高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章 第4節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、1 / 17 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考試要求 1.能畫出 ysin x，ycos x，ytan x 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性. 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與 x 軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間2，2內(nèi)的單調(diào)性 1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù) ysin x，x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函數(shù) ycos x，x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) ysin x

2、 ycos x ytan x 圖象 定義域 r r x xk2，kz 值域 1,1 1,1 r 單調(diào)性 遞增區(qū)間： 2k2，2k2， kz， 遞減區(qū)間： 2k2，2k32， 遞增區(qū)間： 2k，2k， kz， 遞減區(qū)間： 2k，2k， kz 遞增區(qū)間 k2，k2， kz 2 / 17 kz 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 (k，0)，kz 對(duì)稱中心 k2，0 ，kz 對(duì)稱中心 k2，0 ，kz 對(duì)稱軸 xk2(kz) 對(duì)稱軸 xk(kz) 周期性 2 2 提醒：(1)正弦、余弦函數(shù)一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度是半個(gè)周期，ytan x無單調(diào)遞減區(qū)間，ytan x 在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)

3、 (2)求 yasin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意 a 和 的符號(hào)盡量化成 0 的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆 常用結(jié)論 1對(duì)稱與周期 (1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是14個(gè)周期 (2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期 2函數(shù)具有奇、偶性的充要條件 (1)函數(shù) yasin(x)(xr)是奇函數(shù)k(kz)； (2)函數(shù) yasin(x)(xr)是偶函數(shù)k2(kz)； (3)函數(shù) yacos(x)(xr)是奇函數(shù)k2(kz)； (4)函數(shù) yacos(x)(xr)是偶函數(shù)k(kz) 一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，

4、錯(cuò)誤的打“”) (1)正切函數(shù) ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)( ) (2)已知 yksin x1，xr，則 y 的最大值為 k1.( ) (3)函數(shù) ysin x 的圖象關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kz)中心對(duì)稱( ) 3 / 17 (4)ysin|x|與 y|sin x|都是周期函數(shù)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1若函數(shù) y2sin 2x1 的最小正周期為 t，最大值為 a，則( ) at，a1 bt2，a1 ct，a2 dt2，a2 a t22，a211，故選 a. 2函數(shù) ytan 2x 的定義域是( ) a.x xk4，kz b.x xk28，kz c.x x

5、k8，kz d.x xk24，kz d 由 2xk2，kz， 得 xk24，kz， ytan 2x的定義域?yàn)閤 xk24，kz. 3ysin2x4的單調(diào)遞減區(qū)間是_ 38k，78k (kz) 由22k2x4322k，kz 得，38kx78k，kz. 4函數(shù) y32cosx4的最大值為_，此時(shí) x_. 5 342k(kz) 函數(shù) y32cosx4的最大值為 325，此時(shí) x42k，kz，即 x342k(kz) 4 / 17 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù)定義域的求法 (1)求三角函數(shù)的定義域?；癁榻馊遣坏仁?組) (2)解三角不等式(組)時(shí)常借助三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線 (3)對(duì)于函數(shù)

6、yatan(x)的定義域可令 xk2，kz 求解 1函數(shù) y1tan x1的定義域?yàn)開 x x4k，且x2k，kz 要使函數(shù)有意義，必須有 tan x10，x2k，kz， 即 x4k，kz，x2k，kz. 故函數(shù)的定義域?yàn)閤 x4k，且x2k，kz. 2函數(shù) ylg(sin x)cos x12的定義域?yàn)開 x 2kx32k，kz 函數(shù)有意義，則 sin x0，cos x120， 即 sin x0，cos x12， 解得 2kx2k(kz)，32kx32k(kz)， 所以 2kx32k(kz)， 5 / 17 所以函數(shù)的定義域?yàn)閤 2kx32k，kz. 3函數(shù) y sin xcos x的定義域?yàn)?/p>

