如何構(gòu)建有深度的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂PPT課件

1、如何構(gòu)建有深度的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂好課應(yīng)該是有深度的課堂好課應(yīng)該是有深度的課堂 何謂有深度的課堂？（你是怎樣理解深度） “深度”課堂不是“難度”課堂 深度課堂是對常態(tài)課的一種超越 深度課堂一定是有內(nèi)涵的課堂 深度課堂一定是有沖突的課堂 深度課堂一定是有味道的課堂 深度課堂一定是有活力的課堂 深度課堂一定是有實(shí)效的課堂 深度課堂一定是有后勁的課堂教學(xué)中的10個(gè)不等式 教師講解機(jī)械灌輸 傳統(tǒng)的教學(xué)手段落后的教學(xué)方法 尊重學(xué)生放縱學(xué)生 現(xiàn)代化的教學(xué)手段現(xiàn)代化的教學(xué)思想 提倡教學(xué)民主不要教學(xué)秩序教學(xué)中的10個(gè)不等式 掌握定義理解概念 掌握知識增長智慧 追求時(shí)尚理念先進(jìn) 教學(xué)的觀賞性強(qiáng)教學(xué)的時(shí)效性高 課堂氣氛

2、活教學(xué)效果好現(xiàn)在的課 關(guān)注教學(xué)起點(diǎn)關(guān)注教學(xué)起點(diǎn) 關(guān)注學(xué)生生活關(guān)注學(xué)生生活 關(guān)注學(xué)習(xí)過程關(guān)注學(xué)習(xí)過程 關(guān)注學(xué)科本質(zhì)關(guān)注學(xué)科本質(zhì) 關(guān)注三維目標(biāo)關(guān)注三維目標(biāo)構(gòu)建深度課堂的十個(gè)策略 讀懂學(xué)生 讀懂教材 適度拓展 思想蘊(yùn)伏 植入文化 局部美容 問題引領(lǐng) 數(shù)形結(jié)合 巧設(shè)練習(xí) 理念移植讀懂學(xué)生讀懂學(xué)生關(guān)注教學(xué)起點(diǎn)關(guān)注教學(xué)起點(diǎn) 即使是最普通的孩子，只要教育得法，也會(huì)成為不平凡的人。 愛爾維修 數(shù)學(xué)課真正的精彩是學(xué)生的精彩，而不是教師的精彩。 不能真正了解學(xué)生，教師的教學(xué)行為就是盲目的，課堂也必然是低效的。 只有讀懂學(xué)生，我們的課堂教學(xué)才能做到扎實(shí)高效。 學(xué)生前測的題目學(xué)生前測的題目你能計(jì)算下面的分?jǐn)?shù)加減法嗎？

3、你打算怎么計(jì)算？ 說明理由。若不會(huì)算，說說你的困惑在哪兒？案例案例1：異分母分?jǐn)?shù)加減異分母分?jǐn)?shù)加減如何找到解決問題的起點(diǎn)如何找到解決問題的起點(diǎn)? ?學(xué)生調(diào)研學(xué)生調(diào)研1.1.學(xué)生已有知識基礎(chǔ)（包括知識技能、方學(xué)生已有知識基礎(chǔ)（包括知識技能、方法）法）2.2.學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)該內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)該內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn) 3.3.學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容可能的困難學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容可能的困難4.4.學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)習(xí)方式等學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)習(xí)方式等5.5.資料學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)教學(xué)目標(biāo) 理解和掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，理理解和掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，理解解“為什么要通分為什么要通分”的道理。的道

4、理。 在原有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，利用知識的遷移，在原有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，利用知識的遷移，數(shù)形結(jié)合的思想在辨析中自主構(gòu)建新知，滲透數(shù)形結(jié)合的思想在辨析中自主構(gòu)建新知，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想同時(shí)促進(jìn)學(xué)生反思能力的提高。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想同時(shí)促進(jìn)學(xué)生反思能力的提高。 在活動(dòng)中體會(huì)探究的快樂。在活動(dòng)中體會(huì)探究的快樂。 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 理解理解“只有分?jǐn)?shù)單位相同才能相只有分?jǐn)?shù)單位相同才能相加減加減”的道理。的道理。 教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：讓學(xué)生明白讓學(xué)生明白“為什么要轉(zhuǎn)化為什么要轉(zhuǎn)化” ” 的道理。的道理。人數(shù)比第二人數(shù)比第二題少了，怎題少了，怎么回事？么回事？A:A:學(xué)生不會(huì)做學(xué)生不會(huì)做, ,在思考時(shí)產(chǎn)生了

