教師專業(yè)發(fā)展

1、教師專業(yè)發(fā)展一、解題練習(xí)例1一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛自行車將能行駛 （請用方程或算術(shù)等多種解法求解；至少要用兩個(gè)解法完成此題；希望完成之后能談?wù)劯邢?，想說什么就說什么）例2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊(duì)干前段5000小時(shí)完成，乙工程隊(duì)干后段3000小時(shí)完成，如果兩工程隊(duì)同時(shí)動工，甲工程隊(duì)干前段、乙工程隊(duì)干后段一定時(shí)間后，甲、乙兩工程隊(duì)交換，使前、后兩段同時(shí)完工，問整個(gè)工程一共幾小時(shí)完成？例3一件工程，甲工程隊(duì)

2、干一半需5000小時(shí)，乙工程隊(duì)干一半需3000小時(shí)，如果甲、乙兩工程隊(duì)一齊干，整個(gè)工程幾小時(shí)完成？ 例4一件工程，甲工程隊(duì)干需10000小時(shí)，乙工程隊(duì)干需6000小時(shí)，如果甲、乙兩工程隊(duì)一齊干，整個(gè)工程幾小時(shí)完成？ 下面我們從反思、溝通、啟示三個(gè)層面上展開分析1.反思答案 解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行1的磨損量為又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了、交換位置后走了， 有 兩式相加，得 ， 則 （） 這個(gè)解法條理清晰，書寫完整，答案正確，也不乏趣味性的技巧，體現(xiàn)了方程解題的優(yōu)勢，同時(shí)也給我們留下了反思深化的空間比如，可以提出怎樣一些思考的

3、線索：（1）本例對“字母表示數(shù)”的運(yùn)用很熟練，引進(jìn)過渡性的字母有助于建立等量關(guān)系、列出方程（像化學(xué)反應(yīng)中的催化劑）；設(shè)而不求、也很富于解題的藝術(shù)，方程組、像是三元二次的，其實(shí)是二元一次的，并且不需要求出各個(gè)字母來但也正是這些技巧給我們的教學(xué)講解和學(xué)生接受帶來了一些困惑，把所求的未知數(shù)設(shè)為兩個(gè)未知數(shù)之和，學(xué)生不太好理解，我們“怎樣想到的”也不容易說清，這促使我們思考：能不能把題目處理得更好接受一些？（2）式、已經(jīng)顯露了題目的一種結(jié)構(gòu)：很像“工程問題”，能不能循此進(jìn)行深層次的揭示？（3）如果繼續(xù)把式代入原方程（或由、式相減），還可以得出，就是說，若一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢，則單個(gè)輪胎安裝在前輪行駛的路程

4、等于其安裝在后輪行駛的路程當(dāng)我們思考這些問題，并把“一對自行車輪胎的行駛磨損”對應(yīng)為“一件工程”，而把“前、后輪胎的磨損”對應(yīng)為“把一件工程平均分為前、后兩段”時(shí)（例1與例2的溝通），發(fā)現(xiàn)這個(gè)“自行車問題”與“工程問題”沒有本質(zhì)的區(qū)別 2.溝通新問題與原有知識經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系首先看下面熟知的“工程問題”：（具體數(shù)據(jù)有意與例1保持一致）例2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊(duì)干前段5000小時(shí)完成，乙工程隊(duì)干后段3000小時(shí)完成，如果兩工程隊(duì)同時(shí)動工，甲工程隊(duì)干前段、乙工程隊(duì)干后段一定時(shí)間后，甲、乙兩工程隊(duì)交換，使前、后兩段同時(shí)完工，問整個(gè)工程一共幾小時(shí)完成？例3一件工程，甲工程隊(duì)干一半需5000小

5、時(shí)，乙工程隊(duì)干一半需3000小時(shí)，如果甲、乙兩工程隊(duì)一齊干，整個(gè)工程幾小時(shí)完成？ 例4一件工程，甲工程隊(duì)干需10000小時(shí)，乙工程隊(duì)干需6000小時(shí)，如果甲、乙兩工程隊(duì)一齊干，整個(gè)工程幾小時(shí)完成？ 這三個(gè)工程問題的實(shí)質(zhì)是完全一樣的：（1）例2中前、后相等的兩段，就是例3中的一半工程量；例2中甲、乙工程隊(duì)各干一定時(shí)間后交換場地，使前、后兩段同時(shí)完工，只不過是例3中甲、乙兩工程隊(duì)一齊干的一種途徑，一齊干有多種途徑，也可以像打隧道一樣分別從兩頭同時(shí)動工，一直打到貫通，中間不交換（例2與例3的溝通）（2）例3中甲（乙）完成一半工程量需5000小時(shí)（3000小時(shí)），就是例4中甲（乙）完成整個(gè)工程需100