7、_ x 2k4x2k54，kz 方法一：要使函數(shù)有意義，必須使 sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上 ysin x 和 ycos x 的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足 sin xcos x 的 x 為4，54，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閤 2k4x2k54，kz. 方法二：sin xcos x 2sinx40，將 x4視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù) ysin x的圖象和性質(zhì)可知 2kx42k(kz)，解得 2k4x2k54(kz)，所以定義域?yàn)閤 2k4x2k54，kz. 點(diǎn)評(píng)：若定義域中含 k 或 2k 應(yīng)注明 kz. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的值域(最

8、值) 求三角函數(shù)的值域(最值)的三種類型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函數(shù)化為 yasin(x)k的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函數(shù)，可先設(shè) sin xt，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函數(shù)，可先設(shè) tsin x cos x，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域(最值) 典例 1 (1)已知函數(shù) f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3，則函數(shù) f(x)在區(qū)間4，34上的值域是_ (2)(2019 全國卷)函數(shù) f(x)sin2x

9、323cos x 的最小值為_ 6 / 17 (3)函數(shù) ysin xcos xsin xcos x的值域?yàn)開 (1)(1,2 (2)4 (3)12 2，1 (1)f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3 3(1cos 2x)sin 2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3. 4x34， 62x376， 12sin2x31， 12sin2x32， 即函數(shù) f(x)在區(qū)間4，34上的值域是(1,2 (2)f(x)sin2x323cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1， 令 cos xt，則 t1,1 f(t)2t23t12t342178， 易知當(dāng) t1時(shí)

10、，f(t)min2123114. 故 f(x)的最小值為4. (3)設(shè) tsin xcos x，則 t2sin2xcos2x2sin x cos x，sin xcos x1t22，且 2t 2. yt22t1212(t1)21，t 2， 2 當(dāng) t1時(shí)，ymax1； 當(dāng) t 2時(shí)，ymin12 2. 函數(shù)的值域?yàn)?2 2，1 . 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于函數(shù) yasin(x)，令 tx，求出 t的范圍，再根據(jù) ysin t 的圖象求 sin t 的值域，這是常用的方法 7 / 17 跟進(jìn)訓(xùn)練 1函數(shù) f(x)3sin2x6在區(qū)間0，2上的值域?yàn)開 32，3 當(dāng) x0，2時(shí)，2x66，56， sin2x612

11、，1 ， 故 3sin2x632，3 ， 函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上的值域?yàn)?2，3 . 2函數(shù) f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_ 1 依題意，f(x)sin2x 3cos x34cos2x 3cos x14cos x3221， 因?yàn)?x0，2，所以 cos x0,1， 因此當(dāng) cos x32時(shí)，f(x)max1. 考點(diǎn)三 三角函數(shù)的單調(diào)性 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 (1)將函數(shù)化為 yasin(x)或 yacos(x)的形式，若 0，借助誘導(dǎo)公式將 化為正數(shù) (2)根據(jù) ysin x 和 ycos x 的單調(diào)區(qū)間及 a的正負(fù)，列不等式求解 典例

12、21 (1)函數(shù) f(x)3sin232x 的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是( ) a.712，1312 b12，712 c.2，2 d56，6 (2)函數(shù) y12sin x32cos xx0，2的單調(diào)遞增區(qū)間是_ 8 / 17 (1)b (2)0，6 (1)f(x)3sin232x 3sin2x23. 由22k2x2322k，kz 得， 12kx712k，kz， k0時(shí)，12x712， k1時(shí)，1312x1912， k1時(shí)，1112x512， 12，712是 f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，故選 b. (2)y12sin x32cos xsinx3， 由 2k2x32k2(kz)， 解得 2k56x2k6(

13、kz) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k56，2k6(kz)， 又 x0，2，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，6. 點(diǎn)評(píng)：本例(2) 在整體求得函數(shù) y12sin x32cos x 的增區(qū)間后，采用對(duì) k賦值的方式求得 x0，2上的區(qū)間 已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法 子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 反子 集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 周期 由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過14周期列9 / 17 性法 不等式(組)求解 典例 22 (1)

