幾何問題之旋轉(zhuǎn)

1、初中旋轉(zhuǎn)問題解析1. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中放置一個邊長為1的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動的在x軸上滾動，當(dāng)點(diǎn)A離開原點(diǎn)后第一次落在x軸上時，點(diǎn)A運(yùn)動的路徑線與x軸圍成的面積為【 】2.如圖，直線y=2x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作ABx軸于B，將ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到ABO，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為【 】A（1.0） B（1.0）或（1.0） C（2.0）或（0，2） D（2.1）或（2，1）3.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，BE=CF，連接CE、DF將BCE繞著正方形的中心O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到CDF的位置，則旋轉(zhuǎn)角是【 】四

2、邊形ABCD是正方形DOC=90°。故選C。二、填空題1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過點(diǎn)D作直線ABx軸。垂足為B，直線AB與直線交于點(diǎn)A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。 聯(lián)立。點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。2.如圖所示，將ABC繞AC的中點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到CDA，添加一個條件 ，使四邊形ABCD為矩形3.如圖，AOB中，AOB=90°，AO=3，BO=6，AOB繞頂點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到AOB處，此時線段AB與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，則線段BE

3、的長度為4.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線L上，將矩形ABCD沿直線L作無滑動翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為 .5.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，正三角形OEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE=BF時，AOE的大小是 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（1，0）一個電動玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對稱；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)

4、P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對稱；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱；照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2013的坐標(biāo)為 7.把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時，點(diǎn)O運(yùn)動到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動到了點(diǎn)B1處，又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為 ，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為 【答案】；?！究键c(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類循環(huán)問題），旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，弧長的計算?！痉治觥咳?/p>

5、圖，為了便于標(biāo)注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不仿向右移動一點(diǎn)，8.如圖，一段拋物線：（0x3），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x 軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x 軸于點(diǎn)A3；如此進(jìn)行下去，直至得C13若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m = 9.如圖，ABC是O內(nèi)接正三角形，將ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到DEF，DE分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，DF交AC于點(diǎn)Q，則有以下結(jié)論：DQN=30°；DNQANM；DNQ的周長等于AC的長；NQ=QC其中正確的結(jié)論是 （把所有正確的結(jié)論的序

6、號都填上）10.如圖，是兩塊完全一樣的含角的三角板，分別記作ABC和A1B1C1，現(xiàn)將兩塊三角板重疊在一起，設(shè)較長直角邊的中點(diǎn)為M，繞中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動上面的三角板ABC，使其直角頂點(diǎn)C恰好落在三角板A1B1C1的斜邊A1B1上當(dāng)A30°，AC10時，則此時兩直角頂點(diǎn)C、C1的距離是 .11.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，則BEC= 度12.菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A（0，6），D（4，0），將菱形ABCD先向左平移5個單位長度，再向下平移8個單位長度，然后

7、在坐標(biāo)平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則邊AB中點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 在坐標(biāo)平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，若是順時針旋轉(zhuǎn)，則對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，坐標(biāo)為（5，7）；若是逆時針旋轉(zhuǎn)，則對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，坐標(biāo)為（5，7）。綜上所述，邊AB中點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，7）或（5，7）。13.直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是 cm2（結(jié)果保留）三、解答題1.在ABC中，AB=AC，BAC=（），將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，BCE=150°

8、;，ABE=60°，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若DEC=45°，求的值。【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)。【分析】（1）AB=AC，BAC=，。 將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，。 。 （2）由SSS證明ABDACD，由AAS證明ABDEBC，即可根據(jù)有一個角等于等腰三角形是等邊三角形的判定得出結(jié)論。 （3）通過證明DCE為等腰直角三角形得出，由（1），從而，解之即可。2.已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=

9、6，ADBD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作RtAED，EAD=300，AED=900。（1）求AED的周長；（2）若AED以每秒2個長度單位的速度沿DC向右平行移動，得到A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時停止移動。設(shè)移動時間為t秒，A0E0D0與BDC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）如圖，在（2）中，當(dāng)AED停止移動后得到BEC，將BEC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點(diǎn)為B1，E的對應(yīng)點(diǎn)為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q。是否存在這樣的，使BPQ為等腰三角形？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請