5、疑問在思考時(shí)產(chǎn)生了疑問, ,沒找到解決問題的辦沒找到解決問題的辦法法這種想法是學(xué)生受了整這種想法是學(xué)生受了整數(shù)數(shù),小數(shù)減法計(jì)算算理的小數(shù)減法計(jì)算算理的影響影響.B:受整數(shù)和小數(shù)加減法的影響，沒有驗(yàn)證的意識。受整數(shù)和小數(shù)加減法的影響，沒有驗(yàn)證的意識。C:學(xué)生的想法受到同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算方法負(fù)遷移的影響，學(xué)生的想法受到同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算方法負(fù)遷移的影響，沒有驗(yàn)證的意識。沒有驗(yàn)證的意識。對于第二題學(xué)生對于第二題學(xué)生已有一定的經(jīng)驗(yàn)已有一定的經(jīng)驗(yàn), ,但做第三題時(shí)但做第三題時(shí), ,學(xué)生受到數(shù)據(jù)干學(xué)生受到數(shù)據(jù)干擾擾, ,思維開始混思維開始混淆淆, ,產(chǎn)生了疑問產(chǎn)生了疑問. . D:學(xué)生意識到單位學(xué)生意識到單位相同

6、的數(shù)才能相加減。相同的數(shù)才能相加減。E:學(xué)生學(xué)生有驗(yàn)證的意識。有驗(yàn)證的意識。雖然不對,但是已經(jīng)有了一些想法.受數(shù)據(jù)影響開始產(chǎn)生困惑F:F:學(xué)生能夠?qū)W生能夠根據(jù)分?jǐn)?shù)的根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義意義, ,通過通過畫圖來解題畫圖來解題. . 啟示啟示1.1.花些時(shí)間了解你的學(xué)生，花些時(shí)間了解你的學(xué)生，確定你的教學(xué)起點(diǎn)確定你的教學(xué)起點(diǎn)案例案例2 2：為何：為何“探究不出探究不出來來”除法豎式除法豎式24242 723現(xiàn)象：題現(xiàn)象：題1 1很多同學(xué)都可以很多同學(xué)都可以通過擺小棒掌握列出豎式，通過擺小棒掌握列出豎式，題題2 2很困難很困難思考步驟思考步驟 24242 2 72723 3第一步第一步分整捆分整捆把把2

7、2捆小棒平均分給捆小棒平均分給2 2人，每人得到人，每人得到1 1捆捆把把7 7捆小棒平均分給捆小棒平均分給3 3個(gè)人，無法個(gè)人，無法分分把把7 7捆小棒拆分成捆小棒拆分成6 6捆和捆和1 1捆捆把把6 6捆小棒平均分給捆小棒平均分給3 3個(gè)人，每人個(gè)人，每人得到得到2 2捆捆 第二步第二步分零根分零根把把4 4根小棒平均分給根小棒平均分給2 2個(gè)人，每人得到個(gè)人，每人得到2 2根根把剩下的把剩下的1 1捆小棒拆開，與原來的捆小棒拆開，與原來的2 2根小棒相加得到根小棒相加得到1212根小棒根小棒把把1212根小棒平均分給根小棒平均分給3 3個(gè)人，每個(gè)人，每人得到人得到4 4根根 第三步第三步

8、 得結(jié)果得結(jié)果把每人得到的把每人得到的1 1捆小棒捆小棒和和2 2根小棒相加，根小棒相加，得到最后的結(jié)果得到最后的結(jié)果1212回憶先前每人得到的回憶先前每人得到的2 2捆捆將每人得到的將每人得到的2 2捆與捆與4 4根相加，得根相加，得到最后的結(jié)果到最后的結(jié)果24.24. 第第4 4步步 寫豎式寫豎式建立思考過程與豎式建立思考過程與豎式的聯(lián)系的聯(lián)系建立思考過程與豎式的聯(lián)系建立思考過程與豎式的聯(lián)系 啟示啟示2 2： 教師的職責(zé)教師的職責(zé)“解惑解惑”，解惑，解惑的前提的前提“知惑知惑”?！盎蠡蟆本褪悄愕慕叹褪悄愕慕虒W(xué)關(guān)鍵學(xué)關(guān)鍵 學(xué)生學(xué)習(xí)困難具有兩個(gè)特征：學(xué)生學(xué)習(xí)困難具有兩個(gè)特征：思考過程過于復(fù)雜思

9、考過程過于復(fù)雜與已有的知識和經(jīng)驗(yàn)沒有聯(lián)系或與已有的知識和經(jīng)驗(yàn)沒有聯(lián)系或相悖。相悖。教學(xué)關(guān)鍵：如何把教學(xué)關(guān)鍵：如何把“不能分不能分”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“可以分可以分”讀懂教材讀懂教材關(guān)注學(xué)生生活關(guān)注學(xué)生生活 讀懂教材是教師必備的基本功，也是使用教材、進(jìn)行有效教學(xué)的基礎(chǔ)。現(xiàn)行教材中都是以情境來展示教學(xué)目標(biāo)的。它給了老師更大的研讀教材的空間，同時(shí)也給了我們很大的挑戰(zhàn)。教材上的每幅圖都有其深刻的含義和目的，做為教師只有把它研讀透徹才能明白其中真知。 案例1：案例：計(jì)算364+578 （1）300+500+60+70+4+8 （2）360+570+4+8 （3）300+500+64+78 （4）364+580

