高考數學一輪復習課時作業(yè)(十三)　變化率與導數、導數的計算

1、1 / 4 課時作業(yè)(十三) 變化率與導數、導數的計算 基礎過關組 一、單項選擇題 1已知 f(x)ln x2x，則 f12( ) a2ln 2 b2ln 2 c2ln 2 d2ln 2 解析 依題意有 f(x)1x 2x212(2x) 12 ln x2x，故 f122ln 212ln 2。故選 d。 答案 d 2函數 f(x)2xln x 的圖象在 x1 處的切線方程為( ) axy10 bxy10 c2xy10 d2xy10 解析 當 x1 時，f(1)202，所以切點為(1，2)，由題意得 f(x)21x，所以f(1)2111，所以切線方程為 y21(x1)，即 xy10。故選 a。 答

2、案 a 3如果曲線 yx4x 在點 p 處的切線垂直于直線 y13x，那么點 p 的坐標為( ) a(1,0) b(0，1) c(0,1) d(1,0) 解析 設點 p(a，b)，則 ba4a，由題得 y4x31。因為曲線 yx4x在點 p處的切線垂直于直線 y13x，所以 4a313，所以 a1。所以 b1410，所以點 p 的坐標為(1,0)。 答案 a 4已知函數 f(x)在 r 上可導，且 f(x)x22xf(1)，則函數 f(x)的解析式為( ) af(x)x24x bf(x)x24x cf(x)x22x df(x)x22x 解析 由題意，得 f(x)2x2f(1)，則 f(1)22

3、f(1)，解得 f(1)2，故 f(x)x24x。故選 a。 答案 a 5已知 f(x)是奇函數，當 x0 時，f(x)xx2，則函數圖象在 x1 處的切線方程是( ) a2xy10 bx2y20 c2xy10 dx2y20 解析 當 x0，所以 f(x)xx2f(x)，所以 f(x)xx2(x0，解得 a0。故選 a。 答案 a 二、多項選擇題 7下列函數分別求導，其中正確的是( ) a1x1x2 b(cos 2x)2sin 2x 2 / 4 c3xln 33x d(lg x)1xln 10 解析 1x1x2，(cos 2x)2sin 2x，3xln 33x，(lg x)1xln 10。故選

4、 bc。 答案 bc 8(2021 濰坊期末)給出定義：若函數 f(x)在 d 上可導，即 f(x)存在，且導函數 f(x)在 d 上也可導，則稱 f(x)在 d 上存在二階導函數，記 f(x)(f(x)，若 f(x)0 在 d 上恒成立，則稱f(x)在 d 上為凸函數。以下四個函數在0，2上是凸函數的是( ) af(x)sin xcos x bf(x)ln x2x cf(x)x32x1 df(x)xex 解析 對于 a，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，因為 x0，2，所以 f(x)0，f(x)在0，2上是凸函數，故 a 正確；對于 b，f(x)1x2，f(x)1x

5、20，故 f(x)在0，2上是凸函數，故 b 正確；對于 c，f(x)3x22，f(x)6x0，故 f(x)在0，2上是凸函數，故 c正確；對于 d，f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故 f(x)在0，2上不是凸函數，故 d 錯誤。故選 abc。 答案 abc 三、填空題 9(2020 全國卷)設函數 f(x)exxa。若 f(1)e4，則 a_。 解析 由于 f(x)ex(xa)ex(xa)2，故 f(1)ea(1a)2e4，解得 a1。 答案 1 10曲線 y(ax1)ex(e 為自然對數的底數)在點(0,1)處的切線與 x 軸交于點12，0 ，則 a_。 解析 yex(ax1

6、a)，所以 y|x01a，則曲線 y(ax1)ex在(0,1)處的切線方程為 y(1a)x1，又切線與 x 軸的交點為12，0 ，所以 0(1a)121，解得 a1。 答案 1 11(2021 開封市一模)設 p 為函數 f(x)ln xx3的圖象上任意一點，q 為直線 2xy20 上任意一點，則 p，q 兩點距離的最小值為_。 解析 由題意知，當函數 f(x)的圖象在點 p(x0，y0)處的切線 l1與直線 l2：2xy20 平行，且pql2時，p，q 兩點之間的距離最小。因為 f(x)ln xx3，所以 f(x)1x3x2，所以1x03x202，解得 x01，所以 y01，故切線 l1的方

