高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)檢測（二十七）解三角形應(yīng)用舉例

1、1 / 8 課時(shí)過關(guān)檢測（二十七）課時(shí)過關(guān)檢測（二十七） 解三角形應(yīng)用舉例解三角形應(yīng)用舉例 a 級級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.(2021 寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三適應(yīng)性考試寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三適應(yīng)性考試)兩座燈塔兩座燈塔 a 和和 b 與海岸觀與海岸觀察站察站 c 的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔 a 在觀察站南偏西在觀察站南偏西 40 ，燈塔，燈塔 b 在觀察站南偏在觀察站南偏東東 60 ，則燈塔，則燈塔 a 在燈塔在燈塔 b 的的( ) a北偏東北偏東 10 b北偏西北偏西 10 c南偏東南偏東 80 d南偏西南偏西 80 解析：解析：選選 d 由條件及題圖可知，由條件及題圖可知，ab40 ，又，又b

2、cd60 ，所以，所以cbd30 ，所以，所以dba10 ，因此燈塔，因此燈塔 a 在燈塔在燈塔 b 南偏西南偏西 80 . 2已知已知 a 船在燈塔船在燈塔 c 的北偏東的北偏東 85 方向且方向且 a 到到 c 的距離為的距離為 2 km，b 船在燈塔船在燈塔 c 的西的西偏北偏北 25 方向且方向且 b 到到 c 的距離為的距離為 3km，則，則 a，b 兩船的距離為兩船的距離為( ) a 13 km b 15 km c2 3 km d3 2 km 解析：解析：選選 a 畫出圖形如圖所示，由題意可得畫出圖形如圖所示，由題意可得acb(90 25 )85 150 ，又，又 ac2，bc 3

3、.在在abc 中，由余弦定理可中，由余弦定理可得得 ab2ac2bc22ac bc cos 150 13，所以，所以 ab 13，即，即 a，b 兩船的距離為兩船的距離為 13 km. 3一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)某人在噴水柱正西方向的點(diǎn) a 處測得水柱頂端的仰角為處測得水柱頂端的仰角為 45 ，從點(diǎn)，從點(diǎn) a 沿北偏東沿北偏東 30 方向前方向前進(jìn)進(jìn) 100 m 到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) b，在，在 b 點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為 30 ，則水柱的高

4、度是，則水柱的高度是( ) a50 m b100 m c120 m d150 m 解析：解析：選選 a 設(shè)水柱高度是設(shè)水柱高度是 h，水柱底端為，水柱底端為 c， 則在則在abc 中，中，bac60 ，ach，ab100， bc 3h，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理得，得， ( 3h)2h210022 h 100 cos 60 ， 即即 h250h5 0000，即即(h50)(h100)0， 解得解得 h50(負(fù)值舍去負(fù)值舍去)，故水柱的高度是，故水柱的高度是 50 m. 4(多選多選)(2021 重慶市高三第三次質(zhì)量調(diào)研重慶市高三第三次質(zhì)量調(diào)研)一艘輪船航行到一艘輪船航行到 a 處時(shí)看燈塔處時(shí)看

5、燈塔 b 在在 a 的的北偏東北偏東 75 ，距離，距離 12 6 海里，燈塔海里，燈塔 c 在在 a 的北偏西的北偏西 30 ，距離為，距離為 12 3海里，該輪船由海里，該輪船由 a沿正北方向繼續(xù)航行到沿正北方向繼續(xù)航行到 d 處時(shí)再看燈塔處時(shí)再看燈塔 b 在其南偏東在其南偏東 60 方向下列選項(xiàng)正確的有方向下列選項(xiàng)正確的有( ) aad24 2 / 8 bcd12 ccda60 或或cda120 dcda60 解析：解析：選選 abd 如圖，在如圖，在abd 中，中，b45，由，由adsin 45absin 6012 63224 2，ad24，a 正確；在正確；在acd 中，由余弦定理得

