高考數(shù)學(xué) 提煉信息——數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu)

1、1 / 25 提煉信息提煉信息數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu)數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu) 微點(diǎn)聚焦突破 概率統(tǒng)計(jì)綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個(gè)復(fù)雜過程如果數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會(huì)陷入龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算，下面就如何從概率統(tǒng)計(jì)綜合問題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供典例展示 類型一 頻率分布直方圖、條形圖數(shù)據(jù)處理及模型建構(gòu) 【例 1】 (2016 全國卷)某公司計(jì)劃購買 2 臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零

2、件作為備件，每個(gè) 200 元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè) 500 元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了 100 臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這 100 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記 x 表示 2 臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n 表示購買 2 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù) (1)求 x的分布列； (2)若要求 p(xn)0.5，確定 n 的最小值； (3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在 n19 與 n20 之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 解 (1)由柱狀圖并以頻率代

3、替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件2 / 25 數(shù)為 8，9，10，11 的概率分別為 0.2，0.4，0.2，0.2.可知 x 的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22， p(x16)0.20.20.04； p(x17)20.20.40.16； p(x18)20.20.20.40.40.24； p(x19)20.20.220.40.20.24； p(x20)20.20.40.20.20.2； p(x21)20.20.20.08； p(x22)0.20.20.04； 所以 x的分布列為 x 16 17 18 19 20 21 22 p 0.04 0.16 0.24 0

4、.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 p(x18)0.44，p(x19)0.68，故 n 的最小值為 19. (3)記 y表示 2 臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元) 當(dāng) n 19 時(shí) ， e(y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040. 當(dāng) n20 時(shí)， e(y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.04 4 080. 可知當(dāng) n19 時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于 n20 時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選 n19. 思維升華 頻率分布直方圖、條形圖、柱狀圖等是

5、考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，掌握?qǐng)D中常見數(shù)據(jù)的提取方法，將頻率看作概率是解決這類問題的關(guān)鍵 【訓(xùn)練 1】 某市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過 300) 空氣質(zhì)量指數(shù) (0，50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，250 (250，300 空氣質(zhì)量等級(jí) 1 級(jí)優(yōu) 2 級(jí)良 3級(jí)輕度污染 4級(jí)中度污染 5 級(jí)重度污染 6 級(jí)嚴(yán)重污染 3 / 25 該社團(tuán)將該市在 2020 年 100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率 (1)請(qǐng)估

6、算 2020 年(以 365 天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算)； (2)該市將于 2020 年 12月 25、26、27日舉辦一場(chǎng)國際會(huì)議，若這三天中某天出現(xiàn) 5 級(jí)重度污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用 10 萬元，出現(xiàn) 6 級(jí)嚴(yán)重污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用 20 萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級(jí)相互獨(dú)立，記這三天凈化空氣總費(fèi)用為 x萬元，求 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望 解 (1)由直方圖可得 2020 年(以 365 天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.0020.004)503650.3365109.5110. (2)由題可知，x的所有可能取值為 0，10，20，30，4

7、0，50，60， 則 p(x0)45364125， p(x10)c1311045224125， p(x20)c231102451c1311045210850027125， p(x30)1103c13110c1211045491 000， p(x40)c231102110c23110245271 000， p(x50)c23110211031 000， p(x60)110311 000， x的分布列為 x 0 10 20 30 40 50 60 4 / 25 p 64125 24125 27125 491 000 271 000 31 000 11 000 e(x)064125102412520

8、2712530491 00040271 0005031 0006011 0009(萬元) 類型二 莖葉圖數(shù)據(jù)分析及模型建構(gòu) 【例 2】 (2018 全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組 20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求 40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù) m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過 m和不超過 m

9、的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 m 不超過 m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）， p(k2k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解 (1)第一種生產(chǎn)方式時(shí)間集中在區(qū)間80，90，且平均工作時(shí)間x184. 第二種生產(chǎn)方式的時(shí)間集中在區(qū)間70，80)，且平均工作時(shí)間x274.7. x1x2，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種， 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 5 / 25 (2)由莖葉圖數(shù)據(jù)得到 m80.

