(完整)初三《圓》知識點及定理,推薦文檔

1、高圖教育數學教研組 盧老師專用-1 -、圓的概念圓知識點及定理四、圓與圓的位置關系集合形式的概念：1 1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;外離（圖1 1)無交點dR r;外切（圖2 2)有一個交點dR r;相交（圖3 3)有兩個交點Rr d R r；2 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3 3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合內切（圖 4 4）有一個交點內含（圖 5 5）無交點軌跡形式的概念:1 1、圓：至 U U 定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑 的圓；（補充）2 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線

2、段的垂直平分線 （也叫中垂線）；3 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離 等于定長的兩條直線；5 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直 線距離都相等的一條直線。- 圖4圖5二、點與圓的位置關系1 1、 點在圓內d2 2、 點在圓上dr點C在圓內;r點B在圓上;3 3、點在圓外d r點A在圓外;三、直線與圓的位置關系1 1、直線與圓相離dr2 2、 直線與圓相切dr3 3、直線與圓相交dr五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1 1： （ 1 1

3、 ）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2 2） 弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3 3） 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧無交點； 有一個交點; 有兩個交點;以上共 4 4 個定理，簡稱 2 2 推 3 3 定理：此定理中共 5 5 個結論中，只要知道其中 2 2個即可推出其它 3 3 個結論，即:AB是直徑AB CDCEDE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 2 個條件推出其他 3 3 個結論。 推論 2 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O中，AB/CD弧AC弧BDOABAD高圖教育 數學教研組 盧老師專用

4、六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相 等，所對的弧相等， 即上述四個結論中， 只要知道其中的 1 1即：AOB弦心距相等。此定理也稱 1 1 推 3 3 定理，個相等，則可以推出其它的 3 3 個結論,D0E:AB DE；0C 0F;弧BA弧BD在O O中，ABCD是內接四邊形BAD 180DAE即:四邊形C七、圓周角定理1 1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：A0B和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角A0B 2 ACB2 2、 圓周角定理的推論：推論 1 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在O

5、 0中，C、D都是所對的圓周角C D推論 2 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在O 0中，AB是直徑C 90或C 90 AB是直徑B D 180C九、切線的性質與判定定理(1 1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN OA且MN過半徑0A外端MN是O 0的切線 切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 1 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。(2 2)性質定理：推論推論 2 2 :過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條

6、件中知 道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線， 它們的切線長相 等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：PA、PB是的兩條切線PA PB推論 3 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在ABC中，0C 0A 0B ABC是直角三角形或C 90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上 的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理： 圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。PO平分BPA十一、圓幕定理(1 1)相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩 條線段的乘積相等。即

7、：在O 0中，弦AB、CD相交于點P,PA PB PC PD(2 2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半 是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在O 0中，直徑AB CD,DO高圖教育數學教研組 盧老師專用-3 - CE2AE BE行：OD: BD :OB 1: .3:2；(3 3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比A例中項。DAE即：在O O中，- PA是切線，PB是割線P-cPA2PC PB(4 4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到母條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。即：在O O中，- PB、PE是割線PC

8、 PB PD PE(2 2)正四邊形同理，四邊形的有關計算在Rt OAE中進行，OE:OE: AEAE :OA:OA 1:1:1:1: . . 2 2 :(3 3)正六邊形同理，六邊形的有關計算在Rt OAB中進行，AB:OB:OA 1: 3:2. .十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓 的的公共弦。如圖：Q02垂直平分AB。即：TOOi.oO2相交于A、B兩點卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式- O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1)1)公切線長：RtRt OQOQ2C C 中，AB2CO,O,O22CO22;(2)外公切線長：C

9、O2是半徑之差；內公切線長：CO2A1 1、扇形：(1 1)弧長公式：|(2(2 )扇形面積公式:180n R21S -lR3602n:圓心角R:扇形多對應的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算(1 1 )正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有關計算在Rt BOD中進COD2 2、圓柱：(1)圓柱側面展開圖S表S側2S底= =2 rh 2 r2(2)圓柱的體積：Vr2h(2 2)圓錐側面展開圖(1)S表S側S底= =Rr r2t D1A母線長C1ArB高圖教育數學教研組 盧老師專用-4 -(2 2)圓錐的體積：V1r2h3十六、圓中常見的輔助線1)1) .作半

10、徑，利用同圓或等圓的半徑相等.2)2) 作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距” 間的關系進行證明.3)3) .作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算.4)4) .作弦構造同弧或等弧所對的圓周角.5)5) .作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角一一直角.6)6) .遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角.7)7) .遇到切線，作過切點的半徑，構造直角.8)8) .欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓

11、的半徑.9)9) .遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點.10)10) .遇到三角形的內心，常作：(1)(1)內心到三邊的垂線；(2)(2)連結內心和三角形的頂占八、11)11) .遇相交兩圓，常作：(1)(1)公共弦；(2)(2)連心線.12)12) .遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線.13)13) .求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一 條直角邊.十七、圓中較特殊的輔助線1)1) .過圓外一點或圓上一點作圓的切線.2)2) .將割線、相交弦補充完整.3)3) .作輔助圓.例 1 1 如圖 23-1123-11 , CACA 為OO O 的切線，切點為

12、 A A,點 B B 在OO O 上，如果/ CAB=CAB= 5555，那 么/ AOBAOB 等于( ()A.A. 3535B B. 9090C.C. 110110D.D. 120120 例 2 2 如果圓柱的底面半徑為 4cm,4cm,母線長為 5cm,5cm,那么側面積等于()()A.A.加骯拙B B .C C .如亡憶例 3 3 如圖 23-1223-12，在半徑為 4 4 的O0 0 中，ABAB CDCD 是兩條直徑，M M 為 0B0B 的中點，延長 C CM M交O0 0 于 E,E,且 EMMCEMMC 連結 OEOE DEDEDE = /?求：EMEM 的長.例 4 4 如圖 23-1323-13 , ABAB 是OO O