14、(2020 西安模擬)已知 0，函數(shù) f(x)sinx4在2，上單調(diào)遞減，則 的取值范圍是( ) a(0,2 b0，12 c12，34 d12，54 (2)(2018 全國卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是減函數(shù)，則 a的最大值是 ( ) a4 b2 c34 d (1)d (2)a (1)方法一(反子集法)：x2， ，x424，4. f(x)在2， 上單調(diào)遞減， 2422k，kz，4322k，kz， 解得 4k12，kz，2k54，kz. 又 0，kz， k0，此時(shí)1254，故選 d. 方法二(子集法) ：由 2k2x42k32，得2k4x2k54，kz， 10 / 17 因?yàn)?

15、f(x)sinx4在2， 上單調(diào)遞減， 所以 2k42，2k54，解得 4k12，2k54.因?yàn)?kz，0，所以 k0， 所以1254，即 的取值范圍為12，54.故選 d. (2)f(x)cos xsin x 2cosx4， 由 0 x4 得4x34. 4，34 是 f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間 由題意知a，a4，34， 0a4，則 a的最大值為4，故選 a. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2020 湖南省湘東六校聯(lián)考)函數(shù) f(x)sin2x612，則下列表述正確的是( ) af(x)在3，6上單調(diào)遞減 bf(x)在6，3上單調(diào)遞增 cf(x)在6，0 上單調(diào)遞減 df(x)在0，6上單調(diào)遞增 d f(x)

16、sin2x612，由 2x622k，22k ，kz，解得 x3k，6k ，kz，當(dāng) k0 時(shí)，x3，6，所以函數(shù) f(x)在3，6上單調(diào)遞增，故選 d. 11 / 17 2已知函數(shù) f(x)2sin(2x)(|)，若 f(x)在區(qū)間5，58上單調(diào)遞增，則 的取值范圍是( ) a910，310 b25，910 c10，4 d，104， c 函數(shù) f(x)2sin(2x)在區(qū)間5，58上單調(diào)遞增，函數(shù) y2sin(2x)在區(qū)間5，58上單調(diào)遞減， 由22k2x322k，kz，解得4k2x34k2，kz，4k25，5834k2，kz，20k28k，kz，102k42k，kz，|，令 k0，解得104

17、， 的取值范圍是10，4.故選 c. 3函數(shù) g(x)cos2x3 x2，2的單調(diào)遞增區(qū)間為_ 2，3，6，2 g(x)cos2x3cos2x3， 欲求函數(shù) g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間， 只需求函數(shù) ycos2x3的單調(diào)遞減區(qū)間 由 2k2x32k(kz)， 得 k6xk23(kz) 故函數(shù) g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k6，k23(kz) 因?yàn)?x2，2， 所以函數(shù) g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2，3，6，2. 4若函數(shù) f(x)sin(x)0，且|2在區(qū)間6，23上單調(diào)遞減，且12 / 17 函數(shù)值從 1減少到1，則 f 4_. 32 由題意知t22362，故 t， 所以 2t2， 又因?yàn)?f 61，

18、所以 sin3 1. 因?yàn)閨2，所以 6， 即 f(x)sin2x6. 故 f 4sin26cos 632. 考點(diǎn)四 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性 三角函數(shù)的周期性 求三角函數(shù)周期的常用方法 (1)公式法求周期 函數(shù) f(x)asin(x)b與 f(x)acos(x)b的周期為 t2|； 函數(shù) f(x)atan(x)b的周期 t|. (2)利用正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性求最值 兩對(duì)稱軸距離的最小值和兩對(duì)稱中心距離的最小值都等于t2； 對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值等于t4； 兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之差的最小值等于 t. 典例 31 (1)(2019 全國卷)下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間4，2單調(diào)遞