10、-2 （5）364+600-22 （6）列豎式 啟示1：如此繁多的算法如何處理 案例2：以33-7為例：說明算法多樣化的三個(gè)層次 第一層次：操作水平，左圖男孩借助實(shí)物操作，動(dòng)作與思維兼而有之。 第二層次：表象操作水平。孩子在自己的頭腦中想自己的操作動(dòng)作，但不賦予行為。 第三層次：分析水平。根據(jù)模型計(jì)算 動(dòng)作思維 （動(dòng)作表象） 表象思維 （圖形表征） 抽象思維 （符號表征） 啟示2：算法多樣化中的三個(gè)思維層次可以從哪些角度去解讀教材，讀懂可以從哪些角度去解讀教材，讀懂教材？教材？ 1.1.要用整體聯(lián)系的觀點(diǎn)解讀教材要用整體聯(lián)系的觀點(diǎn)解讀教材 把數(shù)學(xué)看成一個(gè)不可分割的整體，就要理解并把握數(shù)學(xué)課程內(nèi)

11、部的聯(lián)系。解讀教材要了解在前面年級已學(xué)的數(shù)學(xué)和后面年級將要學(xué)的數(shù)學(xué)知識，根據(jù)已學(xué)的知識去理解掌握新的知識，把新知識視為已學(xué)知識的推廣或拓展，把已學(xué)知識視為新知識的停靠點(diǎn)或生長點(diǎn)。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)已學(xué)知識與新知識之間的聯(lián)系時(shí)，我們的理解會(huì)深刻并且牢固。案例 解讀三下“比賽場次”的教材時(shí)，是否聯(lián)系到三上“搭配中的學(xué)問”和六上的“比賽場次”，是否想過它們之間的區(qū)別與聯(lián)系？ “搭配”問題是乘法的一種實(shí)際情境：兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)分別是m、n，它們交叉對應(yīng)，一共可以搭配成（mn）個(gè)不同的組合。 “搭配中的學(xué)問”問題（下面簡稱“搭配”問題）的特征是分別從兩個(gè)有限集合任意取出一個(gè)元素組成一個(gè)組合，問這兩個(gè)集合的所有

12、元素能組成多少個(gè)不同的組合？ “比賽場次”的問題（下面簡稱“比賽”問題）的特征是從一個(gè)有限集合任意取出兩個(gè)元素組成一個(gè)組合，問這個(gè)集合的所有元素能組成多少個(gè)不同的組合？ “比賽”問題不是簡單的乘法問題，但把這類問題當(dāng)作簡單的乘法問題是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤。 在小學(xué)階段，解決組合問題的基本策略是具體操作，一一列舉；并重在培養(yǎng)學(xué)生有序思考的意識，理解怎么做才能不重復(fù)不遺漏。 2003年中國隊(duì)所在的小組共有4 支球隊(duì)，每2支球隊(duì)之間都進(jìn)行一場比賽。整個(gè)小組共賽多少場？ 要不重不漏地找出所有比賽組合，用邏輯分類是個(gè)好策略。即以是否有中國隊(duì)參賽為標(biāo)準(zhǔn)把所有的比賽分成兩類：一類有中國隊(duì)參賽 ，另一類沒有中國隊(duì)參

13、賽，此外就沒有第三種情況了。通過分類，原來的問題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡單的問題，其中一個(gè)問題就是教材中的 第一問：“中國隊(duì)在小組中要進(jìn)行幾場比賽？” 另一個(gè)問題：中國隊(duì)外，其他3隊(duì)要進(jìn)行幾場比賽？ 讀懂教材就要讀懂教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而是如何用數(shù)學(xué)語言恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)數(shù)學(xué)思維的成果（包括數(shù)學(xué)模型）。 如果說三上的“比賽場次”，要學(xué)會(huì)的是用畫圖或列表等方法解決“比賽”問題，那么六上的“比賽場次”就要進(jìn)一步探究“比賽”問題中的數(shù)量關(guān)系，即尋找“參賽人數(shù)”與“比賽場數(shù)”之間存在的數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式。比較兩個(gè)學(xué)段“比賽場次”的教材，讀懂它們不同的內(nèi)涵，才能夠?qū)哟畏置鞯靥幚砗吐鋵?shí)好相同的課題在不同學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo)

14、。王皓、馬琳、朱世赫王皓、馬琳、朱世赫 、李廷佑等、李廷佑等13人進(jìn)行比賽人進(jìn)行比賽，每兩個(gè)人之間都進(jìn)行一場比賽每兩個(gè)人之間都進(jìn)行一場比賽。 一共要比賽多少場？一共要比賽多少場？參加比參加比賽人數(shù)賽人數(shù)3表格示意圖表格示意圖4線段示意圖線段示意圖5比賽場數(shù)比賽場數(shù)631+2=31+2+3=61+2+3+4=1010211畫勾或連線數(shù)畫勾或連線數(shù)ABABABCABCADDBCABCDABCEABCDE一共要比賽多少場？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（場）（場）按照上面的規(guī)律，根據(jù)按照上面的規(guī)律，根據(jù):1+2+3+15=120（場）（場）這個(gè)算式，你能推理出有多少這個(gè)算