10、 由此填寫列聯(lián)表如下： 超過 m 不超過 m 總計(jì) 第一種生產(chǎn)方式 15 5 20 第二種生產(chǎn)方式 5 15 20 總計(jì) 20 20 40 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表計(jì)算 k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）40（151555）220202020106.635，所以有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 思維升華 莖葉圖提供了具體的數(shù)據(jù)，找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵如果所有數(shù)據(jù)過大，在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，可以將所有數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)字再計(jì)算，減去一個(gè)數(shù)后方差不變，另外除了要掌握各類數(shù)據(jù)的計(jì)算方法以外，還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢(shì)分析預(yù)測(cè)結(jié)果莖葉圖數(shù)據(jù)很具體，常

11、聯(lián)系古典概型進(jìn)行考查 【訓(xùn)練 2】 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員參加“選拔測(cè)試賽”，在相同條件下，兩人 6 次測(cè)試的成績(單位：分)記錄如下： 甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，現(xiàn)要從中選派一名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，你認(rèn)為選派誰參賽更好？說明理由(不用計(jì)算) (2)若將頻率視為概率，對(duì)運(yùn)動(dòng)員甲在今后 3 次測(cè)試中的成績進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這 3次測(cè)試的成績高于 85 分的次數(shù)為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望 e(x)及方差d(x) 解 (1)莖葉圖如圖： 6 / 25 由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好 (2)由題意得，甲運(yùn)動(dòng)員每次

12、測(cè)試的成績高于 85 分的概率是13，3 次測(cè)試的成績高于 85 分的次數(shù) x 服從二項(xiàng)分布，即 xb3，13，x 所有可能的取值為 0，1，2，3， 所以 p(x0)c03130233827， p(x1)c1313123249， p(x2)c2313223129， p(x3)c33133230127， x的分布列為 x 0 1 2 3 p 827 49 29 127 e(x)3131，d(x)3132323. 類型三 表格數(shù)據(jù)的提取、處理及模型建構(gòu) 【例 3】 (2020 山東名校聯(lián)考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪 80 元，每單送餐員抽成 4 元；乙公司，無底

13、薪，40 單以內(nèi)(含 40 單)的部分送餐員每單抽成 6 元，超出 40 單的部分送餐員每單抽成 7元假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其 50 天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 7 / 25 (1)現(xiàn)從記錄甲公司的 50 天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取 3天的送餐單數(shù)，求這 3天送餐單數(shù)都不小于 40的概率 (2)若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題： 記

14、乙公司送餐員日工資為 x(單位：元)，求 x的分布列和數(shù)學(xué)期望 e(x)； 小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王做出選擇，并說明理由 解 (1)設(shè)抽取的 3 天送餐單數(shù)都不小于 40 為事件 m，甲公司記錄的 50 天中，有 1010525天送餐單數(shù)不小于 40， 則 p(m)c325c35023196. (2)設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為 a， 當(dāng) a38 時(shí)，x386228， 當(dāng) a39 時(shí)，x396234， 當(dāng) a40 時(shí)，x406240， 當(dāng) a41 時(shí)，x40617247， 當(dāng) a42 時(shí)，x40627254， 所以 x的所

15、有可能取值為 228，234，240，247，254. 故 x的分布列為 x 228 234 240 247 254 p 110 15 15 25 110 所以 e(x)228110234152401524725254110241.8. 依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為 380.2390.3400.2410.2420.139.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為 80439.7238.8元 由得乙公司送餐員的日平均工資為 241.8元 因?yàn)?238.8241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘 思維升華 處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，解決問題的關(guān)鍵是以頻率視為概率，用樣本估

16、計(jì)總體 【訓(xùn)練 3】 (2019 全國卷)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情8 / 25 況，隨機(jī)調(diào)查了 100 個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長率 y 的頻數(shù)分布表 y 的分組 0.20，0) 0，0.20) 0.20，0.40) 0.40，0.60) 0.60，0.80) 企業(yè)數(shù) 2 24 53 14 7 (1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例； (2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(精確到 0.01)附： 748.602. 解 (1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得

17、，所調(diào)查的 100 個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)頻率為1471000.21. 產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為21000.02. 用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)比例為 21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為 2%. (2)100 個(gè)企業(yè)的產(chǎn)值增長率平均數(shù)為 y1100(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30， s211005i1ni(yiy)2 1100(0.40)22(0.20)22402530.202140.40270.029 6， s 0.029 60.02 740.17. 所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為

