重要但常不為人知道的幾何定理

1、阿基米德折弦定理：AB和BC是O。的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB ,M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。角平分線定理 定理1 :角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。該命題逆定理成立：在角的部到一個(gè) 角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。定理2 :三角形一個(gè)角的平分線分其對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。該命題逆定理 成立：如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)分這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例，那么 該點(diǎn)與對角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條

2、角平分線。xv=uy燕尾定理因此圖類似燕尾而得名，是五大模型之一，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖ABC，D、E、F為BC、CA、AB上點(diǎn)，滿足 AD、BE、CF交于同一點(diǎn)0）。S八ABC 中，SSOB： SmOC=S ABDO： SZCDO=BD ： CD ；同理，SAOC： SA30C=SAAFO： SaBFO=AF ： BF;SABOC： SABOA=S ACEO： SAEO=EC ： AE。推論：共邊比例定理：四邊形ABCD （不一定是凸四邊形），設(shè)AC,BD相交于E,則有BE ：DE=S AABC ： 5八ADC。此定理是面積法最重要的定理.典型例題： 如圖三角形ABC的面積是10平方厘

3、米，AE=ED，BD=2DC，則陰影部分的面積是答案:4解析：過D作DM |BF交AC于M （如圖）因?yàn)锽D=2DC，因?yàn)锳E=DE，所以 ABE的 面積與ADBE的面積相等，所以陰影部分的面積為 DBE的面積+ AAEF的面積，即三角形AFB 的面積，由 DM |BF 知道 ADMC 相似 CBF 所以 CM : CF=CD ： CB=1 ： 3，即 FM=CF,因?yàn)镋F是ADM的中位線，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面積，即陰 影部分的面積.BDC解：過D作DM|BF交AC于M （如圖）因?yàn)锽D=2DC , 因?yàn)锳E=DE，所以 ABE的面積與A DBE的面積相等

4、所以陰影部分的面積DBE的面積+ AAEF的面積DM|BF 所以 DMC 相似 CBF 所以 CM： CF=CD ： CB=1 ： 3 即 FM=CF 因?yàn)镋F是ADM的中位線，AF=MF , 所以AF=AC 所以4ABF的面積10X=4 （平方厘米）即陰影部分的面積（即 DBE的面積加A AEF的面積）等于4平方厘米 答：陰影部分的面積是4平方厘米，故答案為：4 .共角定理：若兩三角形有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ)，則它們的面積比等于對應(yīng)兩邊乘積的比。分角定理：在4ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點(diǎn)，連結(jié) AD，則有BD/CD= (sin / BAD/sin / CAD) * (AB

5、/AC)。角定理：在A ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sin / BAD/AC+sin / CAD/AB=sin / BAC/AD。逆定理：如果 sin /BAD/AC+sin ZCAD/AB=sin ZBAC/AD，刃B么 B,D,C 三點(diǎn)共線。角定理定理的推論：在定理的條件下，且/ BAD= /CAD，即AD平分/ BAC，貝U B D C共線的充要條件是：2cos ZBAD/AD=1/AB+1/AC中線定理(pappus定理)，又稱阿波羅尼斯定理， 是歐氏幾何的定理，表述三角 形三邊和中線長度關(guān)系。定理容：三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方的和的2

6、倍。即，對任意三角形 ABC，設(shè)I是線段BC的中點(diǎn)，AI為高線，則有如下關(guān)系：AB2+AC2=2BI2+2AI 2或作 AB2+AC 2=BC2/2+2AI 2重心、定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的2/3。(三角形的重心是各中線的交點(diǎn)，)共邊定理設(shè)直線AB與PQ交于M，則S apab/S z.qab=PM/QM (有一條公共邊的三角形叫做共邊三角 形)共邊定理：設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)M，貝U S APAB/S AQAB=PM/QM證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證證法 2 ： S APAB=(S APAM-S APMB)=(S APAM/S APMB+1

