2022年2022年全等三角形的性質(zhì)和判定

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載全等三角形的性質(zhì)和判定要點一.全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.要點二.對應頂點,對應邊,對應角1.對應頂點,對應邊,對應角定義兩個全等三角形重合在一起,重合的頂點叫對應頂點,重合的邊叫對應邊,重合的角叫對應角 .要點詮釋：在寫兩個三角形全等時, 通常把對應頂點的字母寫在對應位置上,這樣簡單找出對應邊.對應角 . 如下圖, abc與 def全等,記作 abc def,其中點a 和點 d,點 b 和點 e,點 c 和點 f 為對應頂點； ab 和 de,bc和 ef,ac和 df為對應邊； a 和 d, b 和 e, c和 f 為對應角 .要

2、點三.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等.要點四.全等三角形的判定（sss.sas.asa.aas.hl）全等三角形判定一（ sss,sas）全等三角形判定1“邊邊邊”三邊對應相等的兩個三角形全等. （可以簡寫成“邊邊邊”或“sss”）.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載要點詮釋： 如圖,假如a' b ' c ' .a ' b ' ab,a ' c ' ac, b ' c ' bc,就 abc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載要點二.全等三角形判定2“邊角邊”1. 全等三

3、角形判定2“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或 “ sas”） .1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載要點詮釋： 如圖,假如ab a ' b ' , aa ' , ac a 'c ' ,就 abc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 a' b' c ' .留意：這里的角,指的為兩組對應邊的夾角.2. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等,兩個三角形不肯定全等.如圖, abc 與 abd 中, abab,ac ad, b b,但 ab

4、c 與 abd 不完全重合, 故不全等, 也就為有兩邊和其中一邊的對角對應相等,兩個三角形不肯定全等 .【典型例題】類型一.全等三角形的判定1“邊邊邊”1.已知：如圖, rpq中, rp rq,m為 pq的中點求證： rm平分 prq證明： m為 pq的中點（已知）,pmqm在 rpm和 rqm中, rprq已知、pmqm 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載rmrm公共邊精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 rpm rqm（sss） prm qrm（全等三角形對應角相等） 即 rm平分 prq.舉一反三：【變式】已知：如圖, adbc, acbd.試證明： cad db

5、c.2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載類型二.全等三角形的判定2“邊角邊”2.已知：如圖, ab ad,ac ae, 1 2 求證： bcde證明： 1 2 1 cad 2 cad,即 bac dae在 abc和 ade中abadbacdae acae abc ade（sas）bcde（全等三角形對應邊相等）3.如圖,將兩個一大.一小的等腰直角三角尺拼接（ a.b.d三點共線,abcb,ebdb, abc ebd90°）,連接 ae.cd,試確定 ae 與cd的位置與數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論證明：延長 ae交 cd于 f, abc和 dbe為等腰直角三角形abbc,bd

6、be 在 abe和 cbd中3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載abbcabecbd90 bebd abe cbd（sas）aecd, 1 2又 1 390°, 3 4（對頂角相等） 2 490°,即 afc90°ae cd舉一反三：【變式】已知：如圖, pcac, pbab,ap平分 bac,且 abac,點 q 在 pa上,求證： qcqb類型三.全等三角形判定的實際應用4.“三月三,放風箏” 下圖為小明制作的風箏,他依據(jù)dedf, ehfh,不用度量,就知道 deh dfh請你用所學的學問證明【答案與解析】證明：在 deh和 dfh中,4精品學習

7、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載de dfeh fh dhdh deh dfhsss deh dfh精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一.挑選題1. abc和a ' b 'c ' 中,如 ab a ' b' ,bc b ' c ',ac a ' c '. 就（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a. abca' c ' b 'b. abca ' b 'c '精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c. abcc ' a '