18、0.30，0.17. 類型四 折線圖中的數(shù)據(jù)分析及模型建構(gòu) 【例 4】 (2020 廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜根據(jù)過去 50 周的資料顯示，該地周光照量 x(小時(shí))都在 30 小時(shí)以上，其中不足 50 小時(shí)的有 5 周，不低于 50 小時(shí)且不超過 70 小時(shí)的有 35 周，超過 70 小時(shí)的有 10 周根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量 y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量 x(千克)之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖 9 / 25 (1)依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù) r并加以說明(精確到 0.01)(若|r|0.75，則線性相關(guān)程度

19、很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量 x限制，并有如下關(guān)系： 周光照量 x (單位：小時(shí)) 30x50 50x70 x70 光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 3 2 1 若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤為 3 000 元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損 1 000 元以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？ 附：相關(guān)系數(shù)公式 rni1 （xix）（yiy）ni1 （xix）2ni1 （yiy）2， 參考數(shù)據(jù)： 0.30.55， 0.90.9

20、5. 解 (1)由已知數(shù)據(jù)可得x2456855， y3444554. 因?yàn)?i1 (xix)(yiy)(3)(1)000316，5i1 （xix）2（3）2（1）20212322 5， 5i1 （yiy）2 （1）202020212 2. 所以相關(guān)系數(shù) r5i1 （xix）（yiy）5i1 （xix）25i1 （yiy）262 5 29100.95. 因?yàn)?r0.75，所以可用線性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系 10 / 25 (2)記商家周總利潤為 y 元，由條件可知至少需安裝 1 臺(tái)，最多安裝 3 臺(tái)光照控制儀 安裝 1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤 3 000元 安裝 2臺(tái)光照控制儀的情形

21、： 當(dāng) x70 時(shí)，只有 1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤 y3 0001 0002 000(元)，p(y2 000)10500.2， 當(dāng) 30x70 時(shí)，2 臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)周總利潤 y23 0006 000(元)，p(y6 000)40500.8， 故 y的分布列為 y 2 000 6 000 p 0.2 0.8 所以 e(y)2 0000.26 0000.85 200(元) 安裝 3臺(tái)光照控制儀的情形： 當(dāng) x70 時(shí)，只有 1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤 y13 00021 0001 000(元)， p(y1 000)10500.2， 當(dāng) 50x70 時(shí)，有 2 臺(tái)光照控制儀

22、運(yùn)行，此時(shí)周總利潤 y23 00011 0005 000(元)， p(y5 000)35500.7， 當(dāng) 30x50時(shí)，3臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，周總利潤 y33 0009 000(元)，p(y9 000)5500.1， 故 y的分布列為 y 1 000 5 000 9 000 p 0.2 0.7 0.1 所以 e(y)1 0000.25 0000.79 0000.14 600(元) 綜上可知，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝 2 臺(tái)光照控制儀 思維升華 1.折線圖中拐點(diǎn)處的坐標(biāo)是我們提取數(shù)據(jù)的關(guān)鍵點(diǎn)，注意橫坐標(biāo)、11 / 25 縱坐標(biāo)的意義即可 2“最小二乘法”求回歸方程，計(jì)算是這類問題

23、的難點(diǎn)，需要根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而求解回歸方程ybxa，其中求b是問題的關(guān)鍵，計(jì)算出b后，可以將樣本點(diǎn)的中心(x，y)代入方程求解出a. 【訓(xùn)練 4】 (2018 全國卷)如圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y(單位：億元)的折線圖 為了預(yù)測(cè)該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y 與時(shí)間變量 t 的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù) 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量 t 的值依次為 1，2，17)建立模型：y30.413.5t；根據(jù) 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量 t 的值依次為 1，2，7)建立模型：y9917.5t. (1)分

24、別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由 解 (1)利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y30.413.519226.1(億元) 利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 y9917.59256.5(億元) (2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 理由如下： ()從折線圖可以看出，2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y30.413.5t 上下，這說明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010

25、年相對(duì) 2009 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢(shì)，利12 / 25 用 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y9917.5t 可以較好地描述 2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 ()從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于 2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 220 億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值 226.1 億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 以上給出了 2種理由，考生答出其中任意

