高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1節(jié)　空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

1、1 / 19 第第 1 節(jié)節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 考試要求 1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式. 知 識 梳 理 1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 棱錐 棱臺 圖形 底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，

2、但不一定相等 延長線交 于一點(diǎn) 側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形 (2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 圖形 母線 互相平行且相相交于一點(diǎn) 延長線交 2 / 19 等，垂直于底面 于一點(diǎn) 軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓 側(cè)面展 開圖 矩形 扇形 扇環(huán) 2.直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中 x 軸、y 軸、z 軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為 45 (或 135 )，z軸與 x軸、y軸所在平面垂直. (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于 x 軸和 z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于 y

3、軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话? 3.三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線. (2)三視圖的畫法 基本要求：長對正，高平齊，寬相等. 在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線. 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓. (2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形. (3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形. (4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形. 2.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用

4、虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線. 診 斷 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.( ) 3 / 19 (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.( ) (3)用斜二測畫法畫水平放置的a 時，若a 的兩邊分別平行于 x 軸和 y 軸，且a90 ，則在直觀圖中，a45 .( ) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.( ) 解析 (1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱. (2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐

5、. (3)用斜二測畫法畫水平放置的a 時，把 x，y 軸畫成相交成 45 或 135 ，平行于 x 軸的線段還平行于 x 軸，平行于 y 軸的線段還平行于 y 軸，所以a 可能為45 也可能為 135 . (4)球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形， 其俯視圖為圓心和圓，正方體的三視圖不一定相同. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第二冊 p112t5改編)一個菱形的邊長為 4 cm，一內(nèi)角為 60 ，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為( ) a.2 3 cm2 b.2 6 cm2 c.4 6 cm2 d.8 3 cm2 解析 直觀圖的面積為

6、2432422 6(cm2). 答案 b 3.(老教材必修 2p10b 組 t1 改編)如圖，長方體 abcdabcd被截去一部分，其中 ehad.剩下的幾何體是( ) a.棱臺 b.四棱柱 4 / 19 c.五棱柱 d.六棱柱 解析 由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱. 答案 c 4.(2020 衡水中學(xué)聯(lián)考)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬 3 丈、長 4丈，上棱長 2丈，高 2丈，問：它的體積是多少？”已知該楔體的正視圖和俯視圖如圖中粗實(shí)線

7、所示，則該楔體的側(cè)視圖的周長為( ) a.3 丈 b.6丈 c.8丈 d.(5 13)丈 解析 由題意可知該楔體的側(cè)視圖是等腰三角形，它的底邊長為 3丈，相應(yīng)高為2 丈，所以腰長為2232252(丈)，所以該楔體側(cè)視圖的周長為 32528(丈). 答案 c 5.(2019 濟(jì)寧一中月考)如圖為某個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個幾何體為( ) a.圓錐 b.三棱椎 c.三棱柱 d.三棱臺 5 / 19 解析 三由視圖可知，該幾何體是一個橫放的三棱柱，故選 c. 答案 c 6.(2018 全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長

8、方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( ) 解析 由題意知，在咬合時帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選 a. 答案 a 考點(diǎn)一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例 1】 (1)給出下列命題： 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線； 直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； 棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等. 其中正確命題的個數(shù)是( ) a.0 b.1 c.2 d.3 (2)(多選題)下列說法正確的是( ) a.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的

9、平行四邊形 b.在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱 c.存在每個面都是直角三角形的四面體 d.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn) 解析 (1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面6 / 19 相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等. (2)a 不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；b 正確，因?yàn)閮蓚€過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；c 正確

10、，如圖，正方體 abcda1b1c1d1中的三棱錐 c1abc，四個面都是直角三角形；d正確，由棱臺的概念可知. 答案 (1)a (2)bcd 規(guī)律方法 1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例. 2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系. 3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略. 【訓(xùn)練 1】 下列命題正確的是( ) a.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 b.兩個面平行且相似，其余各面都

11、是梯形的多面體是棱臺 c.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺 d.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形 解析 如圖所示，可排除 a，b 選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分. 答案 c 7 / 19 考點(diǎn)二 空間幾何體的三視圖 多維探究 角度 1 由幾何體的直觀圖判斷三視圖 【例 21】 (2020 衡陽模擬)如圖，正方體 ac1的頂點(diǎn) a，b 在平面 上，ab2，若平面 abcd 與平面 所成角為 30 ，由如圖所示的俯視方向，正方體 ac1在平面 上的俯視圖的面積為( ) a.2 b.1