6、中，由余弦定理得cd2ac2ad22acadcos 30(12 3)2242212 32432144，cd12，b 正確；由正弦定理得正確；由正弦定理得cdsin 30acsincda，sincda32，故，故cda60 或或cda120 ，因?yàn)?，因?yàn)?adac，故，故cda 為銳角，所以為銳角，所以cda60 ，d 正確，正確，c 錯誤錯誤 5(多選多選)在在abc 中，中，a，b，c 分別是角分別是角 a，b，c 的對邊，的對邊，c 為鈍角，且為鈍角，且 cb2bcos a，則下列結(jié)論中正確的是，則下列結(jié)論中正確的是( ) aa2b(bc) ba2b c0cos a12 d0sin b12

7、 解析：解析：選選 abd 因?yàn)橐驗(yàn)?cb2bcos a，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得 cb2bb2c2a22bc，因此，因此c(cb)b2c2a2，整理得，整理得 a2b(bc)，故，故 a 選項(xiàng)正確；因?yàn)檫x項(xiàng)正確；因?yàn)?cb2bcos a，所以由正，所以由正弦定理得弦定理得 sin csin b2sin bcos a，即，即 sin(ab)sin b2sin bcos a，所以，所以 sin acos bsin bcos asin b，所以，所以 sin(ab)sin b，由于，由于 c 是鈍角，所以是鈍角，所以 abb，即，即 a2b，故，故 b 選項(xiàng)正確；由于選項(xiàng)正確；由于 a2

8、b，且，且 c90 ，所以，所以 0 a60 ，0 b30 ，因此，因此 1cos a12，0sin b12，故，故 c 選項(xiàng)錯誤，選項(xiàng)錯誤，d 選項(xiàng)正確選項(xiàng)正確 6.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞若，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即即 a，b 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)，現(xiàn)取兩點(diǎn)c，d，測得，測得 cd80，adb135 ，bdcdca15 ，acb120 ，則圖中海

9、洋，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑大小為藍(lán)洞的口徑大小為 解析：解析：由已知得，在由已知得，在acd 中，中，acd15 ，adc150 ，所以，所以dac15 ， 由正弦定理得由正弦定理得 ac80sin 150sin 15406 2440( 6 2) 在在bcd 中，中，bdc15 ，bcd135 ， 所以所以dbc30 ， 3 / 8 由正弦定理由正弦定理cdsincbdbcsinbdc， 得得 bccdsinbdcsincbd80sin 151240( 6 2) 在在abc 中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 ab21 600(84 3)1 600(84 3)21 600( 6 2)( 6 2

10、)121 600161 60041 6002032 000， 解解得得 ab80 5. 故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為 80 5. 答案：答案：80 5 7.如圖所示，一艘海輪從如圖所示，一艘海輪從 a 處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東 15方向，與海輪相距方向，與海輪相距 20 n mile 的的 b 處，海輪按北偏西處，海輪按北偏西 60 的方向航行了的方向航行了30 min 后到達(dá)后到達(dá) c 處，又測得燈塔在海輪的北偏東處，又測得燈塔在海輪的北偏東 75 的方向上，則海輪的方向上，則海輪的速度為的速度為 n mile/min. 解析：解析：由已知

11、得由已知得acb45 ，b60 ， 由正弦定理得由正弦定理得acsinbabsinacb， 所以所以 acab sinbsinacb20sin 60sin 4510 6(n mile)， 所以海輪航行的速度為所以海輪航行的速度為10 63063(n mile/min) 答案：答案：63 8已知已知abc 的內(nèi)角的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為的對邊分別為 a，b，c，且，且 cos 2acos 2b2cos 2c，則，則 cos c 的最小值為的最小值為 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?cos 2acos 2b2cos 2c，所以，所以 12sin2 a12sin2b24sin2c，得，得 a2b22c

12、2，所以，所以 cos ca2b2c22aba2b24ab2ab4ab12，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號成立時(shí)等號成立 答案：答案：12 9在在abc 中，中，abc90 ，ab4，bc3，點(diǎn)，點(diǎn) d 在線段在線段 ac 上若上若bdc45 ，則，則 bd . 解析：解析：如圖，易知如圖，易知 sinc45， cos c35. 在在bdc 中，由正弦定理可得中，由正弦定理可得 4 / 8 bdsincbcsinbdc， bdbc sincsinbdc3452212 25. 答案：答案：12 25 10已知已知abc 中，中，ac4，bc2 7，bac60 ，adbc 于點(diǎn)于點(diǎn) d，則，則b

