(word完整版)一元二次方程根的分布情況歸納(完整版),推薦文檔

1、1 二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納 2 2 1、一元二次方程ax bx c 0根的分布情況 設(shè)方程ax2 bx c 0 a 0的不等兩根為X|,x2且論 x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為 f x ax2 bx c 0，方程的 根即為二次函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件） 表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況） b 2a f 0 分布情況 兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于 0 0 x1 0, x2 0 兩個(gè)正根即兩根都大于 0 0 X 0, x2 0 一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于 0 0, 一個(gè)大于 0 0 捲 0 x2 得出的結(jié)論 b 2a b 2a 0

2、綜合結(jié)論不討論a b 2a b 2a 得出的結(jié)論 b 2a f 0 2 表二：（兩根與k的大小比較） 分布情況 兩根都小于k即 兩根都大于k即 一個(gè)根小于k，一個(gè)大于k即 Xi k, x2 k x1 k, x2 k x1 k x2 o 大致圖象 a 得出的結(jié)論 o 大致圖象 a k k 0 0 0 0 f k 0 b 2a k b 2a k 得出的結(jié)論 b 2a k b 2a k 綜合結(jié)論不討論a b 2a b 2a 3 表三：（根在區(qū)間上的分布） 兩根有且僅有一根在 m, n內(nèi) （圖象有兩種情況，只畫了一種） 一根在m,n內(nèi)，另一根在 p,q 內(nèi)，m n p q 根在區(qū)間上的分布還有一種情況

3、：兩根分別在區(qū)間 m,n夕卜，即在區(qū)間兩側(cè) x1 m, x2 n ,（圖形分別如下）需滿 足的條件是o 大致圖象 a 得出的結(jié)論 o 大致圖象 a mp O n o得出的結(jié)論 綜合結(jié)論不討論a 分布情況 兩根都在m, n內(nèi) 4 f n 0 對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說明: (1)兩根有且僅有一根在 m, n內(nèi)有以下特殊情況: 若f m 0或f n 0，則此時(shí)f mg f n 0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為 m或n，可以 求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間 m,n內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程 mx2 m 2 x 2 0在區(qū)間 2 2 2 2 1,3上有一根，因?yàn)閒

4、1 0，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根為 ，由1 3得 m 2 m m 3 即為所求； 方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間 m,n內(nèi)，即 0，此時(shí)由 0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶 入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程 根的分布練習(xí)題 f m 0 (2) a 0時(shí)， f n 0 2 x 4mx 2m 6 0 有 且一根在區(qū)間 3,0內(nèi)，求m的取值范圍。分析：由f 3 gf 0 0即 14m 15 m 3 0得出 3 m & ； 14 由 0 即 16m2 4 2m 6 0得出m 1或m -，當(dāng)m 1時(shí), 2 2 3

5、,0，即 m 1滿足題意; 3,0，故 m -不滿足題意；綜上分析，得出 2 蘭或m 1 14 例 1 1、 已知二次方程 2m x2 2mx m 1 0有一正根和一負(fù)根, 求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 解：由 2m 1 gf 2m 1 m 1 0，從而得 2 m 1即為所求的范圍。 例 2 2、已知方程2x2 m 0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 5 解：由 0 m 1 0 2g2 f 0 0 8m m 3 2.2 或 m 3 2,2 m 0 6 0 m 3 2.2或m 3 2.2即為所求的范圍。 2 例 3 3、已知二次函數(shù) y m2x 2m 4 x 3m 3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于

6、1 1，一個(gè)小于 1 1,求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。 1 解：由 m 2 gf 1 0即 m 2 g2m 1 0 2 m 即為所求的范圍。 2 例 4 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于 1 1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 , _ _ _ _ _ _ .一 . . 一 一. 1 解：由題意有方程在區(qū)間 0,1上只有一個(gè)正根，則f 0 gf 1 0 4g 3m 1 0 m 即為所求范圍。 3 (注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在 0,1內(nèi)，由 0計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì) 算量稍大) 例 1 1、當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù) a的取值范

7、圍： (1) 方程x2 ax a2 7 0的兩個(gè)根一個(gè)大于 2 2，另一個(gè)小于 2 2 ； (2) 方程7x (a 13)x a a 2 0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)上； (3) 方程x2 ax 2 0的兩根都小于 0 0； 變題：方程x2 ax 2 0的兩根都小于 1 1. (4) 方程x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0的兩根都在區(qū)間1,3上; (5) 方程x ax 4 0在區(qū)間(1 1, 1 1) 上有且只有一解； 例 2 2、已知方程x2 mx 4 0在區(qū)間1 1, 1 1上有解，求實(shí)數(shù) m m 的取值范圍. 例 3 3、已知函數(shù) f (x) f (x) m