19、增的是( ) af(x)|cos 2x| bf(x)|sin 2x| cf(x)cos|x| df(x)sin|x| (2)(2018 全國卷)已知函數(shù) f(x)2cos2xsin2x2，則( ) af(x)的最小正周期為 ，最大值為 3 13 / 17 bf(x)的最小正周期為 ，最大值為 4 cf(x)的最小正周期為 2，最大值為 3 df(x)的最小正周期為 2，最大值為 4 (1)a (2)b (1)對(duì)于選項(xiàng) a，作出 y|cos 2x|的部分圖象，如圖所示，則 f(x)在4，2上單調(diào)遞增，且最小正周期 t2，故 a正確 對(duì)于選項(xiàng) b，作出 f(x)|sin 2x|的部分圖象，如圖所示

20、，則 f(x)在4，2上單調(diào)遞減，且最小正周期 t2，故 b不正確 對(duì)于選項(xiàng) c，f(x)cos|x|cos x， 最小正周期 t2，故 c不正確 對(duì)于選項(xiàng) d，作出 f(x)sin|x|的部分圖象，如圖所示顯然 f(x)不是周期函數(shù)，故 d不正確故選 a. 圖 圖 圖 (2)f(x)2cos2xsin2x22cos2xsin2x2sin2x2cos2x 4cos2xsin2x3cos2x132(1cos 2x)1 32cos 2x52， 因此函數(shù) f(x)的最小正周期為 ，最大值為32524，故選 b. 點(diǎn)評(píng)：帶絕對(duì)值的三角函數(shù)求周期時(shí)，一般畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求14 / 17 周期 三

21、角函數(shù)的奇偶性 1.三角函數(shù)是奇、偶函數(shù)的充要條件 (1)函數(shù) yasin(x)(xr)是奇函數(shù)k(kz)；是偶函數(shù)k2(kz)； (2)函數(shù) yacos(x)(xr)是奇函數(shù)k2(kz)；是偶函數(shù)k(kz) 2若 yf(x)為奇函數(shù)，則當(dāng) x0時(shí)，y0； 若 yf(x)為偶函數(shù)，則當(dāng) x0時(shí)，y 取最大值或最小值 典例 32 已知函數(shù) f(x)3sin2x3 ，(0，) (1)若 f(x)為偶函數(shù)，則 _； (2)若 f(x)為奇函數(shù)，則 _. (1)56 (2)3 (1)因?yàn)?f(x)3sin2x3 為偶函數(shù)， 所以3k2，kz， 又因?yàn)?(0，)，所以 56. (2)因?yàn)?f(x)3si

22、n2x3 為奇函數(shù)， 所以3k，kz， 又 (0，)， 所以 3. 三角函數(shù)的對(duì)稱性 求對(duì)稱軸方程(對(duì)稱中心坐標(biāo))的方法 (1)求 f(x)asin(x)圖象的對(duì)稱軸方程，只需對(duì) x2k(kz)整理，對(duì)稱中心橫坐標(biāo)只需令 xk(kz)，求 x. (2)求 f(x)acos(x)的對(duì)稱軸方程，只需對(duì) xk(kz)整理，對(duì)15 / 17 稱中心橫坐標(biāo)為 x2k(kz)，求 x 即可 (3)求 f(x)atan(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需對(duì) xk2(kz)，求 x. 典例 33 (1)已知函數(shù) f(x)2sinx6(0)的最小正周期為 4，則該函數(shù)的圖象( ) a關(guān)于點(diǎn)3，0 對(duì)稱 b關(guān)于點(diǎn)53，0 對(duì)稱 c關(guān)于直線 x3對(duì)稱 d關(guān)于直線 x53對(duì)稱 (2)已知函數(shù) ysin(2x)22的圖象關(guān)于直線 x3對(duì)稱，則 的值為_ (1)b (2)