2008年天津市高考數(shù)學試卷(理科)

1、2008年天津市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）i是虛數(shù)單位，=（）a1b1cidi2（5分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=5x+y的最大值為（）a2b3c4d53（5分）設函數(shù)，則函數(shù)f（x）是（）a最小正周期為的奇函數(shù)b最小正周期為的偶函數(shù)c最小正周期為的奇函數(shù)d最小正周期為的偶函數(shù)4（5分）設a，b是兩條直線，是兩個平面，則ab的一個充分條件是（）aa，b，ba，b，ca，b，da，b，5（5分）設橢圓上一點p到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則p點到右準線的距離為（）a6b2cd6（5分）設集合s=x|x2|3，t=x|a

2、xa+8，st=r，則a的取值范圍是（）a3a1b3a1ca3或a1da3或a17（5分）設函數(shù)的反函數(shù)為f1（x），則（）af1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1bf1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0cf1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1df1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最小值為08（5分）已知函數(shù)，則不等式x+（x+1）f（x+1）1的解集是（）abx|x1cd9（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）abacbcbacbcadabc10（5分）有8張卡片分別標有數(shù)字1，2，3，4

3、，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）a1344種b1248種c1056種d960種二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11（4分）在（x）5的二次展開式中，x2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）12（4分）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為13（4分）已知圓c的圓心與拋物線y2=4x的焦點關于直線y=x對稱直線4x3y2=0與圓c相交于a、b兩點，且|ab|=6，則圓c的方程為14（4分）如圖，在平行四邊形abcd中，則=15（4分）已知數(shù)列an中，則=16（4分）設a1，若僅

4、有一個常數(shù)c使得對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logax+logay=c，這時a的取值的集合為三、解答題（共6小題，滿分76分）17（12分）已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值18（12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率p；（）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望19（12分）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形已知ab=3，ad=2，pa=2，pd=2，pab=60°（）證明ad平面pab；（）求異面直線

5、pc與ad所成的角的大??；（）求二面角pbda的大小20（12分）已知函數(shù)，其中a，br（）若曲線y=f（x）在點p（2，f（2）處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；（）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）若對于任意的，不等式f（x）10在上恒成立，求b的取值范圍21（14分）已知中心在原點的雙曲線c的一個焦點是f1（3，0），一條漸近線的方程是（）求雙曲線c的方程；（）若以k（k0）為斜率的直線l與雙曲線c相交于兩個不同的點m，n，且線段mn的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍22（14分）在數(shù)列an與bn中，a1=1，b1=4，數(shù)列an的前n項和sn滿足ns

6、n+1（n+3）sn=0，2an+1為bn與bn+1的等比中項，nn*（）求a2，b2的值；（）求數(shù)列an與bn的通項公式；（）設證明|tn|2n2，n32008年天津市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2008天津）i是虛數(shù)單位，=（）a1b1cidi【分析】復數(shù)的分子復雜，先化簡，然后再化簡整個復數(shù)，可得到結(jié)果【解答】解：，故選a2（5分）（2008天津）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=5x+y的最大值為（）a2b3c4d5【分析】本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點的坐標，將各

7、點坐標代入目標函數(shù)的解析式，分析后易得目標函數(shù)z=5x+y的最小值【解答】解：滿足約束條件的可行域如圖，由圖象可知：目標函數(shù)z=5x+y過點a（1，0）時z取得最大值，zmax=5，故選d3（5分）（2008天津）設函數(shù)，則函數(shù)f（x）是（）a最小正周期為的奇函數(shù)b最小正周期為的偶函數(shù)c最小正周期為的奇函數(shù)d最小正周期為的偶函數(shù)【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=asinx的形式，然后由y=asinx的性質(zhì)得出相應的結(jié)論【解答】解：f（x）=sin2x所以t=，且為奇函數(shù)故選a4（5分）（2008天津）設a，b是兩條直線，是兩個平面，則ab的一個充分條件是（）aa，b，ba，b，

8、ca，b，da，b，【分析】根據(jù)題意分別畫出錯誤選項的反例圖形即可【解答】解：a、b、d的反例如圖故選c5（5分）（2008天津）設橢圓上一點p到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則p點到右準線的距離為（）a6b2cd【分析】根據(jù)橢圓定義，求出m，利用第二定義求出到右準線的距離，注意右焦點右準線的對應關系【解答】解：由橢圓第一定義知a=2，所以m2=4，橢圓方程為所以d=2，故選b6（5分）（2008天津）設集合s=x|x2|3，t=x|axa+8，st=r，則a的取值范圍是（）a3a1b3a1ca3或a1da3或a1【分析】根據(jù)題意，易得s=x|x1或x5，又有st=r，可得不等式組，