10、說明理由。 3.如圖1，在ABC中，A=36°，AB=AC，ABC的平分線BE交AC于E（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EFBC交AB于F，將AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角（0°144°）得到AEF，連結(jié)CE，BF，求證：CE=BF；（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CEAB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，請說明理由4.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動，過程：如圖1，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q（1）求證：DP=DQ；（2）如圖2，小明在

11、圖1的基礎(chǔ)上作PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請猜測他的結(jié)論并予以證明；（3）如圖3，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動，轉(zhuǎn)動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q，仍作PDQ的平分線DE交BC延長線于點(diǎn)E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出DEP的面積5.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：CE

12、QCDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長度，即PCF周長的最小值。6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的對稱軸是直線x=2（1）求出該拋物線的解析式（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別

13、交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止旋轉(zhuǎn)請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由此種情形不存在。綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（，0），使DMF為等腰三角形?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定 ，勾股定理，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥浚?）根據(jù)拋物線過原點(diǎn)和對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式。（2）如答圖1所述，證明RtPAERtPGF，則有，的值

14、是定值，不變化。 若DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。7.如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到COD（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ，線段AD的長等于 ；（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由FCE=PCE。，解得： ，x2=0（舍去）。菱形CFEP的周長l為：）。8.小明合作學(xué)習(xí)小組在

15、探究旋轉(zhuǎn)、平移變換如圖ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F(xiàn)（，）（1）他們將ABC繞C點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)450得到A1B1C請你寫出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF的位置關(guān)系； （2）他們將ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)450，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上請你求出符合條件的拋物線解析式；（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將ABC繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)請你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，易知此時BC與

16、一、三象限角平分線平行，設(shè)直線BC的解析式為y=x+b。聯(lián)立y=x2與y=x+b得：x2=x+b，即，。BC=1，根據(jù)題意易得：，即。，解得。逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖4所示，與同理，可求得：P（，）。9.如圖1，點(diǎn)A是軸正半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)。將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)900得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)。連結(jié)AC，BC，CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，（1）當(dāng)=2時，求CF的長；（2）當(dāng)為何值時，點(diǎn)C落在線段CD上；設(shè)BCE的面積為S，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式

17、；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時，將CDF沿軸左右平移得到，再將A，B，為頂點(diǎn)的四邊形沿剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形。請直接寫出符合上述條件的點(diǎn)坐標(biāo)，10.在平面直角坐標(biāo)系x、y中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，AOC的平分線交AB于點(diǎn)D點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動設(shè)移動時間為t秒（1）當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)D時，求出此時t的值；（2）當(dāng)t為何值時，PQB為直角三角形；（3）已知過O、P、Q三點(diǎn)的拋物線解析式為（t0）問是否存在某一時刻t，將PQB

18、繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由11.根據(jù)要求，解答下列問題：（1）已知直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y=x，請直接寫出過原點(diǎn)且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，過原點(diǎn)的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為300求直線l3的函數(shù)表達(dá)式；把直線l3繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900得到的直線l4，求直線l4的函數(shù)表達(dá)式（3）分別觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達(dá)式，請猜想：當(dāng)兩直線垂直時，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)之間有何關(guān)系？請根據(jù)猜想結(jié)論直接寫出過原點(diǎn)且與直線垂直的直線l5的函數(shù)表達(dá)式【答案】解：（1）根據(jù)題

19、意得：y=x。（2）設(shè)直線l3的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x（k10），過原點(diǎn)的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為300，直線過一、三象限，k1=tan300=，直線l3的函數(shù)表達(dá)式為。；12.如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tanBAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到DOC，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，其坐標(biāo)為t，設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)CEF與COD相似時，點(diǎn)P的坐標(biāo)；是否存在一點(diǎn)P，使PCD得面積最大？若存在，求出PCD的面積的最大值

