運籌學課后習題二

1、習題二2.1 某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位, C不少于180單位.此人準備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分.已知六種食物每百克的營養(yǎng)成分含量及食物價格如表2-22所示.（1）試建立此人在滿足健康需要的基礎上花費最少的數(shù)學模型；（2）假定有一個廠商計劃生產一中藥丸，售給此人服用，藥丸中包含有A, B, C三種營養(yǎng)成分.試為廠商制定一個藥丸的合理價格，既使此人愿意購買，又使廠 商能獲得最大利益，建立數(shù)學模型.表 2-22含量食物營養(yǎng)成分一二二四五六需要量gt;80B24930251215>150C18721341

2、00>180食物單價（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）設Xj為每天第j種食物的用量，數(shù)學模型為min Z = 0 5再 + 0 4勺 + 0 8弓 +。9心 + 0 3/ + 0 2為13 +25與 +14 心 + 4Q勒 + 8j +1% 之 8024/ + 9心 + 30% + 25a4 +12七+ 15蜂3 1501際+7+ 21碼+ 34工邛+10工5 > 180工. 工,、后.工飛.Xj之0(2)設yi為第i種單位營養(yǎng)的價格，則數(shù)學模型為max w = 80必 +150乃 +180乃131yl +24乃 +18處三 0.525yl +9為 +

3、7乃 < 0,414必 +30為 + 21 乃 <0.8；40再 + 25匕+ 34為 <0.98必 + 122 +10乃 <0.3llyL + 15y2+NO 2必，乃3口2. 2寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題(1)min = 3占+5 / +x3 一亞+ 3為+ 6峋38，2#+占一個24?孫馬之0【解】max w =織 +4必馬+ 2乃& 33凹+凡W56尸】一為§開辦之0(2)max Z =+3號為 +2/ = 9一看一3勺+弓410 滴無約克，町號之0【解】minw = 9乃 +10乃7i - Xi = 242為-3當之-1當之3當無約束f g之

4、0(3)max Z = 4 + 24 +40 一3心F10為 + z2 - x3 - 4 玉=87Al + 6心-2G - 5x4 > 10 <4 a - 8xa +6藥 + x4 < 6XpXj > 0, x3 < 0,5無約束【解】min w = 3必 +10必 + 6紇 10J工+ 7乃+4乃>1 乃+ 6此一覬之2"外2I 十 6*4 -4當-5乃+居=-3 八無約束匕二0,為之0(4)max Z - -2x. +3及 + 6a - 7匕 I 13 T3Al - 2f +x3 - 6/=96k1+5藥一玉之6(5) & + 2K.一

5、弓 + 2犬* M '25< <10人之0,54無約束【解】maxZ = -2為 +3 町 +60一 7號3公-2町+后- 6/ = 96/+5應一/36一瓦 4 2 馬x3 + 2 x4 M -2X135<10W之0,孫,0工4無約束min w - 9yl +6y2 - 2>s+5y4 +10乃3yl + 6y廣乃+川+乃之-2-2乃+ 2乃=3當+ 5%_%=6-6泗一乃+ 2%二-7對偶問題為:J1無約束；內40,Q0, 乂 40,丹之02. 3考慮線性規(guī)劃nun Z =12近 +204彳+4與之4Xj + 5 町 > 22. +3. > 7X

6、，為之o(i)說明原問題與對偶問題都有最優(yōu)解；(2)通過解對偶問題由最優(yōu)表中觀察出原問題的最優(yōu)解;利用公式CbB”求原問題的最優(yōu)解；(4)利用互補松弛條件求原問題的最優(yōu)解.【解】(1)原問題的對偶問題為max vp = 4 yl 4- 2y2 + 7%+為+ 2乃W12，4凹+ 5乃+3%£2。jjN0,J = L2.3(3) Cb=(7,4),45351=,5254X = (7,4) 53L 51=525= (16/5,1/5)容易看出原問題和對偶問題都有可行解，如 X = (2, 1)、丫 = (1, 0, 1),由定理2.4知都有 最優(yōu)解。(2)對偶問題最優(yōu)單純形表為C(j)4