15、式，你能推理出有多少名運(yùn)動(dòng)員嗎？名運(yùn)動(dòng)員嗎？王皓、馬琳、朱世赫 、李廷佑等13人進(jìn)行比賽，每兩個(gè)人之間都進(jìn)行一場比賽。星星體操隊(duì)為聯(lián)絡(luò)方便，設(shè)計(jì)了一種聯(lián)絡(luò)方式星星體操隊(duì)為聯(lián)絡(luò)方便，設(shè)計(jì)了一種聯(lián)絡(luò)方式:1.先由教練同時(shí)通知兩位隊(duì)長。2.兩位隊(duì)長再分別同時(shí)通知兩名同學(xué)。 3.依此類推，每人再同時(shí)通知兩個(gè)人。 第一分鐘第一分鐘第一分鐘第一分鐘第二分鐘第二分鐘（每同時(shí)通知兩人共需1分。） 12222+4=662 2 分分一共一共通知通知的人的人6分一共可以通知到多少名同學(xué)? 學(xué)校數(shù)學(xué)教育的一個(gè)主要目標(biāo)是使學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)。自主學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)涵是學(xué)會(huì)閱讀，學(xué)會(huì)與教材文本對話。教師的責(zé)任不是直接教教材，

16、而要教會(huì)學(xué)生自己去學(xué)教材，鼓勵(lì)學(xué)生自己與教材對話，然后針對學(xué)生自學(xué)教材中發(fā)現(xiàn)與存在的問題進(jìn)行針對性的教學(xué)活動(dòng)。這樣的課堂教學(xué)活動(dòng)對教師提出了更高的要求。教師的高明不是脫離教材另起爐灶，旁征博引，而是靠教材搭起師生的互動(dòng)平臺，捕捉契機(jī)，傳授方法，啟迪智慧，引導(dǎo)價(jià)值。這一切都必須源于教材；都必須立足于個(gè)性化地解讀教材，不僅讀懂而且讀通教材的基礎(chǔ)之上。問題引領(lǐng)問題引領(lǐng)關(guān)注學(xué)習(xí)過程關(guān)注學(xué)習(xí)過程案例4：沒有問題的“輕松”課堂 角的度量l 創(chuàng)設(shè)情境l認(rèn)識量角器l 使用量角器總結(jié)提高課后留給老師們的思考：. 課堂學(xué)生似乎輕松地學(xué)會(huì)了角的度量， 難道他們真的沒有遇到問題嗎？3 . 如何讓學(xué)生在探究知識的過程中

17、學(xué)會(huì)發(fā) 現(xiàn)問題、提出問題并嘗試著解決問題呢？2 . 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是否還有比掌握量角 的技能更重要的東西呢？4 . 這樣的課堂似乎缺了點(diǎn)什么，缺了點(diǎn)什 么呢？ “問題叢生”的課堂問題一：“怎么才能量出這兩個(gè)角誰大誰小呢？” 小角量大角，滲透度量意識(1)問題二：“小角量大角太麻煩了，有更簡便的測量方法嗎？”認(rèn)識量角器，感受量角器的價(jià)值問題三：問題三：“這樣量怎么讀不出度數(shù)這樣量怎么讀不出度數(shù)”？親自嘗試，探究量角的方法親自嘗試，探究量角的方法 學(xué)生一上來就犯了從直尺一端開始測學(xué)生一上來就犯了從直尺一端開始測量的量的“經(jīng)驗(yàn)主義經(jīng)驗(yàn)主義”錯(cuò)誤。不會(huì)正確擺放量錯(cuò)誤。不會(huì)正確擺放量角器。用量角器非中

18、心點(diǎn)的一端頂住了角角器。用量角器非中心點(diǎn)的一端頂住了角的頂點(diǎn)。因此，找不到角的度數(shù)。的頂點(diǎn)。因此，找不到角的度數(shù)。 學(xué)生用量角器的圓弧直接卡住了兩條邊學(xué)生用量角器的圓弧直接卡住了兩條邊的任意一點(diǎn)直接去量點(diǎn)。的任意一點(diǎn)直接去量點(diǎn)。 問題四：“究竟是30還是150呢？” 親自嘗試，突破難點(diǎn)親自嘗試，突破難點(diǎn) 30 150 這是一節(jié)問題叢生的“活力課堂”，巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)魅力就在于此讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，積極主動(dòng)地自主建構(gòu)。 學(xué)生的錯(cuò)誤是有價(jià)值的教學(xué)資源。從引發(fā)沖突，激起探究需要，到最后自主解決問題，這樣才能真正讓學(xué)生從知識產(chǎn)生過程的體驗(yàn)中，享受到探究的樂趣，獲得自信和活力，讓學(xué)生獲

