隨著k的值不同而改變的,故所給極限不存在.習題9.2(A)jr1 . (D-： (2)1.42 .解:包=ye" + 2 孫=M +

20、 x2.oxdy(2)解:包=e而”dxQ7cosxcosy, 一 = e (一sin y)./分7分7解：，=y(l + xy) I , y = y2 (1 + xy) = (1 + xy) vln(l + xy) + dxdy + xy./ x 5 6 y二1 1 du -./ y、(4)解：一= xz ,=xz nx一,=xz lnx-(-).dx z dyz dz(第九章解：" = ln(x+y) +oxx d2z 1x + y，dx1(x+yY (x+yY& x d2zdy x+ y * dy2U+y)2dxdy x + y (x+y)2 (x+y)2第十章證：&#

21、163; = edx1 &廣道=x1' dy1夕改 2 及 cr,一+ y = 2e y2 dx，dy (B)= 2z.An6解:6前 xz - yz +z = zexyz +1),C h _ = ex :xyz, + 1) + zexy: 孫(a>z + 1) + z.exy： x)> = exy:(x2y2z2 + 3xyz +1), dxdydz44 = e'vJ /z?,xz y2Z2 + exyz - 2yz2 = yz2exy'(xyz + 2),dv"oxdy dy oxC ll Q OU、 ryr /.、 ry*'

22、rV£ /C r = 一() = ze'Jxz(xyz + l) + z0 、xz = xz-e' '(個2 + 2). dxdy dy dxdy671v.2.解：二=一 r /(個)+ / (個)+ y(p(X+y)，oxx-xo z1 1y.= - - f (冷')x + / (刊)+ / (w)x +9(x+y) + )'。(x + y) cxoy廠xx=yf (xy) +(p(x + y) + y(p x + y).3,解:設=xg(y),y = y,則，代入即得,于是更二，.之二一至”.&， g(u) dudv g"

23、)r習題9.3(A)1. (1)-0.20404,-0.2； (2).dz dz - y - 11-2. (1): dz = dx + -dy = ex -)dx + ex dy = - - ex(yclx-xdy). dx dy尸x， 廠(2) dz, = dx+ dy = y-1)(/ + v2)-3,2 2xdxH5Y'- +)dydx dy2'x* + y-xy . x2 .x / 1：、=_ /， dx +77k dy = -ft (ydx - xdy).(廠+廠產(廠+ y-產(廠+尸產解：=.(%-y)-(x+y) dx+ . (x_y) + (x+y)小，1 I

24、 (X+，)2*一»1 I ('+')2"一»x-yx-y-yx f -ydx+xdy=、皿 +-7 dy = -.1一 +)廣+ y-x+ y-fdu f dufdu ,zy1、，z 1z、fz 1x xf(4)解：小，=dx + -dy + 丁火=(一r -)t/x + (- -)dy + (- + )dz . ex yoz廠zx)廠yV1 x L-i 11 r L-i x3.解：z) = 一(一)、一f、.(K y,Z)()(r)， Z y yz y 廠df(AS) = fxAA)dxfxSA)dy + fzAA)dz = dx-dy.(B)

25、-arctan- -. -arctan-1.解："z = e Xd(x +廠)+ (廠 + 尸)4(cx)-arctanl- -arctan-1y=e x (2xdx+2ydy) + (廠 + y")e x - (- - dx + dy)l +(z)2 廠 XX-arc Uni-arctan-=ex (Ixdx + 2ydy+ ydx- xdy) =e X(2x + y)dx + (2y- x)dy.由全微分與偏導數(shù)的關系可知，其中八的系數(shù)就是當，即， ox再對y求偏導數(shù)，得02Z-arcun 二-arctan- 1 n 1y2 - XV -arc% 弋= e r +(2x

26、 + y)e v-b- = -，、 61oxdy1 + (上尸 工 廠+廠x2 .解:當i +)，2 wo時，%=Jk +)廠 _ y瓦A-2 + J2向2 + .)3，3 + v f 一 ，%=J)廣 _3內 / + V7(x2 + y2)3 'Ax-0當/ + y2 =0 時,討 v /(o+8,o)-/(o,o)r 7(W+O2=lun= lim dx e xt° AvAxy=0ofdy a=oy=0=limXtO,0 Av -0/(O,O + Ay)-/(O,O) _ J。? +() _n uinu.Ay'I。 Ay所以dxJ(i + y2)3 0,x1 +y