7、2700R. H. S.Basisr c(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/5 14/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4對偶問題的最優(yōu)解 Y = (4/5,0,28/5),由定理2.6,原問題的最優(yōu)解為X=(16/5 , 1/5), Z= 42.4(4)由yi、y3不等于零知原問題第一、三個約束是緊的，解等式再 +4/ =42司 + 3x2=7得到原問題的最優(yōu)解為X=(16/5 , 1/5)。2. 4證明下列線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解min Z = xL - 2x2 - 2x32金 +馬-= 3< li -

8、 2. + 3x3 > 2，旃NO,為無約束證明：首先看到該問題存在可行解，向如x=(2,1,1),而上述問題的對偶問題為max和=3凹+2乃2凹+為工1-2乃2271+3乃=-28之0，乃無約束由約束條件知 y1<0,由約束條件當y2>0知y1>1,對偶問題無可行解，因此原問題 也無最優(yōu)解(無界解)。2. 5已知線性規(guī)劃masZ = 15而+ 20 今 + 5號占+5勺+弓<55演+ 6馬+為工 63.+10西 + 藥 <7520,與之0,再無約束x=d0 身的最優(yōu)解 44,求對偶問題的最優(yōu)解.【解】其對偶問題是：min m? = 5yl 4- 6 乃 +

9、 7處71+5+3,73 >1551yl+ 6為 +10乃 > 20 <為+乃+其=5A,乃，乃之0X H 0由原問題的最優(yōu)解知，原問題約束的松弛變量不等于零(h ),XI、X3不等于零,r /0則對偶問題的約束、約束為等式，又由于句知y3=0；解方程1及+5坊=15V1 +為二 5得到對偶問題的最優(yōu)解 Y=(5/2,5/2,0) ; w= 55/2 = 27.52. 6用對偶單純形法求解下列線性規(guī)劃(1) min 7 = 3 + 4 萬 + 5 為L+2心+ 3與之8，2xj * 2xa + x3 10&%一之口【解】將模型化為min Z = 3 再 +4/ +5x

10、3一金-2/ -+ “二 一8一2%-2與-電+馬=-104之 0,/= 1,2，,4,5對偶單純形表：Cj34500CbXbXiX2X3X4X5b0X412310一 80X5 2-2-10110C(j)-Z(j)3450000X40-1 5/211/2-33X111/201/25C0)-z(j)017/203/205X015/211/233Xi10-2112C(j)-Z(j)00111b列全為非負，最優(yōu)解為x=(2, 3,0); Z = 18(2) nun Z =+ 4屯演+為2 4，2iV十礴 M 2 國之口，4之0【解】將模型化為min Z - 3百 +4演產一工一盯+勺=T42公+無口

11、+2 = 2與之 0/ = 1,2,3,4L *3400bXbCbX1X2X3X4X30-1-110-4X4021012Cj-Zj3400X1311-104X400-121-6Cj-Zj0130X131011-2X2401-2-16Cj-Zj0051出基行系數(shù)全部非負，最小比值失效，原問題無可行解。(3) min 2 = 2 再 +442. +3xa < 24Xj + 2x3 > 10Tx + 3xj > 15卜卜心之°【解】將模型化為minZ = 2工1 + 4電I 2xr +3xa + - 24一五一 2%+玉=-10一/ 一 3后 +/ =-15勺之0,j =

12、 1,2,3,4,5L 4Cj24000bXbCbXiX2X3X4X5X302310024X40-1-2010-10X50-1-3001-15Cj -Zj24000X30101019X40-1/3001 2/30X241/31001/35Cj-Zj2/30004/3最優(yōu)解 X=(0, 5); Z=20（4）min N = 2±+3占 + 5均+6升近+ 2三+?與 +%之2，2公+ /一再 +3勺 工一3勺OJ = 1/- X【解】將模型化為min Z = 2甬 + 3 / +5馬 + 6%或12k、- 3工3一工4 +工5 =I -24 +/ 弓 +3演十 - -3 巧 >

13、0j = L,6Cj235600bXbCbX1X2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj-Zj235600X231/213/22-1/201X60-5/20-5/211/21-4Cj-Zj1/201/203/20X23-11013/5-1/53/5-7/5X35101-2/5-1/5-2/58/5Cj-Zj0001/58/51/5X121-10-13/51/5-3/57/5X3501111/5-2/51/51/5Cj-Zj0001/58/51/5Xi2101-2/5-1/5-2/58/5X2301111/5-2/51/51/5Cj-Zj0001/58/51