6、00小時(shí)（6000小時(shí)）（例3與例4的溝通）（3）但是，例2的敘述方式更接近例1，所以，我們以“工程問題1”為代表與“自行車問題”比較如下（左右兩邊有“相當(dāng)于”的對應(yīng)關(guān)系）：例1 自行車問題例2 工程問題一對自行車輪胎的行駛磨損一件工程磨損量（從新輪胎到報(bào)廢）工程量（完成一件工程）輪胎分為前輪、后輪工程分為前段、后段前輪、后輪磨損量相等（一個(gè)輪胎的磨損量為定值是隱含條件）前段、后段工程量相等（工程平均分為前、后兩段是已知條件）前輪行駛5000報(bào)廢甲工程隊(duì)干前段5000小時(shí)完成后輪行駛3000報(bào)廢乙工程隊(duì)干后段3000小時(shí)完成如果行駛一定路程后，交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢如

7、果兩工程隊(duì)同時(shí)動工，甲工程隊(duì)干前段、乙工程隊(duì)干后段一定時(shí)間后，甲、乙兩工程隊(duì)交換，使前、后兩段同時(shí)完工這輛車將能行駛多少？整個(gè)工程幾小時(shí)完成？ 可見，“自行車問題”與“工程問題”有相同的結(jié)構(gòu)這樣一來，就激活了原有的知識經(jīng)驗(yàn)，一般性的“工程”模式就可以具體指導(dǎo)特殊性的“自行車”磨損問題，更反映問題深層結(jié)構(gòu)的解法也水到渠成新解1：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為1，則一對新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為2；又由已知得，安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為，進(jìn)而，每1一對輪胎磨損量為；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢最多可行駛” 填新解2：設(shè)一對新輪胎報(bào)廢時(shí)的

8、總磨損量為1，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為，進(jìn)而，每1一對輪胎磨損量為；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢最多可行駛” 填說明 如果說原解法更關(guān)注前輪、后輪兩個(gè)“局部”的話，那么新解法則把前輪、后輪合起來作“整體處理”了；原解法將兩個(gè)“局部”列成兩條方程、直接呈現(xiàn)表層結(jié)構(gòu)，新解法則已經(jīng)完成兩條方程相加、整體呈現(xiàn)問題的深層結(jié)構(gòu)了，而、式（還有后面的、式）是一樣的 新解3：設(shè)一對新輪胎交換位置后同時(shí)報(bào)廢時(shí)自行車共行駛了由于填空題不需要書寫過程，所以，我們不妨設(shè)想自行車的車把和車座都可以旋轉(zhuǎn)，用人和車的掉頭代替前、后輪交換的裝卸當(dāng)自行車行駛到

9、時(shí)，前輪的磨損量恰好是后輪的磨損剩余量，前輪的磨損剩余量恰好是后輪的磨損量，如果此時(shí)旋轉(zhuǎn)車把和車座掉頭返回出發(fā)地，就交換了前、后輪，再行駛回到出發(fā)地時(shí)一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢于是， 一個(gè)新輪胎的總磨損量前進(jìn)的磨損量返程的磨損量，有 ， 得 填說明 這實(shí)際上是對方程組中或取，并把兩個(gè)方程合并為方程新解4：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行使1的磨損量為又設(shè)自行車一對新輪胎交換位置前走了、而到同時(shí)報(bào)廢時(shí)共行駛了，分別以一個(gè)輪胎總磨損量為等量關(guān)系列方程， 即兩式相加，得 ，則 說明：雖然方程相減還可求出，但本題的和主要起化學(xué)反應(yīng)中的催化劑作用像已知數(shù)

10、一樣參與運(yùn)算，便于列出方程新解5：假設(shè)自行車行駛了15000，則前輪用了3個(gè)，后輪用了5個(gè)，共報(bào)廢8個(gè)，所以，一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢能行駛（）在中，先消去就是新解1，而取就是新解5，所以，方程解法、算術(shù)解法、技巧解法三者是相通的3.對“學(xué)解題、教解題、編習(xí)題”的啟示 總結(jié)上面的講解，每個(gè)人都有機(jī)會領(lǐng)悟一些有益的啟示（千萬別進(jìn)寶山而空還），由于這是一個(gè)個(gè)性化的經(jīng)驗(yàn)生成過程，認(rèn)識的差異是難免的，作為拋磚引玉，我談三點(diǎn)啟示與同行共勉 （1）關(guān)于解題學(xué)習(xí)的啟示解題獲得答案是必要的，但學(xué)解題不要滿足于獲得答案，繼續(xù)分析解題過程是認(rèn)識問題深層結(jié)構(gòu)、學(xué)會怎樣解題的有效途徑如同大家所看到的，對本例的反思分析就如同給我們的眼睛配備了顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡，既看得更細(xì)了（微觀更透徹），又看得更遠(yuǎn)了（宏觀更開闊）（2）關(guān)于解題教學(xué)的啟示解題教學(xué)不僅要教解題活動的結(jié)果（答案），而且要呈現(xiàn)解題活動的必要過程暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動沒有過程的結(jié)果是事實(shí)的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是時(shí)間的低效消費(fèi)，解題教學(xué)不僅要獲得答案，而且要從獲得答案的過程中學(xué)會怎樣解題，把過程與結(jié)果結(jié)合起來對于本例，我們不妨依次轉(zhuǎn)化為例2、例3、例4進(jìn)行化歸思想的教學(xué)；或者反過來回憶小學(xué)時(shí)的例4，然后逐步深入到例3、例2、例，從小