9、解可得答案【解答】解：根據(jù)題意，s=x|x2|3=x|x1或x5，又有st=r，所以，故選a7（5分）（2008天津）設函數(shù)的反函數(shù)為f1（x），則（）af1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1bf1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0cf1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1df1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最小值為0【分析】根據(jù)本題所給出的選項，利用排除法比較方便，這樣可以簡化直接求解帶來的繁瑣【解答】解：為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性知f（x）為增函數(shù)，f1（x）單調(diào)遞增，排除b、c；又f1（x）的值域為f（x）的定義域，f1（x）最小值為0故選d8（5分）（2008天津）已知函數(shù)，則

10、不等式x+（x+1）f（x+1）1的解集是（）abx|x1cd【分析】對f（x+1）中的x分兩類，即當x+10，和x+10時分別解不等式可得結(jié)果【解答】解：依題意得所以故選：c9（5分）（2008天津）已知函數(shù)f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）abacbcbacbcadabc【分析】通過奇偶性將自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)單調(diào)性比較a、b、c的大小【解答】解：，因為，又由函數(shù)在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)，所以，所以bac，故選a10（5分）（2008天津）有8張卡片分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從

11、中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）a1344種b1248種c1056種d960種【分析】根據(jù)題意，分2步進行，首先確定中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，然后確定其余4個數(shù)字的排法數(shù)，使用排除法，用總數(shù)減去不合題意的情況數(shù)，可得其情況數(shù)目，由乘法原理計算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，共有c21a22=4種排法，然后確定其余4個數(shù)字，其排法總數(shù)為a64=360，其中不合題意的有：中間行數(shù)字和為5，還有一行數(shù)字和為5，有4種排法，余下兩個數(shù)字有a42=12

12、種排法，所以此時余下的這4個數(shù)字共有3604×12=312種方法；由乘法原理可知共有4×312=1248種不同的排法，故選b二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11（4分）（2008天津）在（x）5的二次展開式中，x2的系數(shù)為40（用數(shù)字作答）【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為2求出x2的系數(shù)【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系數(shù)為（2）2c52=40故答案為4012（4分）（2008天津）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為24【分析】由題意球的直徑等于正方體的體對角線的長，求出球的半徑，再求正

13、方體的棱長，然后求正方體的表面積【解答】解：設球的半徑為r，由得，所以a=2，表面積為6a2=24故答案為：2413（4分）（2008天津）已知圓c的圓心與拋物線y2=4x的焦點關于直線y=x對稱直線4x3y2=0與圓c相交于a、b兩點，且|ab|=6，則圓c的方程為x2+（y1）2=10【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，進而求得圓心，進而求得圓心到直線4x3y2=0的距離，根據(jù)勾股定理求得圓的半徑則圓的方程可得【解答】解：依題意可知拋物線的焦點為（1，0），圓c的圓心與拋物線y2=4x的焦點關于直線y=x對稱所以圓心坐標為（0，1），圓c的方程為x2+（y1）2=10故答案為x2+（y1

14、）2=1014（4分）（2008天津）如圖，在平行四邊形abcd中，則=3【分析】選一對不共線的向量做基底，在平行四邊形中一般選擇以最左下角定點為起點的一對邊做基底，把基底的坐標求出來，代入數(shù)量積的坐標公式進行運算，得到結(jié)果【解答】解：令，則故答案為：315（4分）（2008天津）已知數(shù)列an中，則=【分析】首先由求an可以猜想到用錯位相加法把中間項消去，即可得到an的表達式，再求極限即可【解答】解：因為所以an是一個等比數(shù)列的前n項和，所以，且q=2代入，所以所以答案為16（4分）（2008天津）設a1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logax+logay=

15、c，這時a的取值的集合為2【分析】由logax+logay=c可以用x表達出y，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解【解答】解：logax+logay=c，=cxy=ac得，單調(diào)遞減，所以當xa，2a時，所以，因為有且只有一個常數(shù)c符合題意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合為2故答案為：2三、解答題（共6小題，滿分76分）17（12分）（2008天津）已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值【分析】（1）利用x的范圍確定x的范圍，進而利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sin（x）的值，進而根據(jù)sinx=sin（x）+利用兩角和公式求得答案（2）利用x的

16、范圍和（1）中sinx的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求得cosx的值，進而根據(jù)二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的兩角和公式求得答案【解答】解：（1）因為x（，），所以x（），sin（x）=sinx=sin（x）+=sin（x）cos+cos（x）sin=×+×=（2）因為x（，），故cosx=sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x1=所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=18（12分）（2008天津）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率

17、p；（）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望【分析】（）根據(jù)乙投球2次均未命中的概率為，兩次是否投中相互之間沒有影響，根據(jù)相互獨立事件的概率公式寫出乙兩次都未投中的概率，列出方程，解方程即可（ii）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因為兩人共命中的次數(shù)記為，得到變量可能的取值，看清楚變量對應的事件，做出事件的概率，寫出分布列和期望【解答】解：（）根據(jù)乙投球2次均未命中的概率為，兩次是否投中相互之間沒有影響，設“甲投球一次命中”為事件a，“乙投球一次命中”為事件b由題意得解得或（舍去），乙投球的命中率為（）由題設和（）知可能的取值為0，1，2，3，p（=1）

