高考數學一輪復習3 第3講　函數的奇偶性及周期性

1、1 / 15 第 3講 函數的奇偶性及周期性 最新考綱 考向預測 1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義. 2.會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性. 3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性. 命題 趨勢 以理解函數的奇偶性、會用函數的奇偶性為主，常與函數的單調性、周期性與對稱性交匯命題，加強函數與方程思想、轉化與化歸思想的應用意識，題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度. 核心 素養(yǎng) 數學抽象、邏輯推理 1函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 一般地，如果對于函數 f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于 y

2、 軸對稱 奇函數 如果對于函數 f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數 f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱 2.函數的周期性 (1)周期函數：對于函數 yf(x)，如果存在一個非零常數 t，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有 f(xt)f(x)，那么就稱函數 yf(x)為周期函數，稱 t為這個函數的周期 (2)最小正周期：如果在周期函數 f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 f(x)的最小正周期 2 / 15 常用結論 1函數奇偶性的常用結論 (1)如果函數 f(x)是偶函數，那么 f(x)f(|x|) (2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有

3、相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性 (3)在公共定義域內有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 2函數周期性的常用結論 對 f(x)定義域內任一自變量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，則 t2a(a0) (2)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0) (3)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0) 常見誤區(qū) 1判斷函數的奇偶性不可忽視函數的定義域函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件 2函數 f(x)是奇函數，必須滿足對定義域內的每一個 x，都有 f(x)f(x)，而不能說存在 x0，使 f(x0)f(x0)同樣偶函數也是如此 3不是所

4、有的周期函數都有最小正周期，如 f(x)5. 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)若 f(x)是定義在 r 上的奇函數，則 f(x)f(x)0.( ) (2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點( ) (3)如果函數 f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則 f(x)f(x)g(x)是偶函數( ) (4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件( ) (5)若 t是函數的一個周期，則 nt(nz，n0)也是函數的周期( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2下列函數中為偶函數的是( ) 3 / 15 ayx2sin x byx2cos x cy|

5、ln x| dy2x 解析：選 b.根據偶函數的定義知偶函數滿足 f(x)f(x)且定義域關于原點對稱，a 選項為奇函數，b 選項為偶函數，c 選項定義域為(0，)，不具有奇偶性，d選項既不是奇函數，也不是偶函數故選 b. 3(易錯題)已知函數 f(x)ax2bx3 是定義在a3，2a上的偶函數，則ab 的值是( ) a1 b1 c3 d0 解析：選 b.因為函數 f(x)ax2bx3 是定義在a3，2a上的偶函數，所以 a32a0，解得 a1.由 f(x)f(x)得 b0，所以 ab1.故選 b. 4已知函數 f(x)是定義在 r 上的奇函數，當 x0時，f(x)x(1x)，則 f(1)_

6、解析：f(1)122，又 f(x)為奇函數， 所以 f(1)f(1)2. 答案：2 5設 f(x)是定義在 r 上的周期為 2 的函數，當 x1，1)時，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，則 f32_ 解析：f32f212f12412221. 答案：1 函數的奇偶性 角度一 判斷函數的奇偶性 判斷下列函數的奇偶性 (1)f(x)x3x，x1，4； (2)f(x)ln 2x2x； 4 / 15 (3)f(x) x21 1x2； (4)f(x)x22，x0，0，x0，x22，x0. 【解】 (1)因為 f(x)x3x，x1，4的定義域不關于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數 (2

7、)f(x)的定義域為(2，2)， f(x)ln 2x2xln 2x2xf(x)， 所以函數 f(x)為奇函數 (3)f(x)的定義域為1，1，關于原點對稱 又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0， 所以 f(x)既是奇函數又是偶函數 (4)f(x)的定義域為 r，關于原點對稱， 當 x0時，f(x)(x)22(x22)f(x)； 當 x0時，f(x)(x)22(x22)f(x)； 當 x0時，f(0)0，也滿足 f(x)f(x) 故該函數為奇函數 函數具有奇偶性包括兩個必備條件： (1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域 (2)判斷 f(x)與 f(

8、x)的關系在判斷奇偶性時，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式 f(x)f(x)0(奇函數)或 f(x)f(x)0(偶函數)是否成立 常見特殊結構的奇偶函數：f(x)loga( x21x)(a0 且 a1)為奇函數，f(x)axax(a0且 a1)為偶函數 角度二 函數奇偶性的應用 (1)(2019 高考全國卷)設 f(x)為奇函數，且當 x0 時，f(x)ex1，則當 x0時，f(x)( ) aex1 bex1 5 / 15 cex1 dex1 (2)(2021 黑龍江哈爾濱師范大學附中月考)已知函數 f(x)cos 22x xx211，若 f(a)13，則 f(a)( ) a13 b23 c1