13、dcd的值的值為為 解析：解析：在在abc 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 bc2ac2ab22ac ab cosbac，即，即 2816ab24ab，解得，解得 ab6(ab2 舍去舍去)，則，則 cosabc28361622 762 77，bdab cosabc62 7712 77，cdbcbd2 712 772 77，所以，所以bdcd6. 答案：答案：6 11在在abc 中，內(nèi)角中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊的對邊 a，b，c 成公差為成公差為 2 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，c120 . (1)求邊長求邊長 a； (2)求求 ab 邊上的高邊上的高 cd的長的長 解：解：(1)由題意

14、得，由題意得，ba2，ca4， 由余弦定理由余弦定理 cos ca2b2c22ab， 得得 cos 120 a2( (a2) )2( (a4) )22a( (a2) )，即，即 a2a60，所以，所以 a3 或或 a2(舍去舍去)所所以以 a3. (2)法一：法一：由由(1)知知 a3，b5，c7， 由三角形的面積公式得由三角形的面積公式得 12absinacb12ccd， 所以所以 cdabsinacbc3532715 314， 即即 ab 邊上的高邊上的高 cd15 314. 法二：法二：由由(1)知知 a3，b5，c7， 由正弦定理得由正弦定理得3sina7sinacb7sin 120.

15、 5 / 8 即即 sina3 314， 在在 rtacd 中，中，cdacsina53 31415 314. 即即 ab 邊上的高邊上的高 cd15 314. 12(2021 唐山市高三第二次?？继粕绞懈呷诙文？?某海域的東西方向上分別某海域的東西方向上分別有有 a，b 兩個(gè)觀測點(diǎn)兩個(gè)觀測點(diǎn)(如圖如圖)，它們相距，它們相距 5(3 3)海里現(xiàn)有一艘海里現(xiàn)有一艘輪船在輪船在 d 點(diǎn)發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知點(diǎn)發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知 d 點(diǎn)位于點(diǎn)位于 a 點(diǎn)北偏東點(diǎn)北偏東45 ，b 點(diǎn)北偏西點(diǎn)北偏西 60 ，這時(shí)，位于，這時(shí)，位于 b 點(diǎn)南偏西點(diǎn)南偏西 60 且與且與 b 點(diǎn)相距點(diǎn)相距20

16、3海里的海里的 c 點(diǎn)有一救援船，其航行速度為點(diǎn)有一救援船，其航行速度為 30 海里海里/小時(shí)小時(shí) (1)求求 b 點(diǎn)到點(diǎn)到 d 點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離 bd； (2)若命令若命令 c 處的救援船立即前往處的救援船立即前往 d點(diǎn)營救，求該救援船到達(dá)點(diǎn)營救，求該救援船到達(dá) d 點(diǎn)需要的時(shí)間點(diǎn)需要的時(shí)間 解：解：(1)由題意知由題意知 ab5(3 3)(海里海里)， dba90 60 30 ，dab90 45 45 ， 所以所以adb180 (45 30 )105 ， 在在dab 中，由正弦定理得中，由正弦定理得dbsindababsinadb， 所以所以 dbab sindabsinadb5( (3

17、3) ) sin 45sin 105 5( (3 3) ) sin 45sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 5 3( ( 31) )31210 3(海里海里) (2)在在dbc 中，中，dbcdbaabc30 (90 60 )60 ，bc20 3(海海里里)，由余弦定理得，由余弦定理得 cd2bd2bc22bd bc cos dbc3001 200210 320 312900， 所以所以 cd30(海里海里)，則需要的時(shí)間，則需要的時(shí)間 t30301(小時(shí)小時(shí)) 因此救援船到達(dá)因此救援船到達(dá) d 點(diǎn)需要點(diǎn)需要 1 小時(shí)小時(shí) b 級級綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用 13在在abc 中，內(nèi)角