18、=p（a）p（）+p（b）p（）p（）=的分布列為的數(shù)學期望19（12分）（2008天津）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形已知ab=3，ad=2，pa=2，pd=2，pab=60°（）證明ad平面pab；（）求異面直線pc與ad所成的角的大??；（）求二面角pbda的大小【分析】（i）由題意在pad中，利用所給的線段長度計算出adpa，在利用矩形abcd及線面垂直的判定定理及、此問得證；（ii）利用條件借助圖形，利用異面直線所稱角的定義找到共面得兩相交線，并在三角形中解出即可；（iii）由題中的條件及三垂線定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可【解答】解

19、：（）證明：在pad中，由題設pa=2，pd=2，可得pa2+ad2=pd2于是adpa在矩形abcd中，adab又paab=a，所以ad平面pab（）解：由題設，bcad，所以pcb（或其補角）是異面直線pc與ad所成的角在pab中，由余弦定理得pb=由（）知ad平面pab，pb平面pab，所以adpb，因而bcpb，于是pbc是直角三角形，故tanpcb=所以異面直線pc與ad所成的角的大小為arctan（）解：過點p做phab于h，過點h做hebd于e，連接pe因為ad平面pab，ph平面pab，所以adph又adab=a，因而ph平面abcd，故he為pe在平面abcd內(nèi)的射影由三垂線

20、定理可知，bdpe，從而peh是二面角pbda的平面角由題設可得，ph=pasin60°=，ah=pacos60°=1，bh=abah=2，bd=，he=于是在rtphe中，tanpeh=所以二面角pbda的大小為arctan20（12分）（2008天津）已知函數(shù)，其中a，br（）若曲線y=f（x）在點p（2，f（2）處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；（）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）若對于任意的，不等式f（x）10在上恒成立，求b的取值范圍【分析】（）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即為點的斜率，再根據(jù)f（x）在點p（2，f（2）處的切線方程為y=3x+1，解出a值；

21、（）由題意先對函數(shù)y進行求導，解出極值點，因極值點含a，需要分類討論它的單調(diào)性；（）已知，恒成立的問題，要根據(jù)（）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值，讓f（x）的最大值小于10就可以了，從而解出b值【解答】解：（）解：，由導數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=8由切點p（2，f（2）在直線y=3x+1上可得2+b=7，解得b=9所以函數(shù)f（x）的解析式為（）解：當a0時，顯然f'（x）0（x0）這時f（x）在（，0），（0，+）上內(nèi)是增函數(shù)當a0時，令f'（x）=0，解得當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：xf（x）+00+f（x） 極大值 極小值

22、所以f（x）在，內(nèi)是增函數(shù)，在，（0，）內(nèi)是減函數(shù)綜上，當a0時，f（x）在（，0），（0，+）上內(nèi)是增函數(shù)；當a0時，f（x）在，內(nèi)是增函數(shù)，在，（0，）內(nèi)是減函數(shù)（）解：由（）知，f（x）在上的最大值為與f（1）的較大者，對于任意的，不等式f（x）10在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立從而得，所以滿足條件的b的取值范圍是21（14分）（2008天津）已知中心在原點的雙曲線c的一個焦點是f1（3，0），一條漸近線的方程是（）求雙曲線c的方程；（）若以k（k0）為斜率的直線l與雙曲線c相交于兩個不同的點m，n，且線段mn的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍【分析】（1

23、）設出雙曲線方程，根據(jù)焦點坐標及漸近線方程求出待定系數(shù)，即得雙曲線c的方程（2）設出直線l的方程，代入雙曲線c的方程，利用判別式及根與系數(shù)的關系求出mn的中點坐標，從而得到線段mn的垂直平分線方程，通過求出直平分線與坐標軸的交點，計算圍城的三角形面積，由判別式大于0，求得k的取值范圍【解答】解：（）解：設雙曲線c的方程為（a0，b0）由題設得，解得，所以雙曲線方程為（）解：設直線l的方程為y=kx+m（k0）點m（x1，y1），n（x2，y2）的坐標滿足方程組將式代入式，得，整理得（54k2）x28kmx4m220=0此方程有兩個不等實根，于是54k20，且=（8km）2+4（54k2）（4m

24、2+20）0整理得m2+54k20 由根與系數(shù)的關系可知線段mn的中點坐標（x0，y0）滿足，從而線段mn的垂直平分線方程為此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為，由題設可得整理得，k0將上式代入式得，整理得（4k25）（4k2|k|5）0，k0解得或所以k的取值范圍是22（14分）（2008天津）在數(shù)列an與bn中，a1=1，b1=4，數(shù)列an的前n項和sn滿足nsn+1（n+3）sn=0，2an+1為bn與bn+1的等比中項，nn*（）求a2，b2的值；（）求數(shù)列an與bn的通項公式；（）設證明|tn|2n2，n3【分析】（）解：題設有a1+a24a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值（）由題設條件猜想，bn=（n+1）2，nn*再用數(shù)學歸納法進行證明（）由題設條件