高考大題沖關(guān)系列（3）

1、1 / 9 命題動(dòng)向：等差、等比數(shù)列是重要的數(shù)列類(lèi)型，高考考查的主要知識(shí)點(diǎn)有：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和公式由于數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、向量、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無(wú)形中加大了綜合的力度解決此類(lèi)題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有較深的理解 題型 1 等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算 例 1 已知等差數(shù)列an中，a33，a22，a4，a62順次成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)記 bn(1)na2n1anan1，bn的前 n項(xiàng)和為 sn，求 s2n. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d， a22，a4，a62順次成等比數(shù)列， a24(

2、a22)(a62)， (a3d)2(a3d2)(a33d2)， 又 a33，(3d)2(5d)(13d)， 化簡(jiǎn)得 d22d10，解得 d1， ana3(n3)d3(n3)1n. (2)由(1)得 bn(1)na2n1anan1(1)n2n1n(n1) (1)n1n1n1， s2nb1b2b3b2n 1121213131412n12n1112n12n2n1. 沖關(guān)策略 解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問(wèn)題，首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念，設(shè)出相應(yīng)的基本量，然后充分使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)2 / 9 等確定基本量解綜合題的關(guān)鍵在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件 變式訓(xùn)練

3、 1 (2020 山東泰安模擬)在a1a36，a59，a11,4sna2n4n1，a12，a2a32a7這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的 m，t 存在，求 m，t 的值；若問(wèn)題中的 m，t 不存在，說(shuō)明理由 問(wèn)題：已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 sn，且_.在數(shù)列an的前 20 項(xiàng)中，是否存在兩項(xiàng) am，at(m，tn*且 mt)，使得1a2，1am，1at成等比數(shù)列 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，d0. 方案一：選條件 由 a1a36，a59，得 a1d3，a14d9， 解得 a11，d2，an2n1，nn*.

4、 1a2，1am，1at成等比數(shù)列，1a2m1a21at， a2ma2at，(2m1)23(2t1) t20，(2m1)2117. 又 mn*，2m110.m5. 又(2m1)2為 3的倍數(shù)，且 2m1n*， m2，t2或 m5，t14. mt，m5，t14. 方案二：選條件 4sna2n4n1，a11，d0， 4nn(n1)2d1(n1)d24n1. 整理，得 2(n1)2(n1)2d. 3 / 9 d2.an2n1，nn*. 1a2，1am，1at成等比數(shù)列，1a2m1a21at， a2ma2at，(2m1)23(2t1) t20，(2m1)2117. 又 mn*，2m110，m5. 又(

5、2m1)2為 3的倍數(shù)，且 2m1n*， m2，t2或 m5，t14， mt，m5，t14. 方案三：選條件 a12，a2a32a7，d0， (2d)(22d)2(26d)， 整理得 d(d3)0，d3，an3n1，nn*. 1a2，1am，1at成等比數(shù)列，1a2m1a21at， a2ma2at，(3m1)25(3t1) t20，(3m1)2295. 又 mn*，3m117，m6. 又(3m1)2為 5的倍數(shù)，且 3m1n*，m2，t2. 又 mt，不存在 m，t 滿足題意 題型 2 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例 2 已知數(shù)列an滿足 a14a242a34n1ann4(nn*) (1)求數(shù)列an的通

6、項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn4nan2n1，求數(shù)列bnbn1的前 n 項(xiàng)和 tn. 解 (1)當(dāng) n1時(shí)，a114. 因?yàn)?a14a242a34n2an14n1ann4， 4 / 9 所以 a14a242a34n2an1n14(n2，nn*)， 由，得 4n1an14(n2，nn*)， 所以 an14n(n2，nn*) 由于 a114符合上式，故 an14n(nn*) (2)由(1)得 bn4nan2n112n1， 所以 bnbn11(2n1)(2n3)1212n112n3， 故 tn121315151712n112n3121312n3n6n9. 沖關(guān)策略 (1)求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有：公式法，累

