高中數(shù)學(xué)人教A版必修三教學(xué)案：第二章 第2節(jié) 第2課時 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征含答案

1、起第2課時用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p71p78，回答下列問題(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各是什么樣的數(shù)？提示：見本課時歸納總結(jié)，核心必記(1)(2)你能說出教材p72思考中樣本的中位數(shù)與樣本中位數(shù)估計值為什么不一樣嗎？提示：頻率分布直方圖已經(jīng)損失了一些基本的信息，因而通過頻率分布直方圖只能估計樣本的中位數(shù)，而不能得到樣本的準(zhǔn)確的中位數(shù)(3)標(biāo)準(zhǔn)差和方差各指什么？提示：見本課時歸納總結(jié)，核心必記(2)2歸納總結(jié)，核心必記(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位

2、置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)取得的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一般記為(x1x2xn)(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則s.方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2 即為方差， 則s2(x1)2(x2)2(xn)2問題思考(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有多個嗎？中位數(shù)是否也有相同的結(jié)論？提示：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，但中位數(shù)有且只有一個(2)在頻率分布直方圖中如何求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？提示：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標(biāo)；中位數(shù)

3、左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點：(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念： ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的公式： .現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下(單位：年)甲：3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10乙：4, 6, 6, 6, 8, 9, 12, 13丙：3, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12思考1三家廣告中都稱其產(chǎn)品使用壽命為8年，你能說明為什么嗎？名師指津：三個廠家從不同的角度進(jìn)行了說明，以宣傳自己

4、的產(chǎn)品其中甲：眾數(shù)為8年，乙：平均數(shù)為8年，丙：中位數(shù)為8年思考2眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各有什么優(yōu)缺點？名師指津：三種數(shù)字特征的比較：眾數(shù)：優(yōu)點是體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，容易計算；缺點是只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息，無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)：優(yōu)點是不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響，容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息；缺點是對極端值不敏感平均數(shù)：優(yōu)點是代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量，一般情況下可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息；缺點是任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，數(shù)據(jù)越“離群”對平均值的影響越大講一講1某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員

5、高級技工工人學(xué)徒合計月工資(元)22 0002 5002 2002 0001 00029 700人數(shù)16510123合計22 00015 00011 00020 0001 00069 000(1)指出這個表格中月工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)這個表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？嘗試解答(1)由表格可知，眾數(shù)為2 000元把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個數(shù)，其值為2 200，故中位數(shù)為2 200元平均數(shù)為69 000÷233 000(元)(2)雖然平均數(shù)為3 000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理的工資在平均數(shù)

6、以上，其余人的工資都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平對眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的幾點說明(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值在實際應(yīng)用中，樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各個數(shù)據(jù)的重心練一練1某校在一次考試中，甲、乙兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲班161211155乙班351531311選用平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)評估這兩個班的成績解：甲班平均數(shù)79.6分，乙班平均數(shù)80.2分，從平均分看成績較好的是乙

7、班；甲班眾數(shù)為90分，乙班眾數(shù)為70分，從眾數(shù)看成績較好的是甲班；按從高到低(或從低到高)的順序排列之后，甲班的第25個和第26個數(shù)據(jù)都是80，所以中位數(shù)是80分，同理乙班中位數(shù)也是80分，但是甲班成績在中位數(shù)以上(含中位數(shù))的學(xué)生有31人，占全班學(xué)生的62%，同理乙班有27人，占全班學(xué)生的54%，所以從中位數(shù)看成績較好的是甲班如果記90分以上(含90分)為優(yōu)秀，甲班有20人，優(yōu)秀率為40%，乙班有24人，優(yōu)秀率為48%，從優(yōu)秀率來看成績較好的是乙班可見，一個班學(xué)生成績的評估方法很多，需視要求而定如果不考慮優(yōu)秀率的話，顯然以中位數(shù)去評估比較合適.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中

8、的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.思考1通過計算可以知道，甲、乙兩人的平均成績相等，那么甲、乙兩人的成績誰的更穩(wěn)定一些？怎樣用數(shù)字刻畫這種穩(wěn)定性？名師指津：乙的成績相對穩(wěn)定，樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性(或分散程度)常用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫思考2怎樣理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差？名師指津：(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：0，)(3)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度

9、上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差講一講2甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定嘗試解答(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100

10、)2(100100)21.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又s>s，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定 (1)求一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：先求平均數(shù).代入公式得方差和標(biāo)準(zhǔn)差s2(x1)2(x2)2(xn)2，s.(2)實際問題中方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定性越高練一練2甲、乙兩臺機床在相同的條件下同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中各抽測10個，它們的尺寸分別為(單位： mm)：甲：10.210.110.9

