圓的對稱性(第一課時)

1、精品資源3. 2圓的對稱性課時安排2 課時從容說課圓是一種特殊的圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.學(xué)生已經(jīng)通過前面的學(xué)習(xí)，能用折疊的方法得到圓是一個軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.同時結(jié)合圖形讓學(xué)生認(rèn)識一些和圓相關(guān)的概念.本節(jié)課的重點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理.本節(jié)課的難點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理的證明與“圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”的前提條件的理解及定理的證明.第二課時課 題§3.2.1 圓的對稱性（一）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)1 .圓的軸對稱性.2 .垂徑定理及其逆定理.3 .運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)

2、的計算和證明.（二）能力訓(xùn)練要求1 .經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.2 .培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神.（三）情感與價值觀要求通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神.教學(xué)重點(diǎn)垂徑定理及其逆定理.教學(xué)難點(diǎn)垂徑定理及其逆定理的證明.教學(xué)方法指導(dǎo)探索和自主探索相結(jié)合.教具準(zhǔn)備投影片兩張：第一張：做一做（記作§ 3. 2. 1 A）第二張：想一想（記作§ 3. 2. 1 B）教學(xué)過程I .創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課，師前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學(xué)能敘

3、述一下軸對稱圖形的定義？，生如果一個圖形沿著某一條直線折疊后。直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.師我們是用什么方法研究了軸對稱圖形 ？生折疊.師今天我們繼續(xù)用前面的方法來研究圓的對稱性.n.講授新課師同學(xué)們想一想：圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對 稱軸？生圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸.師是嗎？你是用什么方法解決上述問題的 ？大家互相討論一下.生我們可以利用折疊的方法， 解決上述問題.把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合, 折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸.師

4、很好.教師板書：圓是軸對稱圖形圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線.下面我們來認(rèn)識一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念.1 .圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧 (arc).2 .弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(chord).3 .直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑 (diameter).如右圖。以A、B為端點(diǎn)的弧記作 AB,瀆作“圓弧AB'或“弧AB”; 線段AB是。的一條弦，弧 CD是。O的一條直徑.注息：1 .弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor are),大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.如上圖中，以A、D為端點(diǎn)的弧有兩條：優(yōu)弧ACDG己彳ACD),劣弧AB

5、D己作AD).半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧， 簡稱半圓.半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.2 .直徑是弦，但弦不-一定是直徑.下面我們一起來做一做：(出示投影片§ 3. 2. 1 A)按下面的步驟做一做：1 .在一張紙上任意畫一個。 0,沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的 兩半部分重合.2 .得到一條折痕CD3 .在。O上任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作C所痕的垂線，得到新的折痕，其中, 點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足.4 .將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B,如上圖師老師和大家一起動手.(教師敘述步驟，師生共同操作 )師通過第一步，我們可

6、以得到什么 ？生齊聲可以知道：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸.師很好.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的?。?生我發(fā)現(xiàn)了，AMh BM弧AC或BC哪AD< BD.師為什么呢？生因?yàn)檎酆跘M與BM互相重合，A點(diǎn)與D點(diǎn)重合.師還可以怎么說呢？能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？師生共析如右圖示，連接 OA OB得到等腰4 OAB即OA= OB因CDL AB,故 OAMOBMTB是RtA,又OMK/公共邊，所以兩個直角三角形全等，則AMhBM又O O關(guān)于直徑CD對稱，所以 A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于CD對稱，當(dāng)圓?&著直徑 CD 對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧

7、BC重合.因此AM=BM弧AC或BC瓠AD= 弧BD.師在上述操作過程中，你會得出什么結(jié)論生垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.師同學(xué)們總結(jié)得很好.這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個重要性質(zhì)一 垂徑定理.在這里注意：條件中的“弦”可以是直徑.結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所 對的劣弧、優(yōu)弦.下面，我們一起看一下定理的證明：（教師邊板書，邊敘述）如上圖，連結(jié) OA OR則OA= OB在 RtA OAMfD RtAOBM,OA=OB OM= OMRtOA陣 RtAOBM. A隹 BM，點(diǎn)A和點(diǎn)墨關(guān)于 CD對稱.OO關(guān)于直徑CD對稱，當(dāng)圓沿著直徑 CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧A*弧B

8、C重合，弧AD與弧BD重合. AC=a BC,弧 AD與弧 BD重合師為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：（1） 過圓心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣 弧.即垂徑定理的條件有兩項，結(jié)論有三項.用符號語言可表述為：如圖37,在O。中，AM=BM,CD是直徑 Y 弧 AD哪 BD,'CDL AB于 mJAC= 弧 BC.下面，我們通過求解例1,來熟悉垂徑定理：例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 （即圖中弧CQ點(diǎn)。是弧CD的圓心）, 其中CD=600m E為弧CD上一點(diǎn)，且。且CD，垂足為F, EF=90