12、 3 c.2 3 d.2 2 解析 依題意知，直線 ab 在平面 內(nèi)，且平面 與平面 abcd 所成的角為30 ，與平面 b1a1ab 所成的角為 60 ，故所得的俯視圖的面積 s2(cos 30 cos 60 )1 3. 答案 b 規(guī)律方法 由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖. 角度 2 由三視圖判斷幾何體 【例 22】 (2018 全國卷)某圓柱的高為 2，底面周長為 16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn) m 在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為 a，圓柱表面上的點(diǎn) n 在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為 b，則在此圓柱側(cè)面上，從 m 到 n的路徑中，最短路徑的長度為

13、( ) a.2 17 b.2 5 c.3 d.2 解析 由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的圓柱，該圓柱的高為 2，底面周長為 16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖所示，連接 mn，則 ms2，sn4，則從 m 到 n 的路徑中，最短路徑的長度為 mn ms2sn2 22422 5.故選 b. 8 / 19 答案 b 規(guī)律方法 由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置. (3)確定幾何體的直觀圖形狀. 【訓(xùn)練 2】 (1)(角度 1)如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，e 為

14、棱 bb1的中點(diǎn)，過點(diǎn) a，e，c1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為( ) (2)(角度 2) (2019 恩施二模)某圓錐的母線長為 2，高為4 23，其三視圖如圖所示，圓錐表面上的點(diǎn) m 在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為 a，圓錐表面上的點(diǎn) n 在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為 b，則在此圓錐側(cè)面上，從 m 到 n 的路徑中，最短路徑的長度為( ) a.2 b.2 2 c.82 3 d.22 3 9 / 19 解析 (1)如圖所示，過點(diǎn) a，e，c1的截面為 aec1f，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng) c中的圖形. (2)因?yàn)閳A錐的母線長為 2，高為4 23， 所以底面半徑 r224 23223，

15、 所以底面周長為 2r43， 所以側(cè)面展開圖中扇形中心角為2r243223，如圖所示， 連接 mn，則 m 到 n 的路徑中，最短路徑的長度為 mn，在omn 中，由余弦定理得 mn2222222cos 622 3. 答案 (1)c (2)d 考點(diǎn)三 空間幾何體的直觀圖 【例 3】 已知正三角形 abc的邊長為 a，那么abc 的平面直觀圖abc的面積為( ) a.34a2 b.38a2 c.68a2 d.616a2 解析 如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖. 10 / 19 由斜二測畫法可知，ababa，oc12oc34a，在圖中作 cdab于d，則 cd22oc68a.所以 sabc12abcd1

16、2a68a616a2. 答案 d 規(guī)律方法 1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成 45 或 135 )和“二測”(平行于 y 軸的線段長度減半，平行于 x 軸和 z軸的線段長度不變)來掌握. 2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：s直觀圖24s原圖形. 【訓(xùn)練 3】 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它的俯視圖的直觀圖是矩形o1a1b1c1，如圖，其中 o1a16，o1c12，則該幾何體的側(cè)面積為( ) a.48 b.64 c.96 d.128 解析 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個四棱柱，因?yàn)樗母┮晥D的直觀圖是矩形 o1a

17、1b1c1，o1a16，o1c12，所以它的俯視圖的直觀圖面積為 12，所以它的俯視圖的面積為 24 2，所以它的俯視圖是邊長為 6 的菱形，棱柱的高為4，故該幾何體的側(cè)面積為 46496. 答案 c a級 基礎(chǔ)鞏固 11 / 19 一、選擇題 1.如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是( ) 解析 由圓柱切削后的幾何體及其正視圖知，截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖中右邊的輪廓線不可見，故用虛線表示，故選 b. 答案 b 2.下列說法中，正確的是( ) a.棱柱的側(cè)面可以是三角形 b.若棱柱有兩個側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形 c.正方體的所有棱長都相等 d

18、.棱柱的所有棱長都相等 解析 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選項(xiàng) a 錯誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，選項(xiàng) b 錯誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長并不一定相等，選項(xiàng) d 錯誤；易知選項(xiàng) c正確.故選 c. 答案 c 3.用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為( ) a.12 b.22 c.23 d.24 解析 設(shè)原矩形的長為 a，寬為 b，則其直觀圖是長為 a，高為b2sin 45 24b 的平行四邊形，所以s直觀s矩形24abab24.故選 d. 答案 d 4.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為( )