20、；若不存在，請說明理由13.如圖，矩形ABCD中，ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)（1）當(dāng)PEAB，PFBC時，如圖1，則的值為 ；（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)（0°60°）角，如圖2，求的值；（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論14.操作發(fā)現(xiàn)將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直

21、角三角板DEF的長直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）動點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動點(diǎn)P從點(diǎn)A同時出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（秒）（0t5）以P為圓心，PA長為半徑的P與AB、OA的另一個交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連結(jié)CD、QC（1）求當(dāng)t為何值時，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）設(shè)QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并

22、求S的最大值？（3）若P與線段QC只有一個交點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍16. 閱讀材料：如圖，ABC與DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=900，且點(diǎn)D 在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O,連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明BOFCOD，則BF=CD。解決問題：（1）將圖中的RtDEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖，若ABC與DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O,上述（1）中結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，若ABC與DEF都是等腰三角形，AB、

23、EF的中點(diǎn)均為O,且頂角ACB=EDF=，請直接寫出的值（用含的式子表示出來）。（3）。17.用如圖，所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個探究問題：探究一：將以上兩個三角形如圖拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時，求PAB的度數(shù)探究二：如圖，將DEF的頂點(diǎn)D放在ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)DEF，使DEF的兩直角邊與ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN在旋轉(zhuǎn)DEF的過程中，AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最

24、小值；若不存在，請說明理由18.如圖，在RtABC中，C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至APAB時，點(diǎn)B、P、P恰好在同一直線上，此時作PEAC于點(diǎn)E（1）求證：CBP=ABP；（2）求證：AE=CP；來源:#中國教育出&版網(wǎng)（3）當(dāng)，BP=時，求線段AB的長【答案】解：（1）證明：AP是AP旋轉(zhuǎn)得到，AP=AP。APP=APP。【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得APP=APP，再根據(jù)等角的余角相等證明即可。（2）過點(diǎn)P作PDAB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=

25、DP，然后求出PAD=APE，利用“角角邊”證明APD和PAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證。（3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，再求出ABP和EPP相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出，然后在RtABP中，利用勾股定理列式求解即可。19.一透明的敞口正方體容器ABCD -ABCD 裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為 （CBE = ，如圖1所示）探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB 交于點(diǎn)Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如 圖2所示解決問題：（1）CQ與

26、BE的位置關(guān)系是 ，BQ的長是 dm； （2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液 = 底面積SBCQ×高AB） （3）求的度數(shù).(注：sin49°cos41°，tan37°)拓展 在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.若液面與棱CC或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC = x，BQ = y.分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的范圍.延伸 在圖4的基礎(chǔ)上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板（厚度忽略不計），得到圖5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.繼續(xù)向右緩

27、慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng) = 60°時，通過計算，判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4 dm3.20.如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=900，B=E=300.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時，填空： 線段DE與AC的位置關(guān)系是 ； 設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2。則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 。（2）猜想論證 當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想。（3）拓展探究已知ABC=600，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，

28、BD=CD=4，OEAB交BC于點(diǎn)E（如圖4），若在射線BA上存在點(diǎn)F，使SDCF =SBDC,請直接寫出相應(yīng)的BF的長21.數(shù)學(xué)活動求重疊部分的面積。問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。求重疊部分（DCG）的面積。（1）獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題。（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DEAB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(DGH)的面積

29、嗎？請寫出解答過程。（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分(DMN)的面積。任務(wù)：請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出DMN的面積是 .請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。22.如圖1，已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，且。（1）求拋物線C的解析式；（2）將拋物線C繞原點(diǎn)O