19、得高質(zhì)量的課堂生活。思想蘊(yùn)伏思想蘊(yùn)伏關(guān)注學(xué)科本質(zhì)關(guān)注學(xué)科本質(zhì) 案例1：正方體和長方體的展開圖 有效的辦法：在紙上畫出，剪下來，再折一折。 問題：動(dòng)手操作代替空間想象，可行嗎？ 思考： （1）這節(jié)課的目的是什么？ （2）會(huì)不會(huì)過度依賴動(dòng)手操作，而弱化了學(xué)生的想象力？ 結(jié)論：操作是必要的，但僅僅是為了給學(xué)生建立展開圖的表象是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。 發(fā)現(xiàn)規(guī)律很重要 生1：原來相對的面展開后都會(huì)隔開 生2：前后上下四個(gè)面會(huì)連成一排 生3：還有不是四個(gè)面會(huì)連成一排 （1）用小棒擺出不同的長方形 結(jié)論：在“選”與“擺”的過程中 都要自覺的思考圖形的特 征，因此，不僅僅是操作活 動(dòng)，還有思維活動(dòng)（2）你能折出最大的正

20、方形嗎？學(xué)生一步步的嚴(yán)密推理 案例3.注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透以“平行四邊形面積計(jì)算為例” （1）轉(zhuǎn)化 （2）“變”與“不變”等積變形 長方形面積相等，周長相等嗎？ 圓柱鑄成圓錐 （3）觀察長方形框架逐漸變形對極限的無限遐想 （4)類推案例4小案例（2年級）1方法的學(xué)習(xí)：簡化問題尋找規(guī)律；生：“有100棵樹，倒過來數(shù)第18棵是正過來數(shù)的第幾棵？”，是第82棵嗎？師：能肯定嗎？ 生：師：困難是什么？（意識到問題所在）生：數(shù)字太大，小一點(diǎn)就好了；師：有沒有什么辦法把數(shù)字改小一點(diǎn)？（進(jìn)入方法學(xué)習(xí)）生：有有20棵樹，倒過來數(shù)第18棵是正過來數(shù)的第幾棵？（難度沒有減小）師：數(shù)字還是大！換一個(gè)辦法減小數(shù)字可以嗎

21、？生：有10棵樹，倒過來數(shù)第1棵是正過來數(shù)的第幾棵？那當(dāng)然是第10棵！師：原來的問題會(huì)解嗎（見學(xué)生遲疑）？倒過來數(shù)第2、3棵是正過來數(shù)的第幾棵？生：那是第9個(gè)、第8個(gè)，知道了！倒過來數(shù)第8棵應(yīng)當(dāng)是正過來數(shù)的第3棵！師：100棵樹的時(shí)候呢？生：應(yīng)當(dāng)是第93棵。師：那倒過來數(shù)第18棵呢、第37棵呢？ 生：應(yīng)當(dāng)是100-18+1=83，100-37+1=64，棵。師：我隨便說第幾棵，你是不是都能夠給出答案？（一般化）數(shù)學(xué)廣角的啟示 1.“植樹問題”我們可以看到這樣一些共同點(diǎn) 第一，任課教師往往特別重視關(guān)于“植樹問題”的三種不同類型的區(qū)分，即所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”。例如，在“應(yīng)

22、用模型，解決問題”這一環(huán)節(jié)，教師常常會(huì)不厭其煩地反復(fù)提出這樣一個(gè)問題：“這屬于(“植樹問題”中的)哪個(gè)類型啊?”有的教師更為此設(shè)計(jì)了專門的練習(xí)題：“選一選，下面每一題相當(dāng)于植樹問題中的哪一種情況?(1)廣場上的鐘聲；(2)音樂中的五線譜； (3)衣服上釘?shù)募~扣”另外，在現(xiàn)實(shí)中這往往也就是諸多不同教案的主要區(qū)別所在：我們究竟應(yīng)當(dāng)同時(shí)引入所說的三種情況，還是應(yīng)當(dāng)首先重點(diǎn)研究其中的某一種然后再過渡到其他兩種? 第二，就上述三個(gè)類型的區(qū)分而言，教學(xué)設(shè)計(jì)者往往又歸結(jié)為“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)”。如“從簡單問題、簡單事例人手，尋找規(guī)律，通過規(guī)律的得出，最終得到問題的解決”。另外，從實(shí)際的教學(xué)情況看，更有不少教師將此當(dāng)

23、成了“教學(xué)重點(diǎn)”，并普遍地采取了“學(xué)生獨(dú)立探究(或分組探究)、反饋交流、教師總結(jié)”這樣的教學(xué)方法。再則，主要地 也就是基于這樣一種認(rèn)識，有不少教學(xué)設(shè)計(jì)者就將最后的“應(yīng)用模型，解決問題”簡單地命名為“應(yīng)用規(guī)律”。 第三，就相關(guān)的數(shù)學(xué)思想而言，有不少教師突出地強(qiáng)凋了所謂的“化歸思想”，盡管從相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐看，“模型的建立與應(yīng)用”似乎更可被看成這一教學(xué)活動(dòng)的主線，而且，在此似乎也很難看出究竟什么是所說的“化歸思想”，后者又如何在“植樹問題”的求解過程中得到了具體的運(yùn)用? 就“植樹問題”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，事實(shí)上涉及了兩種不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)：其一，以“植樹問題”為(現(xiàn)實(shí))原型引出普遍性的數(shù)學(xué)模式(例如，可

