高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（學(xué)生版）

1、1 / 16 專題 08 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一、 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識框架 二、根據(jù)解析式研究三角函數(shù)性質(zhì) 【一】化為同角同函型【一】化為同角同函型 1.例題 【例 1】函數(shù)()coscossin2yxxx=+的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化 成 同 一 個 角 同 一 種 類 型 的 三 角 函 數(shù) 形 式 （ 簡 稱 ： 同 角 同 函 ）)sin(+=wxay或)cos(+=wxay，常見方法有： （1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函； （2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化

2、成同角； 2 / 16 a 32,288kk+ ()kz b 3,88kk+ ()kz c ,44kk+ ()kz d 2,222kk+ ()kz 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù)( )sin2cosf xxx=. ( )f x的最大值為_ ； 設(shè)當(dāng)x=時，( )f x取得最大值，則cos=_. 【練習(xí) 2】已知函數(shù)1)cos(sincos2)(+=xxxxf，求函數(shù))(xf的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； 【練習(xí) 3】已知22sincos2 3sincos ()( )xxxf xx x=r，求( )f x的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 【二】化為二次函數(shù)型【二】化為二次函數(shù)型 3 / 16

3、1.例題 【例 1】函數(shù))2cos(62cos)(xxxf+=的最大值為 _ 【例 2】函數(shù) ysin xcos xsin xcos x 的值域為_ 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù)( )2sinsin2f xxx=+，則( )f x的最小值是_ 【練習(xí) 2】求函數(shù)2474sin cos4cos4cosyxxxx=+的最大值與最小值. 【練習(xí) 3】函數(shù)ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域為_ 三、根據(jù)圖像和性質(zhì)確定解析式 【一】圖像型【一】圖像型 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)

4、都能化成上述)sin(+=wxay或)cos(+=wxay的形式，有時會化簡為二次函數(shù)型：cxbxay+=22sinsin或cxbxay+=22coscos，這時需要借助二次函數(shù)知識求解，但要注意xxcossin 或的取值范圍. 若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如)sin-1)(sin1 (cos)sin1 (22xxxxy+=+=，則換元后可通過導(dǎo)數(shù)求解.如：解析式中同時含有xxcossin和xxcossin，令=txxcossin，由關(guān)系式xxxxtcossin21cossin22=）（得到xxcossin關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式 4 / 16 1.例題 【 例1 】 已 知 函 數(shù)( )()(

5、)sin0,0,f xaxa=+的 部 分 圖 象 如 圖 所 示 ， 其 中()()2, 1 ,8,1mn分別是函數(shù)( )f x的圖象的一個最低點(diǎn)和一個最高點(diǎn)，則a+=（ ） a. 23 b. 6 c. 6 d. 23 【例 2】函數(shù)( )()()sin0,0,0f xaxa=+的圖象如圖所示，則（ ） a ( )f x在,3 13上是增函數(shù) b ( )f x在,2 13上是增函數(shù) c ( )f x在27,36上是増函數(shù) d ( )f x在,2 12上是增函數(shù) 【例 3】已知函數(shù)( )()2sin(0f xx=+， ) x的部分圖像如圖所示，已知點(diǎn)()0, 3a， 對形如)0()sin()(

6、+=abwxaxf中參數(shù)的確定，應(yīng)準(zhǔn)確識別和利用題干中函數(shù)圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點(diǎn)等），列出方程（組）或不等式（組），常規(guī)方法有： （1）由振幅或最值，可確定ba和; （2）由周期的值或取值范圍，可確定w的值或取值范圍； 5 / 16 ,06b，若將它的圖像向右平移6個單位長度，得到函數(shù)( )g x的圖像，則函數(shù)( )g x圖像的一條對稱軸方程為（ ） a 24x= b 4x= c 3x= d 23x= 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】函數(shù)( )()sinf xax=+ (其中0a ， 2)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)( )f x的圖象（ ）可得( )sin 24g xx=+的圖