30、旋轉(zhuǎn)1800得到拋物線，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，B為拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)。若P為線段AB上一動點(diǎn)，PDy軸于點(diǎn)D，求APD面積的最大值；過線段OA上的兩點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，交折線OBA于E1、F1，再分別以線段EE1、FF1為邊作如圖2所示的等邊AE1E2、等邊AF1F2，點(diǎn)E以每秒1個長度單位的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)F以每秒1個長度單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)AE1E2有一邊與AF1F2的某一邊在同一直線上時，求時間t的值。 當(dāng)時，E1在OB上，F(xiàn)1在AB上， OE=t，EE1=4t，EG=，OG=，GE2=2t； OF=，F(xiàn)F1=2t，HF=，OH=，HF2= t。 E（t

31、，0），E1（t，4t），E2（，2t），F(xiàn)（6t，0），F(xiàn)1（，2t），F(xiàn)2（，t）。 23.通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補(bǔ)充完整。原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。（1）思路梳理AB=CD，把ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，可使AB與AD重合。ADC=B=90°，F(xiàn)DG=180°，點(diǎn)F、D、G共線。根據(jù)，易證AFG，得EF=BE+DF。（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90°

32、，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，EAF=45°。若B、D都不是直角，則當(dāng)B與D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF。（3）聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。 （3）根把ABD繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ACG，可使AB與AC重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得到BD2+EC2=DE2。24.將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中A1CB1=ACB=90°，A1=A=30°（1）將圖中的A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45&#

33、176;得圖，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1=CQ；（2）在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？（3）如圖，在B1C上取一點(diǎn)E，連接BE、P1E，設(shè)BC=1，當(dāng)BEP1B時，求P1BE面積的最大值25.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A（6，0），過點(diǎn)E（2，0）作EFAB，交BO于F；（1）求EF的長；（2）過點(diǎn)F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點(diǎn)H、G；根據(jù)上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明；過點(diǎn)G作直線GDAB，交x軸于點(diǎn)D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點(diǎn)），使它與GD有公共點(diǎn)P如圖2所示，當(dāng)直線l繞點(diǎn)

34、F旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，證明：，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍（不必說理）；（3）在（2）中，若點(diǎn)M（2，），探索2PO+PM的最小值又NK+KMMN=8，當(dāng)點(diǎn)K在線段MN上時，等號成立。當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時，2OP+PM的值最小，最小值為8。【考點(diǎn)】幾何綜合題，旋轉(zhuǎn)和幾何最值問題，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)。【分析】（1）利用正方形與平行線的性質(zhì)，易求線段EF的長度26.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，連接AP，并把AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

35、，使邊AO與AB重合，得到ABD（1）求直線AB的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（，0）時，求此時DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P，使OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如答圖1，過點(diǎn)B作BEy軸于點(diǎn)E，作BFx軸于點(diǎn)F。由已知得：BF=OE=2，。點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，2）。設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k0），則有當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時；即t0時當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時，即t時。綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。27.如圖，已知OAB的頂點(diǎn)A（6，0），B（0，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將OAB繞點(diǎn)O按順時針

36、旋轉(zhuǎn)90°，得到ODC（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）證明ABBE28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx2 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）點(diǎn)M、N在x軸上，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，MN=2以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，CMN=90°設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（2）求點(diǎn)C在這條拋物線上時m的值（3）將線段CN繞點(diǎn)N逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對應(yīng)線段DN當(dāng)點(diǎn)D在這條拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點(diǎn)E在這條

37、拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值（參考公式：拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）29.在ABC中，ACB=90°，A45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M（1）如圖1，當(dāng)A=30°時，求證：MC2=AM2+BC2；（2）如圖2，當(dāng)A30°時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說明理由；（3）將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M，直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎？答： （填“成立”或“不成立”）30. 將ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到DBE，DE的延長線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA、BF（1）如圖1，若ABC=60°，BF=AF求證：DABC；猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，若ABC，BF=mAF（m為常數(shù)），求的值（用含m、的式子表示）（2）如答圖1所示，作輔助線（在DF上截取DG=AF，連接BG），構(gòu)造全等三角形DBGABF，得到BG=BF，DBG=ABF；進(jìn)而證明BGF為等邊三角形，則GF=BF=AF