7、)X S APMB=(AM/BM+1)XSAPMB(等高底共線，面積比=底長比)同理，S AQAB=(AM/BM+t) S AQMB所以，SAPAB/S AQAB=S APMB/S AQMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比)定理得證！特殊情況：當(dāng)PB/ AQ時(shí)，易知APAB與AQAB的高相等，從而SAPAB=S AQAB , 反之 , SAPAB= AQAB，貝 U PB / AQp射景鄉(xiāng)定理，又稱歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的 比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要 定理。概述圖中，在Rt A AB

8、C中，/ABC=90 ° BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下:BD2=AD -DCAB2=AC ADBC2=CD AC由古希臘著名數(shù)學(xué)家、幾何原本作者歐幾里得提出。射影定理的推廣證明歐幾里得提出的面積射影定理規(guī)定平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。（即COSO =S射影/S原）。”cos 6 二altitudeuon ngrial設(shè)二面角M - AB - N的度數(shù)為a,在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為3,和平面N所 成的角為Y,貝U sin Y=sin a sin 3 （如圖）若已知二面角其中一個(gè)半平面某直線與二面角的棱所成的角

9、，以及該直線與另一半平面所成的角，則 可以求該二面角的正弦值。折疊角公式（又名：三余弦定理）：設(shè)A為面上一點(diǎn)，過A的斜線AO在面上的射影為AB , AC為面上的一條直線，那么/ OAC, Z BAG, Z OAB三角的余弦關(guān)系為：cos Z OAC=cos Z BACX cos Z OAB （ Z BAG 和 Z OAB 只能是銳角）通俗點(diǎn)說就是，平面a的一條斜線I與a所成角為O 1, a的直線m與I在a上的射影I夾角為02 I與m所成角為O,貝y cos O =cos O 1*cos O又-叫最小角定理 或爪子定理，可以用于求平面 斜線與平面直線成的最小角.蝴蝶定理(Butterfly Th

10、eorem):設(shè)M為圓弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y,貝yM是XY的中點(diǎn)。坎迪定理”，不為中點(diǎn)去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為時(shí)滿足：1/MY1/MX=1/MQ-1/MP,這對2, 3均成立。該定理實(shí)際上是射影幾何中一個(gè)定理的特殊情況，有多種推廣：M,作為圓弦是不必要的，可以移到圓外。1 )在橢圓中幗!如圖一，橢圓的長釉A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上,中心為 M(o, r) (b>r>0 )。(I)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率(II )直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)C (x1,y1 ) ,D(x2 ,

11、 y2) (y2>0 );直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn) G (x3 , y3), H ( x4, y4)( y4>0 )。求證：k1 x1 x2/(x1 +x2)=k2x3x4/(x3+x4)(III )對于(H)中的C, D, G, H，設(shè)CH交X軸于點(diǎn)P, GD交X觸于點(diǎn)Q。求證：I OP I = I OQ I。(證明過程不考慮CH或GD垂直于X軸的情形)從x向AM和DM作垂線，設(shè)垂足分別為X和X”。類似地，從丫向BM和CM作垂線，設(shè)垂足分別為丫和Y'設(shè)：k1 x1 x2/(x1 +x2)=k2x3x4/(x3+證明過程圖片UV WYY9 <VJW.USF:；常器.

12、 h底匕舄町-iXDJTjtw .VW1fArjrp聲尸 (inp j? mwF 址騎前 IfX 川” PRV 噓 b Ifr Hx4)為式，兩邊同取倒數(shù)，得為1/k1x2+1/k1x 仁 1/k2x4+1/k2x3'設(shè)：x1 x4/(k1 x1 -k2x4)=-x2x3/(k1 x2-k2x3)為 式，兩邊同取倒數(shù)，得 k1/x4- k2/x 仁 k2/x2-k1/x3 ，移項(xiàng)得 k2/x1 +k2/x2=k1 /x3+k1 /x4將兩邊同乘以k1 k2，即得k2/x1 +k2/x2=k1 /x3+k1 /x4它與完全一樣。這里利用兩式同時(shí)變形的方法可以較容易實(shí)現(xiàn)目的，有分析、有綜合