7、象 a 向右平移12個長度單位 b 向左平移24個長度單位 c 向左平移12個長度單位 d 向右平移24個長度單位 【練習(xí) 2】如圖，某港口一天 6 時到 18 時的誰深變化曲線近似滿足函數(shù) y3sin(6x)k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為_. 6 / 16 【二】性質(zhì)型【二】性質(zhì)型 1.例題 【例 1】已知函數(shù)( )sin()(0),24f xx+x = ， 為( )f x的零點(diǎn),4x=為( )yf x=圖像的對稱軸,且( )f x在518 36，單調(diào),則的最大值為( ) （a）11 （b）9 （c）7 （d）5 【 例2 】 設(shè) 函 數(shù))sin()(+=xxf，0,

8、0a， 若)(xf在 區(qū) 間2,6上 單 調(diào) ， 且=6322fff，則)(xf的最小正周期為（ ） a2 b2 c4 d 【例 3】設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的對形如)0()sin()(+=abwxaxf中參數(shù)的確定，應(yīng)充分挖掘題干中所給的函數(shù)性質(zhì)（如周期、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等），列出方程（組）或不等式（組）. 特別地，正弦型函數(shù))0()sin()(+=abwxaxf與最小正周期t相關(guān)的幾種表述： （1）兩個相鄰最低（高）點(diǎn)的距離，即為t; （2）兩個相鄰對稱軸的距離，即為2t; （3）兩個相鄰對稱中心的距離，即為2t; 7 / 16 最小正周期大于，則（ ） （a）， （b）， （c

9、）， （d）， 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】設(shè)函數(shù) f（x）=，若對任意的實(shí)數(shù) x 都成立，則 的最小值為_ 【練習(xí) 2】若函數(shù)( )()()3sincosf xxx=+的圖象關(guān)于y軸對稱，則的一個值為（ ） a 6 b 3 c 23 d 56 四、圖像變換問題 1.例題 【例 1】已知曲線1:coscyx=，22:sin 23cyx=+，則下面結(jié)論正確的是（） a把1c上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線2c 由xysin=變換成)sin()(+=wxaxf的兩種變換方式： （1）+=)0(10)sin(sinwwxyxy到原來的橫坐

10、標(biāo)縮短（或伸長）個單位長度（向左平移 )sin()sin()0(+=+=wxaywxyaa倍長（或縮短）到原來的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸； （2）=）個單位長度（向左平移到原來的橫坐標(biāo)縮短（或伸長）0)0(1sinsinwwwwxyxy )sin()sin()(sin)0(+=+=+=wxaywxwxwyaa倍長（或縮短）到原來的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸 8 / 16 b把1c上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線2c c把1c上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線2c d把1c上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到

11、原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線2c 【例 2】設(shè)函數(shù)，其中.已知. （）求； （）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值. 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】函數(shù)( )()sinf xx=+（0， 2）的最小正周期是，若其圖象向左平移3個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)( )f x的圖象（ ） a 關(guān)于點(diǎn)012，對稱 b 關(guān)于直線12x=對稱 c 關(guān)于點(diǎn)06，對稱 d 關(guān)于直線6x=對稱 【練習(xí) 2】已知函數(shù)1( )2sin()3f xx=+，將( )yf x=的圖象上所

12、有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐9 / 16 標(biāo)不變），再將圖象向左平移1個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )g x，若函數(shù)的圖象在p，q兩處的切線都與 x 軸平行，則|pq的最小值為（ ） a17 b4 c4 d2 5 五、三角函數(shù)值域（最值） 1.例題 【例 1】 已知函數(shù)( )3sin22sincos44fxxxx=+，則( )fx在02x，上的最大值與最小值之差為 【例 2】函數(shù)的最小值為 【例 3】函數(shù)( )sincos2sin cos,4 4f xxxxx x =+ 的最小值是_ 【例 4】求函數(shù)xxycos2sin2=的值域 xxxfsin22cos)(+=求三角函數(shù)的值域（最值）

13、，通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型： （1）bxay+=sin，令xtsin=，則)1 , 1( ,+=tbaty； （2）cxbxay+=cossin，引入輔助角）（ab=tan，化為cxbay+=)sin(22； （3）cxbxay+=sinsin2，令xtsin=，則)1 , 1( ,2+=tcbtaty； （4）cxxbxxay+=）（cossincossin，令=txxcossin， 則xxxxtcossin21cossin22=）（，所以cbttay+=)21(2； 10 / 16 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知的定義域為.求的最小值. 【練習(xí)