7、加、累乘法，構(gòu)造法等，但總的思想是轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列(一般是等差或等比數(shù)列)求解 (2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的有：錯(cuò)位相減法，分組求和法，裂項(xiàng)求和法等 變式訓(xùn)練 2 已知數(shù)列an滿足 a11，2an an1an1an0，數(shù)列bn滿足 bn12n an. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 sn，問(wèn)：是否存在 n，使得 sn的值是38？ 解 (1)由題意，得 an0. 因?yàn)?2an an1an1an0，所以 anan12an an1，兩邊同時(shí)除以 an an1，得1an11an2， 由等差數(shù)列的定義可得1an是首項(xiàng)為1a11，公差為 d2 的等差數(shù)列

8、故1an12(n1)2n1，所以 an12n1. 5 / 9 (2)由(1)得 bn2n12n，所以 sn123222n12n， 兩邊同乘以12得，12sn1223232n12n1， 兩式相減得12sn12212212312n2n12n1， 即12sn12214112n11122n12n13212n12n12n1，所以 sn32n32n. 因?yàn)?sn1sn2n32n2n52n12n12n10， 所以數(shù)列sn是關(guān)于項(xiàng)數(shù) n的遞增數(shù)列， 所以 sns112， 因?yàn)?812，所以不存在 n，使得 sn38. 題型 3 數(shù)列與其他知識(shí)的交匯 角度 1 數(shù)列與函數(shù)的交匯 例 3 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)

9、和為 sn，對(duì)一切正整數(shù) n，點(diǎn) pn(n，sn)都在函數(shù) f(x)x22x 的圖象上，且在點(diǎn) pn(n，sn)處的切線的斜率為 kn. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) qx|xkn，nn*，rx|x2an，nn*，等差數(shù)列cn的任一項(xiàng)cnqr，其中 c1是 qr中的最小數(shù)，110c10115，求cn的通項(xiàng)公式 解 (1)因?yàn)辄c(diǎn) pn(n，sn)都在函數(shù) f(x)x22x 的圖象上，所以 snn22n(nn*) 所以當(dāng) n2 時(shí)，ansnsn12n1. 而當(dāng) n1 時(shí)，a1s13，滿足上式， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n1. (2)對(duì) f(x)x22x 求導(dǎo)可得 f(x)2x2.

10、 因?yàn)樵邳c(diǎn) pn(n，sn)處的切線的斜率為 kn， 6 / 9 所以 kn2n2， 所以 qx|x2n2，nn*， rx|x4n2，nn* 所以 qrr. 又因?yàn)?cnqr，其中 c1是 qr中的最小數(shù)， 所以 c16， 則cn的公差是 4的倍數(shù)， 所以 c104m6(mn*) 又因?yàn)?110c10115，所以 1104m60，所以 tn112. 8 / 9 又因?yàn)?tnn4(3n4)1434n，當(dāng) n1 時(shí)，tn取得最小值為128，所以128tn112，即174tn13. 沖關(guān)策略 數(shù)列中不等式的處理方法 (1)函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)對(duì)關(guān)

11、于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式 (2)放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到本題第(2)問(wèn)中用到“放縮”一般地，數(shù)列求和中的放縮的“目標(biāo)數(shù)列”為“可求和數(shù)列”，如等比數(shù)列、可裂項(xiàng)相消求和的數(shù)列等 (3)比較方法：作差比較或作商比較 變式訓(xùn)練 4 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且對(duì)任意的 nn*，滿足 sn13a1(an1) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列bn滿足 anbnlog2an，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 tn，求證：tn89. 解 (1)當(dāng) n1時(shí)，a1s113a1(a11)13a2113a1，a10，a14. sn43(an1)， 當(dāng) n2 時(shí)，sn143(an11)， 兩式相減得 an4an1(n2)， 數(shù)列an是首項(xiàng)為 4，公比為 4 的等比數(shù)列