高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時過關(guān)檢測（五十五）證明、探究性問題

1、1 / 4 課時過關(guān)檢測（五十五）課時過關(guān)檢測（五十五） 證明、探究性問題證明、探究性問題 1(2021 廣東省七校聯(lián)考廣東省七校聯(lián)考)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為的離心率為32，焦距為，焦距為2 3. (1)求橢圓求橢圓 c 的方程；的方程； (2)若斜率為若斜率為12的直線與橢圓的直線與橢圓 c 交于交于 p，q 兩點(diǎn)兩點(diǎn)(點(diǎn)點(diǎn) p，q 均在第一象限均在第一象限)，o 為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線點(diǎn)，證明：直線 op，pq，oq 的斜率依次成等比數(shù)列的斜率依次成等比數(shù)列 解：解：(1)由題意，得由題意，得 ca32，2c2 3，解得解得 a2，c 3， 又

2、又 b2a2c21， 橢圓橢圓 c 的方程為的方程為x24y21. (2)證明：設(shè)直線證明：設(shè)直線 l 的方程為的方程為 y12xm，p(x1，y1)，q(x2，y2)， 由由 y12xm，x24y21，消去消去 y，得，得 2x24mx4(m21)0. 則則 16m232(m21)16(2m2)0，且且 x1x22m，x1x22(m21) 故故 y1y2 12x1m 12x2m 14x1x212m(x1x2)m2. kop koqy1y2x1x214x1x212m( (x1x2) )m2x1x214k2pq， 即直線即直線 op，pq，oq 的斜率依次成等比數(shù)列的斜率依次成等比數(shù)列 2(20

3、21 云南曲靖模擬云南曲靖模擬)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為的離心率為12，點(diǎn)，點(diǎn) f 為左焦為左焦點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)，過點(diǎn) f 作作 x 軸的垂線交橢圓軸的垂線交橢圓 c 于于 a，b 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且|ab|3. (1)求橢圓求橢圓 c 的方程；的方程； (2)在圓在圓 x2y23 上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn) p，使得在點(diǎn)，使得在點(diǎn) p 處的切線處的切線 l 與橢圓與橢圓 c 相交于相交于 m，n兩點(diǎn)，且滿足兩點(diǎn)，且滿足om on？若存在，求？若存在，求 l 的方程；若不存在，請說明理由的方程；若不存在，請說明理由 解：解：(1)e1b2a212，3a24b2.

4、又又|ab|2b2a3，a2，b 3. 橢圓橢圓 c 的方程為的方程為x24y231. 2 / 4 (2)假設(shè)存在點(diǎn)假設(shè)存在點(diǎn) p，使得，使得om on. 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，的斜率不存在時， l：x 3或或 x 3，與橢圓，與橢圓 c：x24y231 相交于相交于 m，n兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 此時此時 m 3，32，n 3，32或或 m 3，32，n 3，32， om on334940， 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，不滿足的斜率不存在時，不滿足om on. 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)的斜率存在時，設(shè) ykxm， 聯(lián)立聯(lián)立 ykxm，x24y231，得得(34k2)x28k

5、mx4m2120. 直線直線 l 與橢圓與橢圓 c 相交于相交于 m，n 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 0，化簡得，化簡得 4k2m23. 設(shè)設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)， x1x28km34k2，x1x24m21234k2， y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m23m212k234k2. om on0，4m21234k23m212k234k20， 7m212k2120. 又又直線直線 l 與圓與圓 x2y23 相切，相切， 3|m|1k2， m233k2，2121k212k2120， 解得解得 k21，顯然不成立，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點(diǎn)在圓上不存在這樣的點(diǎn) p