26、一種或其他合理理由均可得分 類型五 文字語言及符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化及模型建構(gòu) 【例 5】 (2019 全國卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得1 分；若

27、都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為 x. (1)求 x的分布列 (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為 i 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中 ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假設(shè) 0.5，0.8. 證明：pi1pi(i0，1，2，7)為等比數(shù)列； 求 p4，并根據(jù) p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性 (1)解 x的所有可能取值為1，0，1. p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)， p(x1)(1) 所

28、以 x的分布列為 13 / 25 x 1 0 1 p (1) (1)(1) (1) (2)證明 由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1， 因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1， 故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)， 即 pi1pi4(pipi1) 又因?yàn)?p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比為 4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列 解 由可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p0)p04813p1. 由于 p81，故 p13481， 所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p0 4413p11257. p4表示最終認(rèn)

29、為甲藥更有效的概率由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為 0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為 p412570.003 9，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理 思維升華 文字閱讀與信息提取能提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是近幾年高考命題的關(guān)注點(diǎn)概率與其他知識(shí)融合是高考的熱點(diǎn)，如概率與數(shù)列、概率與函數(shù)、概率與正態(tài)分布等，很好地考查了信息提取與模型建構(gòu)，解決這類問題的關(guān)鍵是培養(yǎng)敢于克服困難完成讀題、建模的能力 【訓(xùn)練 5】 (2020 重慶質(zhì)檢)“工資條里顯紅利，個(gè)稅新政入民心”隨著 2019年新年鐘聲的敲響，我國自 1980 年以來，力度最大的一次個(gè)人所得稅(簡稱個(gè)稅)改革迎來

30、了全面實(shí)施的階段.2019 年 1 月 1 日起實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括：個(gè)稅起征點(diǎn)為 5 000 元；每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除；專項(xiàng)附加扣除包括住房貸款利息或者住房租金(以下簡稱住房)、子女教育、贍養(yǎng)老人等新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方14 / 25 法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下： 舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn) 3 500 元) 新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn) 5 000元) 繳稅 級(jí)數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn) 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除 稅率(%) 1 不超過 1 500元的部分 3 不超過 3 000元的部分

31、3 2 超過 1 500元至 4 500元的部分 10 超過 3 000元至 12 000 元的部分 10 3 超過 4 500元至 9 000元的部分 20 超過 12 000元至 25 000 元的部分 20 4 超過 9 000元至 35 000元的部分 25 超過 25 000元至 35 000 元的部分 25 5 超過 35 000元至 55 000元的部分 30 超過 35 000元至 55 000 元的部分 30 隨機(jī)抽取某市 1 000 名同一收入層級(jí)的 it 從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們 2019 年的人均月收入為 24 000 元統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)

32、附加扣除；同時(shí)，他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除、符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除、符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除但不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除、既符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人數(shù)之比是 2111；此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房 1 000元/月，子女教育每孩 1 000元/月，贍養(yǎng)老人 2 000元/月等 假設(shè)該市該收入層級(jí)的 it 從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的 it 從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月

33、收入根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決如下問題： (1)設(shè)該市該收入層級(jí)的 it 從業(yè)者 2019 年月繳個(gè)稅為 x 元，求 x 的分布列和期15 / 25 望； (2)根據(jù)新舊個(gè)稅政策，估計(jì)從 2019年 1月開始，經(jīng)過多少個(gè)月，該市該收入層級(jí)的 it從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅之和就超過其 2019年的人均月收入？ 解 (1)既不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 00018 000(元)， 月繳個(gè)稅 x3 0003%9 00010%6 00020%2 190； 符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)

34、納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0001 00017 000(元)， 月繳個(gè)稅 x3 0003%9 00010%5 00020%1 990； 符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除但不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0002 00016 000(元)， 月繳個(gè)稅 x3 0003%9 00010%4 00020%1 790； 既符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0001 0002 00015 000(元)， 月繳個(gè)稅 x3 0003%9 00010%3 00020%1

35、 590. 所以 x的可能值為 2 190，1 990，1 790，1 590. 依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是 2111， 所以 p(x2 190)25，p(x1 990)15， p(x1 790)15，p(x1 590)15. 所以 x的分布列為 x 2 190 1 990 1 790 1 590 p 25 15 15 15 所以 e(x)2 190251 990151 790151 590151 950. (2)因?yàn)樵谂f個(gè)稅政策下該市該收入層級(jí)的 it 從業(yè)者 2019 年每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0003 50020 500(元)， 16 / 25 所以其月繳個(gè)稅為 1 50