24、以稱為“分隔問題”)，然后再利用這一模式去解決各種新的實(shí)際問題，如路燈問題、排隊(duì)問題、鋸樹問題、爬樓問題等。其二，對于上面所提到的每一個(gè)問題，我們又都可區(qū)分出三種不同的情況，就“植樹問題”而言，這也就是所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”。 思考：究竟何者應(yīng)當(dāng)成為這一教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)?什么又是這一教學(xué)活動(dòng)的真正難點(diǎn)? 2.烙餅問題 3.找次品問題 4.雞兔同籠問題案例案例3：雞兔同籠問題：雞兔同籠問題 問題：一支鉛筆4元，一支鋼筆7元，共有46元買10支筆，應(yīng)如何購買？ 有兩種思維方法： 算術(shù)方法：嘗試，調(diào)整 窮舉，列表 假設(shè)，推理 代數(shù)方法：分析問題中的量，確定等量關(guān) 系，設(shè)未知數(shù)，

25、列方程（不同方式），解方程。 算術(shù)方法（一）嘗試（猜測）調(diào)整 有的學(xué)生嘗試：買4支鉛筆6支鋼筆， 供需要58元。 調(diào)整：只有46元，不足，只能少買一些鋼筆；買1支鋼筆9支鉛筆，可否？需43元。再調(diào)整：自己有46元，還可多買鋼筆；買2支鋼筆8支鉛筆，恰為46元。 算術(shù)方法（二）窮舉，列表 學(xué)生很容易在老師的誘導(dǎo)下，通過窮舉、列表法做出判斷。 在“分類分類”討論是數(shù)學(xué)思考問題的基本思討論是數(shù)學(xué)思考問題的基本思想想，窮舉、列表等是最基本、重要的一種方法。為了把所有的情況表示清楚，我們常常采用這種方法。 算術(shù)方法（三）假設(shè)、推理 假設(shè)有10支鉛筆，0支鋼筆，則一共需要40元。如何使用余下的6元？ 我們

26、知道： 1支鋼筆7元=1支鉛筆4元+3元 這樣，可以用2支鉛筆加6元換兩支鋼筆。由此可知 46元可買8支鉛筆，2支鋼筆。 算術(shù)方法小結(jié)： 從數(shù)學(xué)上來講，前兩種方法更重要一些，它們體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想逼近、分類逼近、分類。它們也是數(shù)學(xué)的通性通法，在今后學(xué)習(xí)中非常有用。希望老師幫助學(xué)生掌握。 從學(xué)生認(rèn)知來說，前兩種方法也是學(xué)生容易接受的方法。它們反映了比較自然的解決問題過程。 很多老師更喜歡用第三種方法來解決類似問題，但這對于部分學(xué)生有一定難度。 代數(shù)方法： 1、量的分析 鉛筆每支4元、鋼筆每支7元 （1） 鉛筆的數(shù)量、鋼筆的數(shù)量 （2） 鉛筆和鋼筆的總量10支 （3） 一共擁有46元 （4） 其中

27、(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.這些在討論問題過程中都是不變的。2、等量關(guān)系 讓學(xué)生用自然語言敘述等量關(guān)系 等量關(guān)系1：鉛筆、鋼筆的數(shù)量之和是10支。 等量關(guān)系2：買鉛筆和鋼筆的費(fèi)用之和是46元。 3、設(shè)未知數(shù)、列方程 第一種列方程方式：設(shè)未知量鉛筆的支數(shù)為x， 利用等量關(guān)系1：鋼筆的數(shù)量為10-x, 這樣，利用等量關(guān)系2，有： 4x+7(10-x)=46 。 第二種列方程方式： 設(shè)鉛筆的支數(shù)為x，鋼筆的支數(shù)為y，則 x + y=10 （利用等量關(guān)系1） 4x+7y=46 （利用等量關(guān)系2） 4、 解方程。適度拓展巧設(shè)練習(xí) 在熟練操作的背景下產(chǎn)生智慧在熟練操作的背景下產(chǎn)生智慧 熟能