14、2】函數(shù)( )23sin3cos4f xxx=+（0,2x）的最大值是 。 【練習(xí) 3】求函數(shù)xxxxycossincossin+=的值域 六、平面向量為載體的三角函數(shù)綜合問題 1.例題 【例 1】 設(shè)向量cos, cos2,sin2 ,sin44axbx=， ( )f xa b=. （1）求( )f x的最小正周期； （2）求( )f x在區(qū)間0,上的單調(diào)遞減區(qū)間. 1)4(cos2)sin(cos3)(222+=xxxxf2, 0)(xf三角函數(shù)與向量的綜合問題中，向量只是工具，問題的本質(zhì)還是三角函數(shù)問題.解決本類問題的常規(guī)方法是： 將向量的平行、垂直、數(shù)量積等通過坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形

15、式，然后進(jìn)行恒等變換，進(jìn)而解決本問題 11 / 16 【例 2】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxx=ab （1）若 ab，求x的值； （2）記( )f x =a b，求( )f x的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知3cos,cos44xxm=， sin,cos44xxn=，設(shè)函數(shù)( )f xm n= （1）求函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間； （2）設(shè)abc的內(nèi)角a， b， c所對的邊分別為a， b， c，且a， b， c成等比數(shù)列，求( )f b的取值范圍 【練習(xí) 2】已知3sin2cos2axx=， 12coscos2bxx=，記函

16、數(shù)( )f xa bm=+ 12 / 16 （1）求函數(shù)( )f x的最小正周期； （2）如果函數(shù)( )f x的最小值為1，求m的值,并求此時( )f x的最大值及圖像的對稱軸方程. 七、課后自我檢測 1.函數(shù)( )()sinf xax=+ (0,0,)2a的部分圖象如圖所示,則=_；函數(shù)( )f x在區(qū)間,3上的零點(diǎn)為_ 2.已知函數(shù)( )2313cossincos2222f xxxx=+. （1）求函數(shù)( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）已知在abc中， ,a b c的對邊分別為, ,a b c，若( )1fa =， 2a =，求abc面積的最大值. 13 / 16 . 3.已知函數(shù)( )

17、()2sin 2()2f xx=+部分圖象如圖所示. （1）求值及圖中0 x的值； （2）在abc中，角,a b c的對邊分別為, ,a b c，已知( )7,2,cf c= sinb = 2sina，求a的值 4.()()()sin ,cos,2cos ,2cosaxxbxx=，函數(shù)( )1f xa b=+. （1）求( )f x的對稱中心； （2）求函數(shù)( )f x在區(qū)間0,2上的最大值和最小值，并求出x相應(yīng)的值. 14 / 16 5.函數(shù)( )2cos3sin2f xxx=+ 0,2x的最大值是_ 6.已知函數(shù)，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則 的值為（ ） a b c d 7. 已 知

18、 函 數(shù)( )()sincosf xxax ar=+對 任 意xr都 滿 足44fxfx+=， 則 函 數(shù)( )( )sing xxf x=+的最大值為 a 5 b 3 c 5 d 3 8將函數(shù)( )cos 24f xx=的圖象向左平移8個單位，得到函數(shù)( )g x的圖象，則下列說法不正確15 / 16 的是( ) a162g= b( )g x在區(qū)間57,88上是增函數(shù) c2x=是( )g x圖象的一條對稱軸 d,08是( )g x圖象的一個對稱中心 9已知( )cos31cosxf xx=+,將( )fx的圖象向左平移6個單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2得到( )g x的圖象，下列關(guān)于函數(shù)( )g x的說法中正確的個數(shù)為（ ） 函數(shù)( )g x的周期為2;函數(shù)( )g x的值域為2 2 ,;函數(shù)( )g x的圖象關(guān)于12x= 對稱;函數(shù)( )g x的圖象關(guān)于,024對稱