8、b 'd. abc c ' b ' a'精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2. 如圖,已知 ab cd,adbc,就以下結(jié)論中錯誤選項（）a.abdcb.b dc.a cd.ab bc3. 以下判定正確選項（）a. 兩個等邊三角形全等b. 三個對應角相等的兩個三角形全等c. 腰長對應相等的兩個等腰三角形全等d. 直角三角形與銳角三角形不全等6.如圖,已知 ab bd于 b,ed bd于 d,abcd,bc ed,以下結(jié)論不正確選項（）a.ecacb.ec acc.ed ab dbd.dccb二.填空題9.如圖,在 abc和 efd中, adfc,ab

9、 fe,當添加條件 時,就可得 abc efd（ sss）10.如圖, ac ad,cb db, 2 30°, 326°,就 cbe .5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載12. 已知,如圖, abcd,ac bd,就 abc, adc.三.解答題13. 已知：如圖,四邊形abcd中,對角線 ac.bd相交于 o, adc bcd,ad bc,求證： co do14. 已知：如圖, abcd,ab cd求證： adbc分析：要證 ad bc,只要證 ,又需證 證明：ab cd （）, （）,在 和 中, 、 、 、 （） （） （）6精品學習資料精選學習資料 -

10、 - - 歡迎下載15. 如圖,已知 abdc, acdb,be ce求證： aede.全等三角形判定3“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或 “ asa”） .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載要點詮釋： 如圖,假如 aa' b ' c ' .a ' , aba ' b ' , bb ' ,就 abc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載要點二.全等三角形判定4“角角邊”1. 全等三角形判定4“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成 “角角邊”或“ a

11、as”）2. 三個角對應相等的兩個三角形不肯定全等.如圖,在 abc和 ade中,假如 de bc,那么 ade b, aed c,又 a a,但 abc和 ade不全等 . 這說明,三個角對應相等的兩個三角形不肯定全等 .要點三.判定方法的挑選1. 挑選哪種判定方法,要依據(jù)詳細的已知條件而定,見下表：已知條件可挑選的判定方法一邊一角對應相等sas aas asa兩角對應相等asa aas兩邊對應相等sassss7精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載類型一.全等三角形的判定3“角邊角”1.已知：如圖, e,f 在 ac上, adcb且 adcb, d b 求證： aecf證明： ad

12、cb a c在 adf與 cbe中acadcbdb adf cbe（ asa）af ce ,afef ceef故得： aecf舉一反三：【變式】如圖, abcd, afde,be cf.求證： abcd.類型二.全等三角形的判定4“角角邊”2.已知：如圖, ab ae,ad ac, e b,de cb 求證： adac8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明： abae,adac, cad bae 90° cad dab bae dab,即 bac ead在 bac和 ead中bacead becb=de bac ead（ aas） ac ad舉一反三：【變式】如圖,ad

13、為 abc的中線, 過 c.b 分別作 ad及 ad的延長線的垂線cf. be.求證： becf.【答案】證明： ad為 abc的中線bd cdbe ad,cfad, bed cfd90°,在 bed和 cfd中bedcfdbdecdf（對頂角相等） bdcd bed cfd（aas） becf9精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.已知：如圖, ac與 bd交于 o點, abdc, abdc（1）求證： ac與 bd相互平分；（2）如過 o點作直線 l ,分別交 ab.dc于 e.f 兩點, 求證： oe of.證明： abdc在 abo與 cdo中a c精品學習資料精

14、選學習資料 - - - 歡迎下載aob ab=cdcod 對頂角相等）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 abo cdo（ aas） aoco ,bo=do在 aeo和 cfo中a c ao=co精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載aoecof對頂角相等）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 aeo cfo（ asa） oeof.一.挑選題1.能確定 abc def的條件為（） aab de,bcef, a e bab de,bcef, c e c a e, abef, b d d a d, abde, b e2如圖,已知 abc 的六個元素,就下面甲.乙.丙三