28、生巧熟能生巧“熟熟”，表示反復(fù)地按照，表示反復(fù)地按照現(xiàn)有程序進(jìn)行操作，達(dá)到得心應(yīng)手的程現(xiàn)有程序進(jìn)行操作，達(dá)到得心應(yīng)手的程度，以至于形成一種習(xí)慣。度，以至于形成一種習(xí)慣。“巧巧”代表代表一種新的智慧一種新的智慧“對基本概念的理解要變?yōu)橹庇X對基本概念的理解要變?yōu)橹庇X”楊振寧楊振寧思維需要效率思維需要效率記憶通向理解記憶通向理解速度贏得效率速度贏得效率嚴(yán)謹(jǐn)形成理性嚴(yán)謹(jǐn)形成理性重復(fù)依靠變式重復(fù)依靠變式 (1)(1)變式引領(lǐng)下的數(shù)理演練變式引領(lǐng)下的數(shù)理演練什么是變式？抽象的概念需要熟悉什么是變式？抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。變廣泛、眾多的事物才得以形成。變式就是從不同的角度組織感性材料

29、，式就是從不同的角度組織感性材料，變換事物的非本質(zhì)特征，在各種表變換事物的非本質(zhì)特征，在各種表現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征，從現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征，從而使學(xué)生對概念的理解達(dá)到越來越而使學(xué)生對概念的理解達(dá)到越來越高的概括化程度。高的概括化程度。通過變式教師為學(xué)生的思維提供了通過變式教師為學(xué)生的思維提供了一個(gè)階梯，重復(fù)而不呆板。每個(gè)便一個(gè)階梯，重復(fù)而不呆板。每個(gè)便是具有創(chuàng)新的意味，但又能夯實(shí)基是具有創(chuàng)新的意味，但又能夯實(shí)基礎(chǔ)。礎(chǔ)。 原問題：原問題：小明從學(xué)校去往同學(xué)家，前一段路程乘車用小明從學(xué)校去往同學(xué)家，前一段路程乘車用了了1515分鐘，后一段路程步行也用了分鐘，后一段路程步行也用了1515

30、分鐘。分鐘。其中，車子行駛的速度是其中，車子行駛的速度是18km/h18km/h，步行的速，步行的速度是度是3 km/h3 km/h。小明去同學(xué)家的平均速度是多。小明去同學(xué)家的平均速度是多少？少？ 變式一：變式一：小明從學(xué)校去往同學(xué)家，去時(shí)以小明從學(xué)校去往同學(xué)家，去時(shí)以4km/h4km/h的速度的速度走了走了4 4小時(shí)，原路返回以小時(shí)，原路返回以3km/ h3km/ h的速度行走，的速度行走，求他來回的平均速度。求他來回的平均速度。同原水平：不存在抽象，不加深對問題中核同原水平：不存在抽象，不加深對問題中核心概念的理解。心概念的理解。 變式二變式二 小明從學(xué)校去往同學(xué)家，前一半時(shí)間以小明從學(xué)校

31、去往同學(xué)家，前一半時(shí)間以4km/h4km/h的速度行走，后一半時(shí)間以的速度行走，后一半時(shí)間以3km/h3km/h的的速度行走，求他的平均速度。速度行走，求他的平均速度。 高一級水平思維：通常，解決速度的問題，高一級水平思維：通常，解決速度的問題，我們需要求出路程、時(shí)間，現(xiàn)在時(shí)間沒有、我們需要求出路程、時(shí)間，現(xiàn)在時(shí)間沒有、路程也求不出。怎么辦？路程也求不出。怎么辦？ 未知數(shù)加入運(yùn)算！未知數(shù)加入運(yùn)算！ 設(shè)行走的總時(shí)間是設(shè)行走的總時(shí)間是2x2x，那么，結(jié)果就是：（那么，結(jié)果就是：（4x+3x4x+3x）2x2x。 簡簡單地：（單地：（4+34+3）2 2。發(fā)現(xiàn)，這時(shí)求平均速。發(fā)現(xiàn)，這時(shí)求平均速度，實(shí)

32、際和時(shí)間無關(guān)。在思路上可以用到度，實(shí)際和時(shí)間無關(guān)。在思路上可以用到假設(shè)。假設(shè)。 變式三：變式三：小明從學(xué)校去往同學(xué)家，先乘車以小明從學(xué)校去往同學(xué)家，先乘車以24km/h24km/h的速度行走了一半的路程，后的速度行走了一半的路程，后以以4km/h4km/h的速度步行了一半路程，求他的速度步行了一半路程，求他的平均速度。的平均速度。高一級水平：加深對問題中核心概念高一級水平：加深對問題中核心概念“平均平均”的理解。的理解。2X2X(X24+X4) 變式四：變式四： 小明賣明信片，第一天以小明賣明信片，第一天以“甲種一元甲種一元2 2張、乙種一元張、乙種一元3 3張張”的方式定價(jià)，共賣的方式定價(jià)，

33、共賣去甲種去甲種3030張、乙種張、乙種3030張，得款多少元？張，得款多少元？第二天以第二天以“兩元兩元5 5張張”方式定價(jià)，仍賣方式定價(jià)，仍賣去甲種去甲種3030張、乙種張、乙種3030張，得款多少元？張，得款多少元？ 如果是甲種如果是甲種2 2元元3 3張，乙種張，乙種1 1元元2 2張，也張，也是各賣是各賣3030張呢？張呢？ 在更高一級水平上理解問題中的核心在更高一級水平上理解問題中的核心概念。概念。數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合關(guān)注學(xué)習(xí)的策略關(guān)注學(xué)習(xí)的策略 模式化方法解決數(shù)學(xué)問題的有效策略 模式化方法就是數(shù)學(xué)建模的過程，用數(shù)學(xué)描述或解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象 案例1.圖1由五個(gè)同樣大小的圓組成,請畫一