27、2 =0dy0,+r)3因為當點(k)，)沿直線)，=kx趨于(0.0)時,11m里x.yKO.O) &lim(A.y)->(0.0)k3xk3yj(x2+k2x2)3 J(l + G)3，顯然它是隨著k的值不同而改變的,所以極限不存在;同理可得極限不存在,故在點(0,0)處不連續(xù).又 A = /(O + MO + Ay) - /(0,0)=Ax-Ay7(W+(Ay)2,z、(0,(W+z©(W = 0,lim 鋁業(yè)"lim&&x)2 +(»Sx Ay(Ar)2 + (Ay)2 ?上述極限不存在,故/(x, y)在點(0,0)處不可微

28、.習題9.4(A)4. (1) 6即'-"(cosf 6r)：(2), x3 cosy (cos2 y-2sin2 y).5.解:令 / = x-y,則 =tz.du du dt du & z_i .c /J ->) c /、】ox dt dx dz, dx = + - - = zr 1 + r Inf 2x = (x-y)+)+2x(x-y)ln(x-y)du du dt du dz,/、，/、2 ，工加二瓦 + 瓦(f+L"2y-)2y(x-)-f 3,解:令 =x2 - v = xy ,則 2 = /(,).記點=玄=力,會=公du ov cir

29、方,dudv=九,dvdu&，du £, d> c f, £, dz ，du q dv 。， r/ = 2公2叱2»"，) +)， + 左丁)=2/+4x7n+ 2xy + 2xyf + y2f：2*+九 w+y+仆),=-2/+4/H - 2xyfl -2xyf：x + x d2u dx d2u dy >/3 z d2u dx o2u-(+-) + (+ - f；2.(B)1. (1) ； (2) 4dx-2dy.2解：由一階全微分形式不變性,得dfdf . df dfdg = =d-(r ») = = (ydx + xd

30、y) + 二(xdx - ydy)du/ 2on ov= (,更+ X笠9+ du Gv于是空=>ox笠+ x公空7笠包,故du dv dy du 3，右一瓦（茄）+"豆（茄）十茄一）G喬+入嬴）+M）踞+x#）+荻2d dx os dxdy os 2 dyox ds dyf c d2f2d2f dfy + 2. VF X H ,'dir' dudv dv dv,e四v(包一包)一名dy dy du dy 加 執(zhí) du 6udv ' dvdu dv 加2d2f c d2f.d2f df=廠一r-2xy + y , dir dudv dv dv所以我+獨d

31、x2 dy1（yF2）* + （八廣）第=廠+廠.6.證：因為絲=osdu dx du dy1 du y3 du* _Ldv dsdy ds 2 dx2 dy 'on _ du dx du dy _ V3 du 1 du ot dx dtdy dt2 dx 2 dy所以 . 因為()所以1 A d2u y/3 d2u、51 d2u V3 d2ux=(r +) +(+r)2 2 dx 2 dxdy 2 2 dydx 2 dy-1 d2u=-+4 &2017 , 2 dxdy 4 dy1y/3 d2u dx d1u dy 1 d2u dx d1u cy2 dx2 dt dxdy d

32、t 2 dydx dt dy1 dtV3Z y3d2u 1 d( x I,22 次 2 dxdy 23d2u V3 1 孔O211 d1 u d2u d1 u +=+ dx2 dy1 ds2 dr習題9.5(A)V5 d2u 1 d2u+2 dydx 2 dy1.（1）；、,二E二 2xyz,-xyxyz,一xy2.解：設廠(x，F(xiàn)Z) = x2 + y2 + z2-4zJUJG=2x，K.=2F£=2z 4.& _ 冗 _ 2x _ x a _ G _ 2y _ y dF2z42Z，F(xiàn)2z2z，o (譏、6為 8 0、 a x -'7(-率)(2-z)2+x2dx2

33、 dx dx dx 2-z(2-z):(2-z)3d2Zdxdy(女、x( )6 01 ( c、 6y=()=()=：=& 62 - z(2-以(2 z)3c 岡亶+ e“sinu =dx dy& dz dx dz dy . 、&“ dz=1- = e (sm v) + e cosv = u ,dv dx dv dy 3oxdy解得 J = (vcos v - sin u)/", = (vsin v + m cos u)/”.dxdy4.證:設廠(x,y,z)=,則7 777冗=2x, Fv = 2y /(一) + /'(一),工=2z -/'

34、(一). y yyya 0, c 尸2y /(三)+三八三)生=一區(qū)= 2x ，絲=一 2 = y )，)'dx 工 廣(工)_2z/ 工 ff(-)-2z yy(x2-)，2 - Z2)2x + 2 盯2y -/(-) + - f-),_ y 2 _ F )包+ 2個包二：一dx /r (與-2zy2x(x2 + y2-z2)-2x(x2 + y2 + z2) + 2xzf-) -4xr + 2xzff(-)=- = 2xz.八三)-2zr(Z)-2zyy(B)1. (DO； (2).du df df dy df dz,、dx dx dy dx m dx由xy = 2兩邊對x求導，得