14、/5原問題有多重解：X=(7/5, 0, 1/5,);最優(yōu)解X= (8/5, 1/5, 0); Z=19/5如果第一張表X6出基，則有Cj235600bXbCbXiX2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj-Zj235600X500-5/2-5/2-11/21-1/2-1/2Xi21-1/21/2-3/20-1/23/2Cj-Zj024901X2301111/5-2/51/51/5Xi2101-7/5-1/5-2/58/5Cj-Zj00223/54/53/57.某工廠利用原材料甲、乙、丙生產產品A、B、C,有關資料見表2-23.表 2-23每月可供原材料(

15、Kg)ABC廣品材料消耗原材料甲211200乙123500丙221600每件產品利潤413(1)怎樣安排生產，使利潤最大.(2)若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少.(3)設原材料乙的市場價格為1.2元/Kg,若要轉賣原材料乙，工廠應至少叫價多少，為什么？(4)單位產品利潤分別在什么范圍內變化時，原生產計劃不變.(5)原材料分別單獨在什么范圍內波動時，仍只生產 A和C兩種產品.(6)由于市場的變化，產品 B、C的單件利潤變?yōu)?元和2元，這時應如何調整生產計劃.(7)工廠計劃生產新產品 D,每件產品D消耗原材料甲、乙、丙分別為2kg, 2kg及1kg,每件產品D應獲利多少時才有利于投產.【解】(

16、1)設xX2、X3分別為產品A、B、C的月生產量，數(shù)學模型為maxZ = 4x +x2 +3%2Q1 為 +x3 < 200玉+2馬+ 34V500w2公+馬+號<600百之0,為之0,均之0最優(yōu)單純形表:C(j)413000R.H.S.RatioXbCbXiX2X3X4X5X6Xi411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最優(yōu)解X= (20, 0, 160) , Z=560。工廠應生產產品 A20件，產品C160種，總利潤為560 元。92 A一，必二 一1為 二 0(

17、2)由最優(yōu)表可知，影子價格為55，故增加利潤1.8元。(3)因為y2=0.4 ,所以叫價應不少于 1.6元。(4)依據(jù)最優(yōu)表計算得g-3< <2, Aca< -l<2k3 <913Cl el,6f ca (-00, y, C3C2A2(5)依據(jù)最優(yōu)表計算得與酒 4400, -400< <100P -400<AZt本打竿,加嘰 4 W 100,60日，200r-Hx>).(6)變化后的檢驗數(shù)為=1, 4=-2, 5=0。故X2進基xi出基,得到最最優(yōu)解 X=(0,200,0),即只生產產品B 200件，總利潤為600元。C(j)432000R

18、.H.S.RatioXbCbX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020100X3203/51-1/52/50160800/3X60000-101400MC(j)-Z(j)010-200560X225103-10100MX33-301-210100100X60000-101400MC(j)-Z(j)-500-510X22211100200X40-301-210100X60000-101400C(j)-Z(j)-20-1-300(7)設產品D的產量為X7,單件產品利潤為 C7,只有當A -CsB月0時才有利于投產。,9 2、向(7/藝=超二£,0 222T則當單位產品D

19、的利潤超過4.4元時才有利于投產。8.對下列線性規(guī)劃作參數(shù)分析max Z = (3+24)了1 +(5-)心X1出基；科5時X4進基X2出基，用單純形法計算。參數(shù)變化與目標值變化的關系如下 表所示。FromToFromToLeavingEnteringRange(Vector)(Vector)OBJValueOBJ ValueSlopeVariableVariable10527525X2X425M52M830-1.52719.55X1X34-1.5-M19.5M-3目標值變化如下圖所示。(p.= -1.519.5)Q1=5Z=52)3=口無27)max Z = 3x1-h 54/ <4 + z2 < 63/ +18 2X ,za > 0科=0時最優(yōu)解X=(4,3,0) , Z = 27;最優(yōu)表:C(j)35000R. H. S.Basisr c（i）X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)00-3-2.5027s