34、條直線將該圖分成面積相等的兩個(gè)部分。 案例2：用模式化的方法解決富有有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題 小林和小紅的年齡之和是42歲，小林比小紅大16歲，5年后，小紅的年齡是多少？ 小紅存的錢是小明的3倍，麗麗存的錢比小紅少20元，如果3人共存款645元，麗麗有多少元？ 新的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)理念帶給我們諸多的不適應(yīng)從不同的視角思考，可以畫出以下幾種統(tǒng)計(jì)圖從不同的視角思考，可以畫出以下幾種統(tǒng)計(jì)圖。案例一：案例一：“某企業(yè)有某企業(yè)有5 5位股東，位股東，100100個(gè)工人個(gè)工人，1990199019921992年年3 3年間的收益情況如下年間的收益情況如下從資金分配總額繪制統(tǒng)計(jì)圖，說明老板與工人從資金分配總額繪制統(tǒng)

35、計(jì)圖，說明老板與工人“有福同享，有難同當(dāng)有福同享，有難同當(dāng)“B.B.分別以分別以19901990年的資金總額為標(biāo)準(zhǔn)，按資金分年的資金總額為標(biāo)準(zhǔn)，按資金分配的增長繪制統(tǒng)計(jì)圖，說明老板與工人的收益配的增長繪制統(tǒng)計(jì)圖，說明老板與工人的收益存在存在“剪刀差剪刀差”C.C.按平均每人收益繪制統(tǒng)計(jì)圖，則老板按平均每人收益繪制統(tǒng)計(jì)圖，則老板與工人簡直是與工人簡直是“一個(gè)在天堂，一個(gè)在地下一個(gè)在天堂，一個(gè)在地下。多數(shù)教師一般只能畫出第一種統(tǒng)計(jì)圖，多數(shù)教師一般只能畫出第一種統(tǒng)計(jì)圖，使他們覺得很尷尬，其實(shí)不是他們不會(huì)解使他們覺得很尷尬，其實(shí)不是他們不會(huì)解此題，而是不習(xí)慣這樣的開放題。此題，而是不習(xí)慣這樣的開放題。

36、例例1 1：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，這兩個(gè)：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，這兩個(gè)孩子都是女孩子的概率是多少？是一孩子都是女孩子的概率是多少？是一男一女的概率又是多少？男一女的概率又是多少？錯(cuò)誤：因?yàn)橐粋€(gè)家庭有兩個(gè)孩子的情況錯(cuò)誤：因?yàn)橐粋€(gè)家庭有兩個(gè)孩子的情況共有三種不同情況：即或者兩個(gè)都為男孩共有三種不同情況：即或者兩個(gè)都為男孩、或者都為女孩，或者是一個(gè)男孩和一個(gè)、或者都為女孩，或者是一個(gè)男孩和一個(gè)女孩，所以：女孩，所以：P P（兩個(gè)孩子都是女孩）（兩個(gè)孩子都是女孩）=P(=P(兩個(gè)孩子是兩個(gè)孩子是一男一女一男一女)=)=4121分析與正解：這是最容易出現(xiàn)的一種分析與正解：這是最容易出現(xiàn)的一種錯(cuò)誤，表面上看好

37、像是對的，實(shí)際是錯(cuò)錯(cuò)誤，表面上看好像是對的，實(shí)際是錯(cuò)的。錯(cuò)誤的原因解題者在解題過程中只的。錯(cuò)誤的原因解題者在解題過程中只重視了事件發(fā)生后的結(jié)果，沒有重視事重視了事件發(fā)生后的結(jié)果，沒有重視事件發(fā)生的過程，本題結(jié)果雖然是件發(fā)生的過程，本題結(jié)果雖然是 只有只有3種情況，但其發(fā)生的過程應(yīng)該是種情況，但其發(fā)生的過程應(yīng)該是4種不種不同的情況（一男一女的結(jié)果實(shí)際是兩種同的情況（一男一女的結(jié)果實(shí)際是兩種，兩男、兩女各一種），兩男、兩女各一種）P（兩個(gè)孩子都是女孩）（兩個(gè)孩子都是女孩）= P(P(兩個(gè)孩子是一男一女兩個(gè)孩子是一男一女)=)=三、我們的課堂要追求什么三、我們的課堂要追求什么1.1.化知識為智慧，積文化為品質(zhì)化知識為智慧，積文化為品質(zhì)( (圓周率、一年級作圓周率、一年級作文）文）2.舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境, ,平等的師生關(guān)系平等的師生關(guān)系3.3.建