8、x2 (m 3)x 1的圖像與 x x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù) m m 的取值范圍. 檢測(cè)反饋： 2 1 1 1 .若二次函數(shù)f (x) x (a 1)x 5在區(qū)間(一,1)上是增函數(shù)，則f (2)的取值范圍是 _ . 2 2 2若 、 是關(guān)于 x x 的方程x2 2kx k 6 0的兩個(gè)實(shí)根,則(1)2 ( 1)2的最小值為 _ . 3 3若關(guān)于x的方程x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在(0,1)內(nèi)，則 m m _ _ _. 4.4. 對(duì)于關(guān)于 x x 的方程 x x2+(2m 1)x+4 2m=0+(2m 1)x+4 2m=0 求滿足下列條件的 m m 的取值范圍：

9、(1 1)有兩個(gè)負(fù)根 (2 2)兩個(gè)根都小于 1 1 (3 3) 一個(gè)根大于 2 2，一個(gè)根小于 2 2 (4 4)兩個(gè)根都在(0 0 , 2 2)內(nèi) (5 5) 一個(gè)根在(2(2, 0)0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1 (1 , 3)3)內(nèi) (6 6) 一個(gè)根小于 2 2, 個(gè)根大于 4 4 (7) 在(0 0, 2 2)內(nèi)有根 (8) 一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大 2 5.5. 已知函數(shù)f(x) mx x 1的圖像與 x x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù) m m 的取值范圍。7 2、二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n上的最大、最小值問題探討 設(shè)f x ax2 bx c 0 a 0 ,則二次函數(shù)在閉

10、區(qū)間 m, n上的最大、最小值有如下的分布情況： 對(duì) 于 開 口 向 下 的 情 況 ， 討 論 類 似 。 其 實(shí) 無 論 開 口 向 上 還 是 向 下 ， 都 只 有 以 下 兩 種 結(jié) 論 : (1(1)若 b 2a m,n ，則f X max max f m , f b 2a ,f n ，f x min min f m, f b 2a， f n (2(2) ) 若 b 2a m, n ，則 f x max max f m , f n ，f X min min f m ,f n 另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開 x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下 時(shí)，

11、自變量的取值離開 x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí) 二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個(gè)方面入手：開口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例題 各代表一種情況。 例 1 1、函數(shù)f x ax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值 5 5 和最小值 2 2,求a, b的值。 解：對(duì)稱軸 x0 1 2,3 ，故函數(shù)f x在區(qū)間2,3上單調(diào)。 , f x f 3 3a b 2 5 a 1 （1 1） 當(dāng) a 0時(shí)， 函數(shù)1 f x在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，故 max f X min f 2 2 b 2 b 0 f x f 2 b 2 5 a 1 （2 2）

12、當(dāng) a 0時(shí)， 函數(shù)1 f x在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，故 max f X min f 3 3a b 2 2 b 3 例 2 2、求函數(shù)f x x2 2ax 1, x 1,3的最小值。 解：對(duì)稱軸 X。 a 2a b n即b 2a 2a m,n b m n 2a 圖象 最大、最小值 f x max f x min f x max max f n , f m f X max b 2a f x min x min 8 （1 1） 當(dāng) a 1 時(shí)，ymin f 1 2 2a(2 2)當(dāng) 1 a 3 時(shí)，ymin f a 1 2 a ;(3 3)當(dāng) a 3 時(shí)，ymin f 3 10 6a 9 2 2本

13、題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行? 解： (1 1)當(dāng) 1 a 1時(shí)，f x max f 3 10 6a，f x min f 1 2 2a ； (2 2)當(dāng) 當(dāng)1 a 2時(shí)， f x max f 3 10 6a f X min f a 1 a2 ； (3 3)當(dāng) 當(dāng)2 a 3時(shí), f x f 1 2 2a , f x f a 1 a2 ； max min (4 4)當(dāng) 當(dāng)a 3時(shí)，f :x max f 1 2 2a , f x min f 3 10 6a。 改：1 1 本題若修改為求函數(shù)的最大值, 過程又如何? 解：(1 1)當(dāng)a 2時(shí)，f x max 10 6a ； (2)當(dāng) a 2時(shí)，f x max 2a。 例 3 3、求函數(shù)y x2 4x 3在區(qū)間 t,t 1 上的最小值。 解：對(duì)稱軸 Xo (1(1)當(dāng) 2 2 t 即 t 2 時(shí)，ymin t t2 4t 3 ； (2 2)當(dāng)