15、個三角形中,和abc全等的圖形為（）圖 43a甲和乙b乙和丙c只有乙d只有丙10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3ad為 abc的角平分線,作 de ab于 e,df ac于 f,以下結(jié)論錯誤選項（） ade dfbae afcbdcdd ade adf 4 如圖,已知 mbnd, mba ndc,以下條件不能判定 abm cdn的為（）a m nbab cdcamcndamcn6如圖, 1 2, 3 4,下面結(jié)論中錯誤選項（）a adc bcdb abd bacc abo cdod aod boc二.填空題7. 如 圖 、 1 2 , 要 使 abe ace , 仍 需 添 加

16、 一 個 條 件為. 填上你認為適當?shù)囊粋€條件即可.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載8. 在 abc和a ' b ' c ' 中,a44°, b 67°, c ' 69°,b ' 44°,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載且 acb ' c ',就這兩個三角形 全等. （填“肯定”或“不肯定” ）9. 已知,如圖,abcd,afde,afde,且 be 2,bc10,就 ef .11.如圖 、已知： 1 2 、3 4 、要證bd cd 、需先證 aeb aec 、依據(jù)為,再

17、證 bde, 依據(jù)為11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載12.已知: 如圖, b def,ab de,要說明 abc def,（1）如以“ asa”為依據(jù),仍缺條件（2）如以“ aas”為依據(jù),仍缺條件（3）如以“ sas”為依據(jù),仍缺條件三.解答題13閱讀下題及一位同學的解答過程：如圖,ab和 cd相交于點 o,且 oaob, a c那么 aod與 cob全等嗎？如全等,試寫出證明過程；如不全等, 請說明理由答： aod cob證明：在 aod和 cob中,ac 已知 、oaob已知 、aodcob 對頂角相等 、aod cob（asa）問：這位同學的回答及證明過程正確嗎？為什

18、么？14. 已知如圖, e.f 在 bd上,且 abcd,bf de,aecf,求證： ac與 bd相互平分 .12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載15. 已知：如圖 、abcd、 oa od、 bc過 o點、點 e.f 在直線 aod上、且 ae df.求證： eb cf.要點一.判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知, 對于兩個直角三角形, 滿意一邊一銳角對應相等, 或兩直角邊對應相等, 這兩個直角三角形就全等了. 這里用到的為 “ aas”,“asa”或“ sas”判定定理 .要點二.判定直角三角形全等的特別方法斜邊,直角邊定理在兩個直角三角形中, 有斜邊和一條

19、直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成 “斜邊.直角邊” 或“hl”）. 這個判定方法為直角三角形所獨有的,一般三角形不具備 .【典型例題】類型一.直角三角形全等的判定“hl”1. 已知：如圖, abbd,cdbd,ad bc求證：（1） abcd：（2） adbc證明：（1） abbd,cdbd, abd cdb90°13精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載在 rt abd 和 rt cdb中,ad bc bddbrtabd rtcdb（ hl）abcd（全等三角形對應邊相等）（2）由 adb cbd adbc .舉一反三：【變式】已知：如圖, aeab, bca

20、b,ae ab,ed ac 求證： edac2. 判定滿意以下條件的兩個直角三角形為否全等,不全等的畫“×”,全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應相等；（）（2）一個銳角和斜邊對應相等；（）（3）兩直角邊對應相等；（）（4）一條直角邊和斜邊對應相等（）舉一反三：【變式】以下說法中,正確的畫“” ；錯誤的畫“×”,并舉出反例畫出圖形 .（1）一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等（）（2）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等（）（3）有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等（）3.已知：如圖, ac bd,ad ac,bcbd 求證： adbc；14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：連接 dcad ac,bc bd dac cbd90°在 rt adc與 rtbcd中,dccd acbdrt adcrtbcd（ hl）ad bc . （全等三角形對應邊相等）舉一反三：【變式】已知,如圖, ac.bd相交于 o,ac bd, c d 90° .求證： oc od.4.如圖,將等腰直角三角形abc的直角頂點置于直線l 上,且過 a,b 兩點分別作直線 l 的垂線,垂足分別為d,e,請你在