高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 (2)

1、1 / 11 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章內(nèi)容在高考中一般是“一大一小” 2.考查內(nèi)容 (1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般在選擇題或填空題中考查，有時與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合出現(xiàn)在壓軸小題中 (2)解答題一般都是兩問的題目，第一問考查曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值點(diǎn)等，屬于基礎(chǔ)問題第二問利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，已知單調(diào)區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的零點(diǎn)等問題. 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 考試要求 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) yc(c 為常數(shù))，yx ，yx2，yx3，y1x，y x的導(dǎo)數(shù). 3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的

2、四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2 / 11 1導(dǎo)數(shù)的概念 (1)函數(shù) yf(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù) yf(x)在 xx0處的瞬時變化率limx0 yxlimx0 f(x0 x)f(x0)x為函數(shù) yf(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)limx0 yxlimx0 f(x0 x)f(x0)x. (2)函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)：f(x)limx0 f(xx)f(x)x. 提醒：函數(shù) yf(x)的導(dǎo)數(shù) f(x)反映了函數(shù) f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”

3、 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f(x0)的幾何意義是曲線 yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率相應(yīng)地，切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0) 提醒：(1)瞬時速度是位移函數(shù) s(t)對時間的導(dǎo)數(shù) (2)曲線 yf(x)在點(diǎn) p(x0，y0)處的切線是指 p為切點(diǎn)，斜率為 f(x0)的切線，是唯一的一條切線 (3)曲線 yf(x)過點(diǎn) p(x0，y0)的切線，點(diǎn) p不一定是切點(diǎn)，切線可能有多條 3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)c(c 為常數(shù)) f(x)0 f(x)xn(nq*) f(x)nxn1 f(x)sin x f(x)cos_x f(

4、x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln_a(a0) f(x)ex f(x)ex f(x)logax(a0，且 a1) f(x)1xln a(a0，且 a1) f(x)ln x f(x)1x 3 / 11 4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)f(x) g(x)f(x) g(x)； (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2(g(x)0) 5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù) yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yxyu ux，即 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)等于 y 對 u的導(dǎo)數(shù)與 u

5、對 x 的導(dǎo)數(shù)的乘積 常用結(jié)論 1奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù) 2熟記以下結(jié)論： (1)1x1x2； (2)1f(x)f(x)f(x)2(f(x)0)； (3)af(x) bg(x)af(x) bg(x) 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)f(x0)是函數(shù) yf(x)在 xx0附近的平均變化率( ) (2)求 f(x0)時，可先求 f(x0)，再求 f(x0)( ) (3)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線( ) (4)函數(shù) f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是 f(x)cos x( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教

6、材習(xí)題衍生 1(多選)下列各式正確的是( ) asin3cos3 b(cos x)sin x c(sin x)cos x d(x5)5x6 cd 對于 a，sin30，故 a錯誤；對于 b，(cos x)sin x，故 b4 / 11 錯誤；對于 c，(sin x)cos x，故 c正確；對于 d，(x5)5x6，故 d正確 2曲線 yx311在點(diǎn) p(1,12)處的切線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( ) a9 b3 c9 d15 c 因?yàn)?yx311，所以 y3x2，所以 y|x13，所以曲線 yx311在點(diǎn) p(1,12)處的切線方程為 y123(x1)令 x0，得 y9.故選 c. 3.已知

7、函數(shù) f(x)的圖象如圖，f(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是( ) a0f(2)f(3)f(3)f(2) b0f(3)f(2)f(3)f(2) c0f(3)f(3)f(2)f(2) d0f(3)f(2)f(2)f(3) c 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0f(3)f(3)f(2)f(2)，故選 c. 4在高臺跳水運(yùn)動中，t s 時運(yùn)動員相對于水面的高度(單位：m)是 h(t)4.9t26.5t10，則運(yùn)動員的速度 v_m/s，加速度 a_m/s2. 9.8t6.5 9.8 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8. 5若 yln(2x5)，則 y_. 22x5 令 v2x5，則 yv

8、v22x5. 考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 5 / 11 已知函數(shù)解析式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 典例 11 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)yx 2x；(2)ytan x； (3)y2sin2x21；(4)yln2x12x1. 解 (1)先變形：y 2x ，再求導(dǎo)：y( 2x )3 22x . (2)先變形：ysin xcos x，再求導(dǎo)： ysin xcos x(sin x) cos xsin x (cos x)cos2x1cos2x. (3)先變形：ycos x， 再求導(dǎo)：y(cos x)(sin x)sin x. (4)先變形：yln(2x1)ln(2x1)， 再求導(dǎo)：yln(2x1)ln(2x1) 12x1

9、(2x1)12x1 (2x1) 22x122x144x21. 點(diǎn)評：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù) (2)在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，避免運(yùn)算錯誤 抽象函數(shù)求導(dǎo) 典例 12 已知 f(x)x22xf(1)，則 f(0)_. 6 / 11 4 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)， f(1)2， f(0)2f(1)2(2)4. 點(diǎn)評：賦值法是求解此類問題的關(guān)鍵，求解時先視 f(1)為常數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算 f(x)，最后分別令 x1，x0代入 f(x)求解即可 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2020

10、 全國卷)設(shè)函數(shù) f(x)exxa，若 f(1)e4，則 a_. 1 由于 f(x)ex(xa)ex(xa)2，故 f(1)ea(1a)2e4，解得 a1. 2已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，且滿足關(guān)系式 f(x)x23xf(2)ln x，則 f(2)_. 94 因?yàn)?f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1x，所以f(2)43f(2)123f(2)92，所以 f(2)94. 3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)yx2sin x；(2)ycos xex； (3)yxsin x2cos x2； (4)y 2x1. 解 (1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin

11、xx2cos x. (2)ycos xex(cos x)excos x(ex)(ex)2 exsin xexcos xe2x sin xcos xex. (3)yxsin x2cos x2x12sin x， y112cos x. 7 / 11 (4)令 u2x1，yu ， y12u (u)(2x1)2 2x112x1. 考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求曲線的切線方程 切線方程的求法 (1)已知切點(diǎn) a(x0，f(x0)求切線方程，可先求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值 f(x0)，再根據(jù) yf(x0)f(x0)(xx0)求解 (2)若求過點(diǎn) p(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由 y1f(x1)，y

12、0y1f(x1)(x0 x1)求解即可 典例 21 (1)(2020 全國卷)函數(shù) f(x)x42x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為( ) ay2x1 by2x1 cy2x3 dy2x1 (2)已知函數(shù) f(x)xln x，若直線 l 過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線 yf(x)相切，則直線 l 的方程為_ (1)b (2)xy10 (1)法一：f(x)x42x3，f(x)4x36x2， f(1)2，又 f(1)121，所求的切線方程為 y12(x1)，即 y2x1.故選 b. 法二：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，切線的斜率為2，排除 c，d.又 f(1)121，切線

13、過點(diǎn)(1，1)，排除 a.故選 b. (2)點(diǎn)(0，1)不在曲線 f(x)xln x 上， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f(x)1ln x， 直線 l 的方程為 y1(1ln x0)x. 由 y0 x0ln x0，y01(1ln x0)x0，解得 x01，y00. 直線 l 的方程為 yx1，即 xy10. 求切點(diǎn)坐標(biāo) 求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路 8 / 11 已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo) 典例 22 (2019 江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，點(diǎn) a在曲線 yln x 上，且該曲線在點(diǎn) a

14、處的切線經(jīng)過點(diǎn)(e，1)(e 為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn) a的坐標(biāo)是_ (e,1) 設(shè) a(x0，y0)，由 y1x，得 k1x0， 所以在點(diǎn) a處的切線方程為 yln x01x0(xx0) 因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)(e，1)， 所以1ln x01x0(ex0)，所以 ln x0ex0， 解得 x0e，y01，即 a(e,1) 點(diǎn)評：切點(diǎn)既在曲線上，也在切線上，這是解題的切入點(diǎn) 求參數(shù)的值(范圍) 1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法 利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍 2求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點(diǎn) (1)

15、注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍 (2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上 典例 23 (1)(2019 全國卷)已知曲線 yaexxln x 在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為 y2xb，則( ) aae，b1 bae，b1 cae1，b1 dae1，b1 (2)已知函數(shù) f(x)exmx1的圖象為曲線 c，若曲線 c存在與直線 y12x垂直的切線，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( ) am2 bm2 9 / 11 cm12 dm12 (1)d (2)a (1)yaexln x1，y|x1ae1， 2ae1，ae1.切點(diǎn)為(1,1)， 將(1,1)代入 y2xb，得 12b， b1，故選 d. (2)f(x)exm

16、，由題意知方程 f(x)2有解 即 mex2 有解，由 ex22得 m2，故選 a. 兩曲線的公切線問題 解決此類問題通常有兩種方法 一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解； 二是設(shè)公切線 l 在 yf(x)上的切點(diǎn) p1(x1，f(x1)，在 yg(x)上的切點(diǎn)p2(x2，g(x2)，則 f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)x1x2. 典例 24 (1)已知曲線 f(x)x3ax14在 x0處的切線與曲線 g(x)ln x 相切，則 a 的值為_ (2)若直線 ykxb 是曲線 yln x2 的切線，也是曲線 yex的切線，則b_. (1)e (2)0 或 1 (

17、1)由 f(x)x3ax14，得 f(x)3x2a. f(0)a，f(0)14， 曲線 yf(x)在 x0處的切線方程為 y14ax. 設(shè)直線 y14ax 與曲線 g(x)ln x 相切于點(diǎn)(x0，ln x0)，g(x)1x， ln x014ax0， a1x0， 將代入得 ln x034， 10 / 11 x0e ，a1ee. (2)設(shè)直線 ykxb 與曲線 yln x2 的切點(diǎn)為(x1，y1)，與曲線 yex的切點(diǎn)為(x2，y2)，yln x2 的導(dǎo)數(shù)為 y1x，yex的導(dǎo)數(shù)為 yex，可得 kex21x1.又由 ky2y1x2x1ex2ln x12x2x1，消去 x2，可得(1ln x1)

18、 (x11)0，則x11e或 x11，則直線 ykxb 與曲線 yln x2 的切點(diǎn)為1e，1 或(1,2)，與曲線 yex的切點(diǎn)為(1，e)或(0,1)，所以 ke111ee 或 k12011，則切線方程為 yex或 yx1，可得 b0 或 1. 點(diǎn)評：求解過程中，關(guān)鍵在消元 跟進(jìn)訓(xùn)練 1曲線 f(x)x3x3 在點(diǎn) p 處的切線平行于直線 y2x1，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為( ) a(1,3) b(1,3) c(1,3)或(1,3) d(1，3) c f(x)3x21，令 f(x)2，得 3x212， 解得 x 1，當(dāng) x1時，y3，當(dāng) x1時，y3， p(1,3)或 p(1,3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) p(1,3)和 p(1,3)均不在直線 y2x1上，故選 c. 2若直線 y12xm與曲線 yx32相切，則 m_. 14 或18 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由 yx32 得 y3x2， y| xx03x20，由題意知 3x2012，解得 x0 2， 當(dāng) x02時，y06，當(dāng) x0