11、8.99.910.39.7109.910.1乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差如果圖紙上的設(shè)計尺寸為10 mm，從計算結(jié)果看，用哪臺機床加工這種零件較合適？解：甲(10.210.110.910.1)10(mm)，乙(10.310.49.610)10(mm)，s甲 0.477(mm)s乙 0.245(mm)甲乙10，s甲s乙，乙比甲穩(wěn)定，用乙較合適講一講3某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(3)求

12、這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分嘗試解答(1)由圖知眾數(shù)為75.(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.30.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.10.03(x70)，所以x73.3.(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：×0.005×10×0.015×10×0.02×10×0.03×10×0.025×10×0.005×1072.用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)(2

13、)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和練一練3為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在55,75)的人數(shù)是_；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為_；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的平均數(shù)為_解析：(1)(0.04×100.025×10)×2013.(2

14、)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2(x55)×0.040.5，x62.5.(3)0.2×500.4×600.25×700.1×800.05×9064.答案：(1)13(2)62.5(3)64課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差，難點是理解用樣本的數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的方法2本節(jié)課要掌握以下幾類問題：(1)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在較小的極端值，見講1.(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)

15、差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，見講2.(3)利用頻率分布直方圖求出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，見講3.3本節(jié)課的易錯點有兩個：(1)計算標(biāo)準(zhǔn)差或方差時易將公式記錯而致誤，如講2；(2)利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征時易出現(xiàn)理解錯誤而致錯，如講3.課下能力提升(十三)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用1某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()a85,85,85 b87,85,86c

16、87,85,85 d87,85,90解析：選c從小到大列出所有數(shù)學(xué)成績：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計算得平均數(shù)為87.2某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班其中甲班有40人，乙班有50人現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是_分解析：由題意得，該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是85(分)答案：85題組2標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的計算及應(yīng)用3現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是()a1 b2 c3 d4解析：選a由s2(xxx)2，得

17、s2×100321，即標(biāo)準(zhǔn)差s1.4國家射擊隊要從甲、乙、丙、丁四名隊員中選出一名選手去參加射擊比賽，四人的平均成績和方差如下表：甲乙丙丁平均成績8.58.88.88方差s23.53.52.18.7則應(yīng)派_參賽最為合適解析：由表可知，丙的平均成績較高，且發(fā)揮比較穩(wěn)定，應(yīng)派丙去參賽最合適答案：丙5用一組樣本數(shù)據(jù)8，x,10,11,9來估計總體的標(biāo)準(zhǔn)差，若該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則總體標(biāo)準(zhǔn)差s_.解析：該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，(8x10119)÷510，x12，s2(44011)2，s.答案：題組3頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用6如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得

18、分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是_解析：甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36，所以甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和為64.答案：647樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本頻率分布直方圖，則平均數(shù)為_解析：平均數(shù)10×0.0612×0.214×0.416×0.2418×0.114.24.答案：14.248某良種培育基地正在培育一種小麥新品種a.將其與原有的一個優(yōu)良品種b進(jìn)行對照試驗兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種a：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405

19、,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種b：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)完成數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？(3)通過觀察莖葉圖，對品種a與b的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論解：(1)如圖(2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較

20、，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)(3)通過觀察莖葉圖可以看出：品種a的畝產(chǎn)平均數(shù)比品種b高；品種a的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種b大，故品種a的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差能力提升綜合練1有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為()a6 b. c66 d6.5解析：選a(24455678911x)(61x)6，x5.方差數(shù)為：s26.2(2016·衡陽高一檢測)甲乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)如圖所示甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；甲同學(xué)的

21、平均分比乙同學(xué)低；甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差上面說法正確的是()a bc d解析：選a甲的中位數(shù)81，乙的中位數(shù)87.5，故錯，排除b、d；甲的平均分(767280828690)81，乙的平均分(697887889296)85，故錯，對，排除c，故選a.3甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則() 甲乙a甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)b甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)c甲的成績的方差小于乙的成績的方差d甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析：選c由條形圖易知甲的平均數(shù)為甲6，方差為s2，中位數(shù)為6，極差為4；乙的平均數(shù)為乙6，方差為s，中位數(shù)為

22、5，極差為4，故甲乙，ss，且甲的成績的中位數(shù)大于乙的成績的中位數(shù)，兩人成績的極差相等4某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一兩個班參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05，則參賽的選手成績的眾數(shù)和中位數(shù)可能是()a65,65 b70,65c65,50 d70,50解析：選a眾數(shù)為第二組中間值65.設(shè)中位數(shù)為x，則0.03×10(x60)×0.040.5，解得x65.故選a.5已知k1，k2，kn的方差為5，則3(k14)，3(k24)，3(kn4)的方差為_解析：設(shè)k1、k2、kn的平均數(shù)為，則3(k14)，3(k24)，3(kn4)的平均數(shù)為3(4)，s23(ki4)3(4)23(ki)29×(ki)29×545.答案：456將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個剩