9、3 d53 【解析】 (1)通解：依題意得，當 x0 時，f(x)f(x)(ex1)ex1，選 d. 優(yōu)解：依題意得，f(1)f(1)(e11)1e，結合選項知，選 d. (2)設 g(x)f(x)1sin 2xxx21，易知 g(x)是奇函數， 則 g(a)f(a)113123， 所以 g(a)g(a)23， 即 f(a)123，所以 f(a)53.故選 d. 【答案】 (1)d (2)d 已知函數奇偶性可以解決的 3個問題 (1)求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解 (2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出 (3)求解析式中的參數：利用待定

10、系數法求解，根據 f(x) f(x)0 得到關于參數的恒等式，由系數的對等性得參數的方程或方程(組)，進而得出參數的值 1函數 f(x)x2a3x28為奇函數，則實數 a( ) a1 b1 6 / 15 c32 d32 解析：選 c.由題知 f(x)為奇函數，則 f(0)0，即 02a30，所以 a32，此時 f(x)xx28為奇函數 2如果 f(x)是定義在 r 上的奇函數，那么下列函數中，一定為偶函數的是( ) ayxf(x) byxf(x) cyx2f(x) dyx2f(x) 解析：選 b.因為 f(x)是奇函數， 所以 f(x)f(x) 對于 a，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，

11、所以 yxf(x)是奇函數 對于 b，g(x)xf(x)xf(x)g(x)， 所以 yxf(x)是偶函數 對于 c，g(x)(x)2f(x)x2f(x)， 所以 yx2f(x)為非奇非偶函數 對于 d，g(x)(x)2f(x) x2f(x)g(x)，所以 yx2f(x)是奇函數 3(多選)若函數 f(x)，g(x)分別是定義在 r 上的偶函數、奇函數，且滿足f(x)2g(x)ex，則( ) af(x)exex2 bg(x)exex2 cf(2)g(1) dg(1)f(3) 解析：選 ad.因為函數 f(x)，g(x)分別是定義在 r 上的偶函數、奇函數，且滿足 f(x)2g(x)ex ， 所以

12、 f(x)2g(x)ex，即 f(x)2g(x)ex. 聯立f（x）2g（x）ex，f（x）2g（x）ex， 7 / 15 解得f（x）exex2，g（x）exex4，所以 f(2)e2e22，f(3)e3e32，g(1)e1e40，所以 g(1)f(2)，g(1)0 時，f(x)x2x，則當 x0時，函數 f(x)的最大值為_ 解析：方法一：當 x0，所以 f(x)x2x. 又因為函數 f(x)為奇函數， 所以 f(x)f(x)x2xx12214， 所以當 x0時，f(x)x2xx12214，最小值為14， 因為函數 f(x)為奇函數，所以當 x0時，函數 f(x)的最大值為14. 答案：1

13、4 函數的周期性 (1)(2020 廣東六校第一次聯考)在 r 上函數 f(x)滿足 f(x1)f(x1)，且 f(x)xa，1x0，|2x|，0 x1，其中 ar，若 f(5)f(4.5)，則 a( ) a0.5 b1.5 c2.5 d3.5 (2)已知 f(x)是 r 上最小正周期為 2的周期函數，且當 0 x2時，f(x)x3x，則函數 yf(x)的圖象在區(qū)間0，4上與 x 軸的交點的個數為( ) a2 b3 c4 d5 【解析】 (1)由 f(x1)f(x1)，得 f(x)是周期為 2 的函數，又 f(5)f(4.5)，所以 f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以 a2.5.故選 c

14、. 8 / 15 (2)當 0 x2 時，令 f(x)x3xx(x21)0，所以 yf(x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標分別為 x10，x21. 當 2x4 時，0 x22，又 f(x)的最小正周期為 2，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)(x1)(x3)，所以當 2x4 時，yf(x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標分別為 x32，x43.又 f(4)f(2)f(0)0，綜上可知，共有 5個交點 【答案】 (1)c (2)d 函數周期性的判定與應用 (1)判斷函數的周期性只需證明 f(xt)f(x)(t0)便可證明函數是周期函數，且周期為 t，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題

15、 (2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若 t 是函數的周期，則 kt(kz 且 k0)也是函數的周期 1已知定義在 r 上的函數滿足 f(x2)1f（x），當 x(0，2時，f(x)2x1.則 f(17)_ 解析： 因為 f(x2)1f（x）， 所以 f(x4)1f（x2）f(x)， 所以函數 yf(x)的周期 t4. f(17)f(441)f(1)1. 答案：1 2已知 f(x)是定義在 r 上的偶函數，且 f(x4)f(x2)若當 x3，0時，f(x)6x，則 f(2 023)_ 解析：因為 f(x4)f(x2)， 所以 f(x6)