36、03%3 00010%4 50020%11 50025% 4 120(元) 因?yàn)樵谛聜€(gè)稅政策下該市該收入層級(jí)的 it從業(yè)者 2019年月繳個(gè)稅的均值為 1 950 元， 所以該收入層級(jí)的 it從業(yè)者每月少繳納的個(gè)稅為 4 1201 9502 170(元) 設(shè)經(jīng)過 x 個(gè)月，該市該收入層級(jí)的 it從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅的總和就超過 24 000 元， 則 2 170 x24 000，因?yàn)?xn，所以 x12. 所以經(jīng)過 12 個(gè)月，該市該收入層級(jí)的 it 從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅的總和就超過 2019 年的人均月收入. 鞏固提升訓(xùn)練 1(2019 江西五校協(xié)作體測(cè)試)食品安全問題越來越受到人們的重

37、視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對(duì)每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測(cè)，只有三輪檢測(cè)都合格，蔬菜才能在該超市銷售已知每箱這種蔬菜第一輪檢測(cè)不合格的概率為17，第二輪檢測(cè)不合格的概率為18，第三輪檢測(cè)合格的概率為89，每輪檢測(cè)只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響 (1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率； (2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利 400 元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損 200 元，現(xiàn)有 4 箱這種蔬菜，求這 4 箱蔬菜總收益的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)記 ai(i1，2，3)分別為事件“第一、二、三輪檢測(cè)合格”，a 為事件“每箱

38、這種蔬菜不能在該超市銷售” 由題設(shè)知 p(a1)11767，p(a2)11878，p(a3)89，且 a1，a2，a3相互獨(dú)立， 所以 p(a)1p(a1)p(a2)p(a3)167788913. (2)設(shè)這 4 箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量 x，則 x 的所有可能取值為 1 600，1 17 / 25 000，400，200，800， 且 p(x1 600)c442341301681， p(x1 000)c34233133281， p(x400)c242321322481， p(x200) p(x800)c04230134181. 故 x的分布列為 x 1 600 1

39、000 400 200 800 p 1681 3281 2481 881 181 x的數(shù)學(xué)期望 e(x)1 60016811 00032814002481200881800181800. 2(2020 福州模擬)某學(xué)校八年級(jí)共有學(xué)生 400 人，現(xiàn)對(duì)該校八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)抽取 50 名進(jìn)行實(shí)踐操作能力測(cè)試，實(shí)踐操作能力測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)水平，一、二等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較弱，三、四等級(jí)水平的學(xué)生實(shí)踐操作能力較強(qiáng)，測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表： 等級(jí) 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名 6 8 4 2 (1)根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填寫下面 22 列聯(lián)表，并判斷是否有 95%

40、的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)？ 實(shí)踐操作能力較弱 實(shí)踐操作能力較強(qiáng) 合計(jì) 男生/名 女生/名 合計(jì) (2)現(xiàn)從測(cè)試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機(jī)抽取 4 名進(jìn)行學(xué)習(xí)力測(cè)試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 18 / 25 下面的臨界值表供參考： p(k2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd. 解 (1) 實(shí)踐操作能力較弱 實(shí)踐操作能力較強(qiáng) 合計(jì) 男生

41、/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 合計(jì) 26 24 50 所以 k250（6121418）230202624225524.3273.841. 所以有 95%的把握認(rèn)為學(xué)生實(shí)踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān) (2) 的取值為 0，1，2，3，4. p(0)c46c410114，p(1)c14c36c410821， p(2)c24c26c41037，p(3)c34c16c410435， p(4)c44c4101210. 所以 的分布列為 0 1 2 3 4 p 114 821 37 435 1210 所以 e()01141821237343541210851.6. 3(2020 臨沂質(zhì)檢)