35、，'()1 + 耳)(, + 6)=0,. dx dx由又兩邊對x求導，得x sin(x-z) dze (1-)，x-z dx將其代入(*)式，得也=也_2幺+-匕二與名. dx dx x dy sin(x-z) &3,解:在 x/ - ye' = ze：兩邊微分,得 exdx + xexdx- ely - yexdy = ezdz + zezdz.,故dz =(1 + x)eKdx-( + y)eydy(l + z)e：d" = f,dx + f；dy + f!dz = (f； + f! - e )dx + (/；-/；J- e)")'Z

36、+1Z +1習題9. 6(A)1 . (1)； 7+ 2,+ 2/ 2,，5 + 4產.2 .解：曲線在對應于，=1的點為,該點處的切向量一 1 1 1T = (N,/(IX z')=(-一=2) z= (：,1,2), (1 + 0"廣 4于是曲線在該點處的切線方程為，即.所求法平面方程為，(x_l)_(y_2) + 2(z_l) = 0,即 2x_8y + 16z_l = 0. 423 .解:，曲面在點(1,1,3)處的一個法向量為“=(4,2,1),于是曲面在該點處的切平面方程為 4(xl) + 2()， l) (z 3) = 0,即 4x + 2y-z-3 = 0.所

37、求法線方程為.(B)1 .解：X = 1, y； = 2Z, z； =3/，設所求點對應的參數(shù)為%,則曲線在該點處的一個切向量為 亍= (120,3記).已知平而的法向量為方= (121),由切線與平而平行,得“萬=0,即 1+4/0 += 0,解得辦=-1和一；，于是所求點為(1,1,1)或.2 .解:設設(x,y,z) = x2 +2y2 + z2 -1,則曲面在點(x,y,z)處的一個法向量為n = (F、,F"：) = (2x,4y ,2z).已知平面的一個法向量為由已知平面與所求平面平行,得，即.代入橢球而方程，得.解得，則后尸需.所以切點為(士后'甘后'&

38、#177;2粽).所求切平而方程為(X± I-)-(y + - -) + 2(2±2 <-) = 0,V112 VilVII3,解:所求曲線的切線，也就是曲面/ + ：/ + 22-3工=0在點(1,1,1)處的切平而與平而2x-3y + 5z = 4的交線,利用曲面的切平而方程得所求切線為-(x-l) + 2(y-l) + 2(z-l) = 0,叩2x-3y+ 5z = 4.這切線的方向向量為(16,9,7),于是所求法平面方程為16(A-l) + 9(y-l)-(z-l) = 0,RP16x + 9y-z-24 = 0.習題9. 7(A)4. (1)；(3,2,6

39、),(6,3,0).5.解:先求切線斜率:在丁 = 4x兩邊分別對x求導,得,于是,切線方向7 =(i,i)忑=(與,半).乂g E =2孫2 I =8,導 x=i =(2合-4) E =0, OX y=!y=2 Oy y=2y=2故三|(。=8二+ 0史=4、歷dll(u> 223.解：(1)，(x,y, z) = sin yz, /v(x, y, z) = xzcos yz, /式x, y, z) = pcos ” , 則 gradf (x, y, z) = sin yzi + xz cos yzj + xy cos yzk .(2)人(1,3,0) = 0, 0(1,3,0) =

40、0,力(1,3,0) = 3,7。=(7 + 2了-E),Y6尸。$+。9+3(-2)= 一堂(B)1,解：/； (x, y) = ='、= cosp, /； (x, y) = i /、= sin 夕,？ = cos/ + sin 0, yjx2 + y2yl+y1or貝 i - = coscos + sinsin 6 = cos 6).de2.解:設 F(x, y, z) = x2 + y2+z2-,則 Fx= 2x, Fy= 2y, £ = 2z ,于是球而在點(x°，),°，z。)處的外法線方向向量可取為/ = (Fx,Fy, E )(XoM) =

41、(2%0,20,2),G； + ；+W，c°s Jx；+； + 7的方向余弦為cosa =,一,cgs。=，匯+焉+蒼又，故=1, X。+ ,%+ . Zo = ) + )b + Zo/ (勾)bS)I32I57廠52 亍/52OlJx+ % + z6 因 + %+笈 J+% + zG + % +/3,解：令 = x-f, y = ”，則導"噂=2卜"。=則乳產專1+2$(1+孫習題9.8(A)4. (I)2(ln2 - l), - 2(ln2 + l)： (2) (1,3),4，小.5,解：/ -6邛+ 10y2 - 2yz - Z? +18 = 0兩邊同時對x