16、f(x)，則 t6是 f(x)的周期 所以 f(2 023)f(33761)f(1) 又 f(x)在 r 上是偶函數， 所以 f(1)f(1)6(1)6，即 f(2 023)6. 9 / 15 答案：6 a級 基礎練 1(多選)下列函數中，既是偶函數又在(0，)上單調遞增的函數是( ) ayx2 by|x1| cy|x|1 dy2x 解析：選 ac.選項 a，c 中的函數為偶函數且在(0，)上單調遞增；選項 b，d中的函數均為非奇非偶函數所以排除選項 b，d，故選 ac. 2函數 f(x)x9x(x0)是( ) a奇函數，且在(0，3)上是增函數 b奇函數，且在(0，3)上是減函數 c偶函數，

17、且在(0，3)上是增函數 d偶函數，且在(0，3)上是減函數 解析：選 b.因為 f(x)x9xx9xf(x)， 所以函數 f(x)x9x為奇函數 又 f(x)19x2，在(0，3)上 f(x)0恒成立， 所以 f(x)在(0，3)上是減函數 3(2021 貴陽市第一學期監(jiān)測考試)已知函數 f(x)的定義域為 r，當 x12時，fx12fx12，則f(5)( ) a12 b12 c2 d2 解析：選 b.因為當 x12時，fx12fx12，所以 f(x1)f(x)，所以 f(5)f(1)因為當1x1 時，f(x)f(x)，所以 f(1)f(1)又當 x1，f(7)a，則實數a 的取值范圍為(

18、) a(，3) b(3，) c(，1) d(1，) 解析：選 d.因為 f(x3)f(x)，所以 f(x)是定義在 r 上的以 3為周期的周期函數，所以 f(7)f(79)f(2)又因為函數 f(x)是偶函數， 所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1， 所以 a1，即 a(1，)故選 d. 6已知 f(x)是 r 上的偶函數，且當 x0 時，f(x)x2x1，則當 x0 時，f(x)_ 解析：因為 f(x)是定義在 r 上的偶函數，所以當 x0.由已知 f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)，所以 f(x)x2x1. 答案：x2x1 7若函數 f(x)x（x2）（xa）為奇函數，則

19、實數 a 的值為_，且當 x4時，f(x)的最大值為_ 解析：由 f(x)為奇函數易知 a2， 11 / 15 當 x4時，f(x)1x4x在4，)上單調遞減， 所以當 x4時，f(x)max13. 答案：2 13 8已知 f(x)是定義域為(，)的奇函數，滿足 f(1x)f(1x)若f(1)2，則 f(1)f(2)f(3)f(50)_ 解析：方法一：因為 f(x)在 r 上是奇函數，且 f(1x)f(1x) 所以 f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x) 因此 f(x4)f(x)，則函數 f(x)是周期為 4 的函數， 由于 f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令 x1，得 f(0)f

20、(2)0， 令 x2，得 f(3)f(1)f(1)2， 令 x3，得 f(4)f(2)f(2)0， 故 f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以 f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2. 方法二：取一個符合題意的函數 f(x)2sin x2，則結合該函數的圖象易知數列f(n)(nn*)是以 4為周期的周期數列 故 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202. 答案：2 9設函數 f(x)是定義在 r 上的奇函數，對任意實數 x 有 f32x f32x成立 (1)證明 yf(x)是周期函數，并指出其周

21、期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值 解：(1)因為 f32x f32x ， 且 f(x)f(x)， 12 / 15 所以 f(x3)f3232x f3232x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函數，且 3是其一個周期 (2)因為 f(x)為定義在 r 上的奇函數， 所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2， 又 t3 是 yf(x)的一個周期， 所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. 10設 f(x)是定義域為 r 的周期函數，最小正周期為 2，且 f(1x)f(1x)，當1x0時，f(x)x. (1)判定 f(x)的奇偶性； (2)試求出函數 f(x)在

22、區(qū)間1，2上的表達式 解：(1)因為 f(1x)f(1x)，所以 f(x)f(2x) 又 f(x2)f(x)，所以 f(x)f(x)又 f(x)的定義域為 r， 所以 f(x)是偶函數 (2)當 x0，1時，x1，0， 則 f(x)f(x)x； 從而當 1x2時，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1），x2，x1，2. b級 綜合練 11對于函數 yf(x)，xr，“y|f(x)|的圖象關于 y 軸對稱”是“yf(x)是奇函數”的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 13 / 15 c充要條件 d既不充分也不必要條件 解析：選 b.若 y

23、f(x)是奇函數，則 f(x)f(x)，所以|f(x)|f(x)|f(x)|，所以 y|f(x)|的圖象關于 y 軸對稱，但若 y|f(x)|的圖象關于 y 軸對稱，yf(x)不一定是奇函數，如 y|f(x)|x2，故選 b. 12已知函數 f(x)2（1x），0 x1，x1，1x2，如果對任意的 nn，定義fn(x)，那么 f2 022(2)的值為( ) a0 b1 c2 d3 解析：選 c.因為 f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，所以 fn(2)的值具有周期性，且周期為 3，所以 f2 022(2)f3674(2)f3(2)2，故選 c. 13設 f(x)是(，)上的奇函數，f(x2)f(x)，當 0 x1時，f(x)