18、中，內(nèi)角 a，b，c 對應(yīng)的邊分別為對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，a2，sin csin(ba)6 / 8 2sin 2a，則角，則角 a 的取值范圍為的取值范圍為( ) a 0，6 b 0，4 c 6，4 d 6，3 解析：解析：選選 b 在在abc 中，中，c(ab)，所以，所以 sin(ab)sin(ba) 2sin 2a，即即 2sin bcos a2 2sin acos a，因?yàn)?，因?yàn)?a2，所以，所以 cos a0，所以，所以 sin b 2sin a，由正弦，由正弦定理得，定理得，b 2a，所以，所以 a 為銳角又因?yàn)闉殇J角又因?yàn)?sin b 2sin a(0,1，所以，所以 si

19、n a 0，22，所以所以 a 0，4. 14(多選多選)已已知四邊形知四邊形 abcd 內(nèi)接于圓內(nèi)接于圓 o，abcd5，ad3，bcd60 ，下列，下列結(jié)論正確的有結(jié)論正確的有( ) a四邊形四邊形 abcd 為梯形為梯形 b圓圓 o 的直徑為的直徑為 7 c四邊形四邊形 abcd 的面積為的面積為55 34 dabd 三邊的長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列三邊的長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列 解析：解析：選選 acd abcd5，ad3，bcd60 ，bad120 ，可證，可證badcda，badcda120 ，bcdcda180 ，bcda，顯然，顯然ab 不平行于不平行于 cd，故四邊形，故四邊形

20、 abcd 為梯形，為梯形，a 正確；在正確；在bad 中，由余中，由余弦定理可得弦定理可得 bd2ab2ad22ab adcos bad5232253cos 120 49，bd7，圓圓 o 的的直徑不可能是直徑不可能是 7，故，故 b 錯誤；在錯誤；在bcd 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 bd2cb2cd22cb cd cos bcd，72cb25225cbcos 60 ，解得，解得 cb8 或或 cb3(舍舍去去)，sbad12ab ad sin 12012533215 34，sbcd12cb cd sin 6012583210 3，s四邊形四邊形abcdsbcdsbad15 34

21、10 355 34，故，故 c 正確；在正確；在abd 中，中，ad3，ab5，bd7，滿足，滿足 adbd2ab，abd 三邊的長度可以構(gòu)三邊的長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故成一個(gè)等差數(shù)列，故 d 正確故選正確故選 a、c、d. 15(2021 福州市質(zhì)量檢測福州市質(zhì)量檢測)在在cdad，sinbac3 2114，ac8 77這三個(gè)條這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中并解答件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中并解答 已知四邊形已知四邊形 abcd 為圓的內(nèi)接四邊形，為圓的內(nèi)接四邊形， ，ab1，bd 7，ad2，求，求 bc 的的長長 7 / 8 注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分注：

22、若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解：解：由題意作出圖形，如圖所示，由題意作出圖形，如圖所示， ab1，bd 7，ad2， 由余弦定理得由余弦定理得 cosbadab2ad2bd22ab ad 147412， 又又0bad，bad23， 四邊形四邊形 abcd 為圓的內(nèi)接四邊形，為圓的內(nèi)接四邊形， badbcd，bcd3， 選擇條件選擇條件：cdad， cd2，則，則 cosbcdcd2bc2bd22cd bc4bc274bc12， 解得解得 bc3 或或 bc1(舍舍) 選擇條件選擇條件：sinbac3 2114， 四邊形四邊形 abcd 為圓的內(nèi)接四邊形，為圓的內(nèi)接四邊形， bac

23、bdc 在在bcd 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 bcsinbdcbdsinbcd7322 213， bc2 213sinbdc2 213sinbac3. 選擇條件選擇條件：ac8 77， 四邊形四邊形 abcd 為圓的內(nèi)接四邊形，為圓的內(nèi)接四邊形，bdabca， ad2，ab1，bd 7， 由余弦定理可得由余弦定理可得 cos bdaad2bd2ab22ad bd47122 75 714， cos bcacos bda5 714， 在在abc 中，中，ab1，ac8 77， 8 / 8 由余弦定理得由余弦定理得 cos bcaac2bc2ab22ac bc， 即即647bc2116 77 bc5 714， 解得解得 bc3 或或 bc197. c 級級遷移創(chuàng)新遷移創(chuàng)新 16(2021 武漢模擬武漢模擬)劉徽是我國魏晉時(shí)期著名