9、m.求這段彎路的半徑.師生共析要求彎路的半徑，連結(jié) OC只要求出OC的長便可以了.因?yàn)橐阎狾EL CD所以CF= 1 CD= 300 cm, OF= OE-EF,此時就得到了一個 RtACFCO哪位同學(xué)能口述一下如何求 2解？生連結(jié)oc,設(shè)彎路的半徑為 Rm則OF = （R-90）m，: OEL CDCF= CD=X 600=300（m）.據(jù)勾股定理，得oc 2=cP+oF,即 R2= 3002+（R-90） 2.解這個方程，得 R= 545.這段彎路的半徑為 545 m.師在上述解題過程中使用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，這種思想應(yīng)在今后的解題過程中注意運(yùn)用.隨堂練習(xí)：P92.1

10、.略下面我們來想一想（出示投影片§ 3. 2. 1 B）如下圖示，AB是O。的弦（不是直徑），作一條平分 AB的直徑C口交AB于點(diǎn) M 師右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么 ？ 生它是軸對稱圖形，其對稱軸是直徑 CD所在的直線.7 1 j師很好，你是用什么方法驗(yàn)證上述結(jié)論的 ？大家互相交流討論一下，（" ）你還有什么發(fā)現(xiàn)？ 生通過折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索方法類似，在一張紙上畫一個。0,作一條不是直徑的弦 AB,將圓對折，使點(diǎn) A與點(diǎn)D重合，便得到一條折痕 CD與 弦AB交于點(diǎn)M. CD就是。0的對稱軸，A點(diǎn)、B點(diǎn)關(guān)于直徑CD對稱.由軸又稱可知， ABX CD

11、弧AC瓠BC,弧AD哪BD師大家想想還有別的方法嗎 ？互相討論一下. 生如上圖，連接 0A 0B便可得到一個等腰 0AB即0A= OR又AMk MB即M點(diǎn)為 等腰 OAB底邊上的中線.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CD±AB,又CD是。0的對稱軸，當(dāng)圓沿CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合.師在上述的探討中，你會得出什么結(jié)論 ？生平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.師為什么上述條件要強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”？生因?yàn)閳A的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的.師我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個逆定理.師同學(xué)們，你能寫出它的證明過程嗎

12、？ 生如上圖，連結(jié) 0A 0B則0A= 0B.在等月0AB中， AMh MB.CD!AB（等腰三角形的三線合一）.。0關(guān)于直徑CD對稱.，當(dāng)圓沿著直徑 CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合.弧AC或BC,弧AD哪BD師接下來，做隨堂練習(xí)：P922 .如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？答：相等.；理由：如右圖示，過圓心 0作垂直于弦的直徑 EF,由垂徑定理設(shè)弧AF哪BF,弧CF哪DF,用等量減等量差相等，得弧AF-弧CF哪：BF-弧DF,即弧AC或BD,故結(jié)論成立.符合條件的圖形有三種情況：（1）圓心在平行弦外，（2）在其中一條線弦上，（3

13、）在平行弦內(nèi)，但理由相同.m.課時小結(jié)1 .本節(jié)課我們探索了圓的對稱性.2 .利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.3 .垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等 問題.W.課后作業(yè)（一）課本 P93,習(xí)題 3. 2, 1、2（ 二）1 .預(yù)習(xí)內(nèi)容：P94974 .預(yù)習(xí)提綱：(1) 圓是中心對稱圖形.(2) 圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.V.活動與探究1 .銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道.如圖所示，污水水面寬度為60 cm,水面至管道頂部距離為10 cm,問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道 ？過程讓學(xué)生在探究過程中，進(jìn)一步把實(shí)際

14、問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問 題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的 思維. 結(jié)果如右圖示，連結(jié) OA過。作OHAB,垂足為E,交圓于F,則_ 1AE=AB=30cm 令O。的半徑為 R,則 OA=R OE= OF-EF= R-10,在2RtMEO中,OA=AE2+OE,即 R2=302+(R-10) 2.解得 R=50 cm.修理人 員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道.板書設(shè)計§1.1.1 圓的對稱性(一)一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑.二、與圓有關(guān)的概念：1 .圓弧2 .弦3 .直徑 注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓. 三、垂徑定理：垂直干弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧. 例1 :略四、垂徑定理逆定理：平分弦 (不是直徑)的