7、程為 2xy10。由兩平行直線之間的距離公式可得切線 l1與直線 l2之間的距離 d|1(2)|555，故 p，q 兩點距離的最小值為55。 答案 55 四、解答題 12已知函數 f(x)x34x2 及其圖象上一點 m(1，1)。 (1)若直線 l1與函數 f(x)的圖象相切于點 m(1，1)，求直線 l1的方程； (2)若函數 f(x)的圖象的切線 l2經過點 m(1，1)，但 m不是切點，求直線 l2的方程。 解 (1)f(x)3x24，f(1)1， 所以直線 l1的斜率 k11， 所以直線 l1的方程為 y1(x1)，即 xy0。 (2)設切點坐標為(x0，f(x0)，x01， 則切線

8、l2的方程為 yf(x0)f(x0)(xx0)。 因為直線 l2經過點 m(1，1)， 所以1f(x0)f(x0)(1x0)， 其中 f(x0)x304x02，f(x0)3x204， 于是1(x304x02)(3x204) (1x0)， 整理得 2x303x2010，即(x01)2 (2x01)0， 3 / 4 又 x01，所以 x012。 所以切點為12，318，直線 l2的斜率 k2f12134， 所以直線 l2的方程為 y318134x12， 即 y134x94。 13已知函數 f(x)ln x1x。 (1)求曲線 yf(x)在點(1，1)處的切線方程； (2)若函數 g(x)xf(x)

9、1，直線 l1：yax2e(e 是自然對數的底數)與函數 g(x)的圖象在點 xe處的切線 l2互相垂直，求直線 l1，l2與 x 軸圍成的封閉圖形的面積。 解 (1)由題意，知 f(x)1x1x2， 所以 f(1)2，所以切線方程為 y12(x1)， 即 2xy30。 (2)由已知，得 g(x)xln x，切點坐標為(e，e)， 由 g(x)ln x1，得 g(e)2， 所以 l2的方程為 ye2(xe)， 即 y2xe 。 所以直線 l1的斜率為12， 故 l1的方程為 y12x2e ， 聯立，得直線 l1與 l2交點的坐標為65e，75e ， 又 l2與 x 軸的交點為e2，0 ，l1與

10、 x 軸的交點為(4e,0)， 此封閉圖形為三角形，底邊 m4ee27e2，高 h75e， 所以三角形面積 s12mh127e275e4920e2。 素養(yǎng)提升組 14(新情境題)通常用以下方法求函數 yf(x)g(x)的導數：先兩邊同時取以 e 為底的對數(e2.718 28為自然對數的底數)得 ln yg(x)ln f(x)，再兩邊同時求導，得1y yg(x)ln f(x)g(x)ln f(x)，即 yf(x)g(x)g(x) ln f(x)g(x)ln f(x)。運用此方法求出的函數 yx 1x (x0)的一個單調遞增區(qū)間是( ) a(e,4) b(3,6) c(0，e) d(2,3) 解

11、析 由已知得 yx 1x 1x2ln x1x1xx 1x 1ln xx2(x0)，令 y0，得 1ln x0，解得0 x0)。 (1)試判斷 f(x)與 g(x)的大小關系； (2)試判斷曲線 yf(x)和 yg(x)是否存在公切線？若存在，求出公切線的方程；若不存在，說明理由。 解 (1)設 f(x)f(x)g(x)，x0， 則 f(x)1x3x2(x0)。 由 f(x)0，得 x3，當 0 x3 時， f(x)3 時，f(x)0 ， 故 f(x)在區(qū)間(0,3)上單調遞減，在區(qū)間(3，)上單調遞增。 所以 f(x)的最小值 f(3)ln 310， 所以 f(x)0，即 f(x)g(x)。 4 / 4 (2)假設曲線 yf(x)與 yg(x)有公切線，切點分別為 p(x0，ln x0)和 qx1，23x1。 因為 f(x)1x，g(x)3x2， 所以分別以 p(x0，ln x0)和 qx1，23x1為切點的切線方程為 yxx0ln x01，y3x21x26x1。 令 1x03x21，ln x0126x1，得 2ln x16x1(3ln 3)0。 令 h(x)2ln x6x(3ln 3)， 所以 h(x)