19、 12 / 19 解析 由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示. 該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng) b中的圖形. 答案 b 5.如圖，在四棱錐 pabcd 中，pa平面 abcd，底面 abcd 是平行四邊形，acb90 ，ab 2，pabc1，則此幾何體的側(cè)視圖的面積是( ) a.14 b.1 c.32 d.12 解析 由題知，bcac，bcpa，又 acpaa， bc平面 pac，該幾何體的側(cè)視圖為直角三角形，兩直角邊長分別等于 pa的長與 ac 的長，ab 2，bc1，ac1pa，側(cè)視圖的面積 s121112. 答案 d 6.下列結(jié)論正確的是( ) 13 / 19 a.各個

20、面都是三角形的幾何體是三棱錐 b.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體 c.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐 d.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線 解析 如圖 1 知，a 不正確.如圖 2，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則 b不正確. 若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，c 錯誤.由圓錐母線的概念知，選項(xiàng) d正確. 答案 d 7.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下面的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是( ) a. b. c. d. 解析

21、 由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故正確. 答案 a 8.(2020 西安聯(lián)考)已知四棱錐 sabcd 的三視圖如圖所示，則圍成四棱錐 sabcd的五個面中最大面的面積是( ) 14 / 19 a.3 b.6 c.8 d.10 解析 如圖，由三視圖知四棱錐 sabcd的側(cè)面 sad 與底面 abcd垂直，底面為矩形，矩形的相鄰兩邊長分別為 2，4，底面面積為 248.由正視圖可得該四棱錐的高為 3222 5， sad 的面積為124 52 5.側(cè)面 sab 與側(cè)面 scd 為直角三角形，其面積均為12323.側(cè)面 sbc為等腰三角形，底邊上的高為（ 5）2223

22、， sbc 的面積為12436.圍成四棱錐 sabcd 的五個面中最大面的面積為 8. 答案 c 二、填空題 9.(多填題)如圖所示，圖是圖表示的幾何體的三視圖，其中圖是_，圖是_，圖是_(寫出視圖名稱). 解析 觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)其下層長為兩個小長方體的長，寬為兩個小長方體的寬，高為兩個小長方體的高.所以正視圖應(yīng)為，側(cè)視圖為，俯視圖為. 15 / 19 答案 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 10.有以下四個命題： 底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； 底面是矩形的平行六面體是長方體； 直四棱柱是直平行六面體； 棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn). 其中真命題的序號是_. 解析 命題符合平行

23、六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題是錯誤的；命題由棱臺的定義知是正確的. 答案 11.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為 4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn) p 出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn) p 處.若該小蟲爬行的最短路程為 4 3 m，則圓錐底面圓的半徑等于_ m. 解析 圓錐頂點(diǎn)記為 o，把圓錐側(cè)面沿母線 op展開成如圖所示的扇形， 由題意 op4，pp4 3， 則 cos pop4242（4 3）224412，又pop為pop一內(nèi)角，所以pop23. 設(shè)底面圓的半徑為 r

24、，則 2r234，所以 r43. 答案 43 12.一水平放置的平面四邊形 oabc，用斜二測畫法畫出它的直觀圖 oabc如圖16 / 19 所示，此直觀圖恰好是一個邊長為 1 的正方形，則原平面四邊形 oabc 的面積為_. 解析 因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的24倍，且直觀圖的面積為 1，所以原圖形的面積為 2 2. 答案 2 2 b級 能力提升 13.(2019 泉州二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是( ) a.圓弧 b.拋物線的一部分 c.橢圓的一部分 d.雙曲線的一部分 解析 根據(jù)幾何體的三視圖，可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故

25、側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選 d. 答案 d 14.(2020 廣州月考)一個幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為( ) 17 / 19 a.8 b.4 c.4 3 d.4 2 解析 由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，pa平面 abc，db平面 abc，abac，paabac4，db2，則易得 spacsabc8，scpd12，s梯形abdp12，sbcd124 224 2，故選 d. 答案 d 15.如圖，點(diǎn) o為正方體 abcdabcd的中心，點(diǎn) e為面 bbcc的中心，點(diǎn) f為 bc的中點(diǎn)，則空間四邊形 doef 在該正方體的各個面