42、求導，得2x-6y-2yzx-2zzx =0,.x2 - 6邛+ 10y2 - 2yz-z2 + 18=0兩邊同時對y求導，得一6x + 20y 2z-2yzy 2、. =0,.令Z” = 0, Zy =0,得駐點(9,3),(-9-3)._ (y+ z)-(x-3y)z)._ -3(y + z)-(x - 3y)(l + zv)ZL 一際?一，飛=再了 "，(10-z、.)(y + z)_(_3x + 10y_z)(l + zv)2vy =s,"(y + z在點(9,3)處，A = ', 8 = 1, C = = , 4C 8?=-> 0,.z(9,3) =

43、 3 為極小值；62336在點(9,3)處，A = -, 8 = 一,C =二，AC 8- = > 0,. z(9,3) = -3 為 62336極大值：6,解:設橢球而方程為，(x, 乂z)是它的內接長方體在第一卦限內的一個頂點,則此長方體的長,寬,高分別為2x,2y,2z，體積為V = 8町z.作拉格朗日函數(shù)L = 8xyz + /L(5 +二+二一 1), cr b- L令，代入，得”=七十強"上即當長方體的長,寬,高分別為時體積最大.7.解：令,解得唯一駐點(0,0), /(0。) = 0.要求f(x9 y)在所給區(qū)域邊界上的極值，即求/(x, y)在條件(x - y)

44、2 + 3)3 = 1之下的極 值.令 L = 6jcy + 4(x_y)2 + 3y2 -1,= x = ±2y,代入(x-yf +3y? = 1,Lx = 6y + 2A(x-y) = 0,L、= 6x - 2A(x - y) + 6 Ay = 0,得(a)=吟,+一由,(* 七),/心告="臉,一壺) = “($) =所以f(x, y)在所給區(qū)域上的最大值為3,最小值為-1.(B)1 .小;(2)W.2 .解：(1)先求/(x,y).由 dz = 2xdx- 2ydy = dx1 -dy1 = d(x2 - y2) => z = x2 - y2 +c ：由 f(

45、lj) = 2 = c = 2=-2/ + 2.(2)求/(x,y)在。內駐點與相應函數(shù)值.令解得唯一駐點(0,0),且/(0,0) = 2 .(3)求f(x,y)在O的邊界V =4(l-x2)上的最大值和最小值.將產=4(1-x2)(|a-| < 1)代入 z = i 產 + 2,得 乙(幻=/一4(1一/) + 2 = 5/-2,令/(外=1。%=。，得*=0.z(0) = -2, z(±l) = 3, z(x)在-U上的最大值為3,最小值為一2.(4)比較函數(shù)值.z = /(X,y)在 D 上的最大值為 max23-2 = 3,最小值為 nin 2,3-2 = -2 .2

46、.自測題一、1. x2 +2x, yy +x- ： 2. (x,yjx<2,x+y vO： 3. 0 ； 4.二、.解:包=包.包+空包=生1 +絲1 = 2加，du ox du dy du dx dy包=包圖+空2=竺1 +包.(7) = 2、,dv dx 切 dy dv dx dy2 .解：,=3/(工； / + 九 - 2yz)z + /) = 3x2/ + 3/加 + 6/"加.3.解：令解得駐點(0,0), 2(0,0) = l<x2 + y2+l = z(x9 y),所以Z(0,0) = 1是z(x, y)的極小值.作拉格朗日函數(shù)L = x2 + y2 + i

47、 + “x+y 3),33 311令 =>x = y,代入x + y 3 = 0,得x = y =7，z(-,-) = ,x+y-3-<)z(x9 y) = x2 +y2 +1 > (%2 +2xy + y2) + = (x + y)2 +1 =故為條件極值.(3) Z(x, y) = x2 + r +1是開口向上的拋物面,其頂點(0,0,1)此處Z坐標最小.z(x, y) = / + ),2 +1與x+ 3 = 0的交線是平面x + y 3 = 0上的拋物線，其最低點 處Z值U是條件極值.4 .解:設切點坐標為(不，丫。,),則切平而方程為工0工+%丁 + &* =