6、使使om on成立成立 3在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn)中，點(diǎn) f 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 0，12，以線段，以線段 mf 為直徑的圓與為直徑的圓與 x 軸軸相切相切 (1)求點(diǎn)求點(diǎn) m 的軌跡的軌跡 e 的方程；的方程； (2)設(shè)設(shè) t 是是 e 上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為 2 的點(diǎn)，的點(diǎn)，ot 的平行線的平行線 l 交交 e 于于 a，b 兩點(diǎn)，交曲線兩點(diǎn)，交曲線 e 在在 t 處處的切線于點(diǎn)的切線于點(diǎn) n，求證：，求證：|nt|252|na| |nb|. 解：解：(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) m(x，y)，因為，因為 f 0，12， 3 / 4 所以所以 mf 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為 x2，2

7、y14. 因為以線段因為以線段 mf 為直徑的圓與為直徑的圓與 x 軸相切，軸相切， 所以所以|mf|2|2y1|4，即，即|mf|2y1|2， 故故 x2 y122|2y1|2，得，得 x22y， 所以所以 m 的軌跡的軌跡 e 的方程為的方程為 x22y. (2)證明：因為證明：因為 t 是是 e 上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為 2 的點(diǎn)，所以由的點(diǎn)，所以由(1)得得 t(2,2)，所以直線，所以直線 ot 的斜率為的斜率為1. 因為因為 lot，所以可設(shè)直線，所以可設(shè)直線 l 的方程為的方程為 yxm，m0. 由由 y12x2，得，得 yx，則曲線，則曲線 e 在在 t 處的切線的斜率為處的切線的

8、斜率為 y|x22， 所以曲線所以曲線 e 在在 t 處的切線方程為處的切線方程為 y2x2. 由由 yxm，y2x2，得得 xm2，y2m2， 所以所以 n(m2,2m2)，所以，所以|nt|2(m2)22(2m2)225m2. 由由 yxm，x22y消去消去 y，得，得 x22x2m0，由，由 48m0，解，解得得 m12. 設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 x1x22，x1x22m. 因為因為 n，a，b 在在 l 上，所以上，所以|na| 2|x1(m2)|，|nb| 2|x2(m2)|， 所以所以|na| |nb|2|x1(m2)| |x2(m2)|2|x1x2(m2

9、)(x1x2)(m2)2|2|2m2(m2)(m2)2|2m2， 所以所以|nt|252|na| |nb|. 4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) f(1，0)，過直線，過直線 l：x2右側(cè)的動點(diǎn)右側(cè)的動點(diǎn) p 作作 pal 于點(diǎn)于點(diǎn) a，apf 的平分線交的平分線交 x 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) b，|pa| 2|bf|. (1)求動點(diǎn)求動點(diǎn) p 的軌跡的軌跡 c 的方程；的方程； (2)過點(diǎn)過點(diǎn) f 的直線的直線 q 交曲線交曲線 c 于于 m，n，試問：，試問：x 軸正半軸上是否軸正半軸上是否存在點(diǎn)存在點(diǎn) e，直線，直線 em，en 分別交直線分別交直線 l 于于 r，s 兩

10、點(diǎn)，使兩點(diǎn)，使rfs 為直角？若存在，求出點(diǎn)為直角？若存在，求出點(diǎn)e 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：解：(1)設(shè)設(shè) p(x，y)，由平面幾何知識得，由平面幾何知識得|pf|pa|22， 4 / 4 即即( (x1) )2y2|x2|22，化簡得，化簡得x22y21， 所以動點(diǎn)所以動點(diǎn) p 的軌跡的軌跡 c 的方程為的方程為x22y21(x 2) (2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)假設(shè)滿足條件的點(diǎn) e(n,0)(n0)存在，設(shè)直存在，設(shè)直線線 q 的方程為的方程為 xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，r(2，y3)，s(2，y4)聯(lián)立聯(lián)立 x22y22，xmy1，消去消去 x，得，得(m22)y22my10，y1y22mm22，y1y21m22， x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1m2m222m2m22122m2m22， x1x2m(y1y2)22m2m2224m22， 由條件知由條件知y1x1ny32n，y3( (2n) )y1x1n， 同理同理 y4( (2n