42、在某市高中某學(xué)科競(jìng)賽中，某一個(gè)區(qū) 4 000 名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示 19 / 25 (1)求這 4 000 名學(xué)生的競(jìng)賽平均成績x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) (2)由直方圖可認(rèn)為考生競(jìng)賽成績 z 服從正態(tài)分布 n(，2)，其中 ，2分別取考生的平均成績x和考生成績的方差 s2，那么該區(qū) 4 000 名考生的成績超過84.81 分(含 84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少？ (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計(jì)全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取 4 名，記成績不超過 84.81 分的考生人數(shù)為 ，求p(3)(精確到 0.001) 附：s2204.75，

43、204.7514.31；0.841 340.501；zn(，2)，則 p(z)0.682 7，p(2z2)0.954 5. 解 (1)由題意知 中點(diǎn)值 45 55 65 75 85 95 頻率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 x450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5， 這 4 000 名學(xué)生的競(jìng)賽平均成績x為 70.5分 (2)依題意 z服從正態(tài)分布 n(，2)，其中 x70.5， 2s2204.75，14.31， z 服從正態(tài)分布 n(，2)n(70.5，14.312)， 而 p(z)p(56.19z84.81)0.682 7， p(z8

44、4.81)10.682 720.158 7. 又 0.158 74 000634.8635. 競(jìng)賽成績超過 84.81分的人數(shù)估計(jì)為 635. (3)全市競(jìng)賽考生的成績不超過 84.81分的概率 p10.158 70.841 3. 而 b(4，0.841 3)，p(3)1p(4)1c440.841 3410.5010.499. 4(2020 廣東名校聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表： 投資股市： 20 / 25 投資結(jié)果 獲利 40% 不賠不賺 虧損 20% 概率 12 18 38 購買基金： 投資結(jié)果 獲利 20% 不賠不賺 虧損 10% 概率 p 13 q (1)當(dāng) p1

45、4時(shí)，求 q的值 (2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于45，求 p的取值范圍 (3)丙要將家中閑置的 10 萬元錢進(jìn)行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知 p12，q16，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？請(qǐng)說明理由 解 (1)“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種， 且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，p13q1. 又 p14，q512. (2)記事件 a為“甲投資股市且獲利”，事件 b為“乙購買基金且獲利”， 事件 c為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投

46、資獲利”， 則 cababab，且 a，b獨(dú)立 由題意可知，p(a)12，p(b)p， p(c)p(ab)p(ab)p(ab) 12(1p)12p12p1212p. p(c)1212p45，p35. 又 p13q1，q0，p23. 21 / 25 p 的取值范圍為35，23. (3)假設(shè)丙選擇“投資股市”的方案進(jìn)行投資，記 x為丙投資股市的獲利金額(單位：萬元)， 隨機(jī)變量 x的分布列為 x 4 0 2 p 12 18 38 則 e(x)412018(2)3854. 假設(shè)丙選擇“購買基金”的方案進(jìn)行投資，記 y 為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)， 隨機(jī)變量 y的分布列為 y 2 0 1 p

47、 12 13 16 則 e(y)212013(1)1656. e(x)e(y)，丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大 5隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司 m 的經(jīng)營狀況，對(duì)該公司 6 個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖 (1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率 y 與月份代碼 x之間的關(guān)系求 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程，并預(yù)測(cè) m公司 2017年 4月份(即 x7 時(shí))的市場(chǎng)占有率 22 / 25 (2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購一批單車現(xiàn)有采購成本分別為 1 000 元/

48、輛和 1 200 元/輛的 a，b兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用 4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致車輛使用年限各不相同考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車型的單車各 100 輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下： 使用年限 車型 1年 2年 3年 4年 總計(jì) a 20 35 35 10 100 b 10 30 40 20 100 經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年可以帶來收入 500 元不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù)，且以頻率作為每輛單車使用年限的概率如果你是 m 公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購哪款車型？ 參考公式：回歸直線方程為ybxa，其中bni1xiyinx yni1x2inx2，aybx. 解 (1)由數(shù)據(jù)計(jì)算可得x12345663.5， y111316152021616， 由公式計(jì)算可得，b2，a1623.59. 所以月度市場(chǎng)占有率 y 與月份代碼 x 之間的線性回歸方程為y2x9. 當(dāng) x7時(shí)，y27923. 故 m 公司 2017年 4 月份的市場(chǎng)占有率預(yù)計(jì)為 23%. (2)由頻率作為概率，每輛 a 款車可使用 1 年，2 年，3 年和