48、 3,即 *13 3 3 91切平面與三個坐標而所圍成的四面體體積為V = - - = - 6 % % z° 2 與此?。要使V最小，即小)亦。最大，問題轉化為求/(x,y,z) = Ayz當/ + / + /=3時的最 大值，用拉格朗日乘數(shù)法。令 L(x, y, z) = xyz + 2(x2 + j2+z2-3),解得x = y = z = l,故切點坐標為(LLD,.5 .解：limrI=O,- <1, /. lim f (x, y) = lim, = 0 = /(0,0),.10|x- +|U.yTO.O.:u；廠 + )廣則/(x,y)在(0,0)連續(xù).當4"

49、;。時，患哈寺沖2xy432 八 2，+)，)df _ 2/)，(/ + y2) x、2 2y _ 2/y 品(x2 + y2)2(x2 + y2)2當父+產=0時,dx/(0 + 0)-/(0.0) ai)Ar3)2 ,。0i 3)2 + 02n=lim= 0,A7 ZkV2xy1(y)=<(/ +)3廣lim 2x = 0, .10/(0,0 + Ay) (0,0)x2 + y2 H 0,0, x2 + y2 = 0.Ay=limAt-M)Q2-(Ay)2 Q °、(N')2 =o2x4y人(X，、) =，+V)2'0,x2 + y2 H 0,x2 + y2

50、 =0.T <h /.lim/r(Ay) = lim (r+ y) -.u.lO)一0(W=0=A(0,0),則人(x,y)在(OQ)連續(xù).同樣可得人(%)，)在(0,0)連續(xù).故/«)，)在(0,0)可微.(3)切平面方程為0(x - 0) + 0(y 0) (z 0) = 0,即Z=0.法線方程為即三、證：令 S =-)'，7； = 2xy.包二包.笠+至”二包絲 dx / dx d/ dx dCdzdz M dz o/jbz&=1 (-2 y) H 2xdy留 dy 8 dydt券（羲著嬴等計款2+（旗條舒第y=4/八 6，- dz - / c2z - d

51、2z 八6 2x +- 2 y)2x + 2 + ( 2x + r - 2 v)2 v60 6 第 drjdC dtf '')d2z d2z dz+ 4)3 + 8xy+ 2, dif e絢m生=(穿冬+匹”)9) +曳(一2) +(三.，罵.嗎2%dy- df 6 33n 6d?04 6 brj- dyd2zd2zdzd2zd2z=1聲.(2y) + - 2x (2y)-77-2 + 1r-(-2y) + 齊-2x2xOq007OgO1CQOl習題10.1(A)1. (1)>； 36凡1004.2. (1)C： (2)A.(B)Msccdtan。3/(pcospsin

52、0)pclpclO ： (2) cr.4. (1)A； (2)D.習題10.2(A)4./'(乂)，)辦、+2八二" f(x,y)dy：5.解:原式L外=j .( 1 , )cAv =、+arctan2 卜.（2）解:原式=£ 我廣：' （x -1）ydx = £ y （"）；（一田 dy =上解:原式=JJpcosGpd閔e = «d可、P cosdtip = p-cos4 OclO =-d43 332 4£2N54(4)解：原式=0儲.M1Pde =pdp = p4(1-cos4 eyio =D02c034(B)2

53、.3.B.3. (1)解:在。中,)1一(廠+廠)，廠 +)廠41,jr + 尸 _ 1 =<l(x2 + y2)-l, a2 +y2 > 1.用圓弧/+產=1（工20,）亞0）將。分成兩部分，D = DD”DIIII)=h y* + y2 «1, (x, y) £ £>1 4 MX, y尸 + y2 > 1, (x, y) e d |x2 + y2 -l“b = JJl-(x2 +y2)t/cr+jj(x2 +y2 -)dcr/人=JJl-(/ + y2)k/b + JJ(x2 + y2 -)dc(x2 + y2 -l)"b=2

54、 JJ 1 -，+ V)+ JJ(x2 + r-l)Jcr DjD=2P 可(1 - " ep+f 可(x2 + r-!Wv=J-1.解：0/(x, y)da = 4“ /(x, y)db,其中R為D在第一象限的部分.I)D,JJ /(X，y)"b = Jj /(x, y)"b + JJ/(x, y)db , % % %其中 £>“=(%)，l()«*Wl,O«y<l x,D12 = (X, y)|0 < x < 1,1 x < y < 2xkj(x, y)|l < x < 2,0 < y < 2j7 (x, ydxdy = f dxf' x-dy = ',I*/1JJ/(x, y)dxdy = 一 、dxdy = j； dO 疝”。3_. pdp = y/2 In(41 +1),I2D2 4X + ysintf+cos P則 JJ /(x，y)"b = 1 + 4& ln(V2 +1). D3習題10.3(A)1. /(0,0,0)； (2)0可一高/ (x,y,z)"z,f (x,y,z)clx.