13、，有思維，有 運(yùn)算。思路的選擇有賴于對式子特征的觀察聯(lián)想?？v觀這道題的題目特征及解答過程，我們看到了用代數(shù)方程方法處理幾何問題的作用與威力。2)在圓錐曲線中通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線(包括橢圓，雙曲線，拋物 線，甚至退化到兩條相交直線的情況)。圓錐曲線C上弦PQ的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M任作兩弦AB, CD,弦AD與BC分別交PQ于X, 丫,則M為XY之中點(diǎn)。而通過投影變換可以非常容易證明這個(gè)定理。射影幾何里面關(guān)于投影變換有一個(gè)重要結(jié)論，對于平面上任意兩個(gè)圓錐曲線C1 ,C2.任意指定C1部一個(gè)點(diǎn)A1和C1上面一個(gè)點(diǎn)B1，另外任意指定C2部一個(gè)點(diǎn)A2和C2上面一

14、個(gè)點(diǎn)B2,存在一個(gè)唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.由此對于本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個(gè)圓M，而將弦PQ的中點(diǎn)M變換成這個(gè)圓的圓心。在此變換以后，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M接矩形，PQ也是一條直 徑，有對稱性顯然得出投影變換后M為X,Y的中點(diǎn)。又因?yàn)樽儞Q前后M都是線段PQ的中點(diǎn)，我們可以得出在直線PQ上這個(gè)變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中占。 / I、3）在平行四邊形中在平行四邊形中，M為對角線AB與CD點(diǎn)。4）坎迪定理去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于向量的比例式，成為坎迪定理，這對2，3均成立。（切割線定理圓

15、幕定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理 推論）的統(tǒng)一,例如如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線與圓0相交于A、B與C、D，則PA-PB=PC- PD。圓恭定理的所為情況圖I :相交弦定理。如圖，AB、CD為圓0的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P,連接AD、BC,由/ B= / D，同理/ A= / C,于/B與/ D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知： 所以八尸4DAFCB。FXxPB = PCx ?。圖n：割線定理。如圖，連接AD、BC。可知/ B= ZD，又因?yàn)? P為公共角,所以有4PAD*，同上證得PAxPB = PCx 尸。圖川：切割線定理。如圖，連接 AC、AD。/P

16、AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此 有ZPBC=ZD，又因?yàn)? P為公共角，所以有r.C,易證 7八心;圖W: PA、PC均為切線，貝1J Z PAO= ZPCO=直角，在直角三角形中： OC=OA=R , PO為公因此APAOAAPCO所以pa=pc，所以PA2 -尸O綜上可知，X#士學(xué)二盧* X是普遍成立的。塞瓦定理指在4ABC任取一點(diǎn)0,延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，貝V(BD/DC) X(CE/EA) X(AF/FB)=1。即是 BD*CE*AF=DC*EA*FB梅涅勞斯定理：AFBD CE.a X 1當(dāng)直線交A ABC三邊所在直線BCr AC, AB于點(diǎn)D E時(shí)，

17、FB DC EA 一推論在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是入=8!_也、p =CM/MA、v =AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是人yv二1。(注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是 入yv )=1切線長定理: 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，連心線平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長AB=AC , OA平分/ BAC。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件，就可以推出其他三條結(jié)論。稱為知二推三：平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣?。ㄇ皟蓷l合起來就是：平分弦所

18、對的兩條?。黄椒窒遥ú皇侵睆剑?；垂直于弦；經(jīng)過圓心。托勒密定理：圓接四邊形中，兩條對角線的乘積（兩對角線所包矩形的面積）等于兩組對邊乘積之和（一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和）已知：圓接四邊形 ABCD ，求證：AC BD=AB CD+AD -BC -證明：如圖1，過C作CP交BD于P,使/仁Z2，又/3=Z4, .,./ACOs/BCP .得AC ：BC=AD : BP , AC - BP=AD BC 。又/ ACB= ZDCP ,/5= /6, aaCB aZDCP .得 AC ：CD=AB : DP , AC-DP=AB- CD 。 + 得 AC（BP+DP）=AB CD+AD BC .即AC-BD=AB- CD+AD BC .廣義托勒密定理：設(shè)四邊形 ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n,則有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos （A+C）1 .任意凸四邊形ABCD，必有AC- BDC AB- CD+AD BQ當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2 .托勒密定理