蘇教版高三三角函數(shù)與解三角形專題復(fù)習(xí)

1、三角函數(shù)與解三角形專題復(fù)習(xí)一、知識要點1角的概念、象限角的概念、終邊相同的角的表示（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在的射線上)2k（kZ），注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等。如與角1 825°的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是_，合_弧度。（2）終邊與終邊共線(終邊在終邊所在的直線上)k(kZ)。（3）終邊與終邊關(guān)于x軸對稱2k（kZ）。（4）終邊與終邊關(guān)于y軸對稱2k（kZ）。（5）終邊與終邊關(guān)于原點對稱2k（kZ）。（6）終邊在x軸上的角可表示為k，kZ；終邊在y軸上的角可表示為k，kZ；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為，kZ。2弧長公式：l|R，扇形面積公式

2、：SlR|R2，1弧度(1 rad)57.3°。如已知扇形AOB的周長是6 cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。3任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個角，P(x，y)是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是r>0，那么sin ，cos ，tan ，(x0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。如（1）已知角的終邊經(jīng)過點P(5，12)，則sin cos 的值為_。（2）設(shè)是第三、四象限角，sin ，則m的取值范圍是_。4三角函數(shù)線的特征：單位圓中，正弦線MP“站在x軸上（起點在x軸上）”、余弦線OM“躺在x軸上（起點是原點）”、正切線AT“站

3、在點A(1，0)處（起點是A）”。三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。如（1）若<<0，則sin ，cos ，tan 的大小關(guān)系為。（2）函數(shù)ylg(2sin x)的定義域是。5同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：sin2cos21。（2）商數(shù)關(guān)系：tan 。6誘導(dǎo)公式公式一sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(k)tan (kZ)公式二sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式三sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式四sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式五sin()c

4、os ，cos()sin 公式六sin()cos ，cos()sin 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式()(kZ)的本質(zhì)是：奇變偶不變（對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)）符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）。誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k，0<2；（2）轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。如costan()sin 21的值為_。7兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）sin(±)sin cos ±cos sin .（2）cos(±)cos cos sin sin .（3）。8二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 22sin cos .（2

5、）cos 2cos2sin22cos2112sin2.（3）tan 2.（4）cos2，sin2。9三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點.基本的技巧有：（1）已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換。如()()，2()()，2()()，2·，()()等。如已知tan()，tan()，那么tan()的值是。（2）三角函數(shù)名互化(切化弦)。如已知1，tan()，則tan(2

6、)。（3）公式變形使用tan ±tan tan(±)(1tan tan )。如已知A、B為銳角，且滿足tan Atan Btan Atan B1，則cos(AB)。設(shè)ABC中，tan Atan Btan Atan B，sin A·cos A，則此三角形是三角形。（4）三角函數(shù)次數(shù)的降升（降冪公式：cos2，sin2。升冪公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2）。10輔助角公式中輔助角的確定：asin xbcos x·sin(x)（其中角所在的角限由a，b的符號確定，角的值由tan 確定）在求最值、化簡時起著重要作用。如（1）若方程sin x

7、cos xc有實數(shù)解，則c的取值范圍是。（2）當(dāng)函數(shù)y2cos x3sin x取得最大值時，tan x的值是。11正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)ysin x和余弦函數(shù)ycos x圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標(biāo)分別為0，2的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。12正弦函數(shù)ysin x(xR)、余弦函數(shù)ycos x(xR)的性質(zhì)（1）定義域：都是R.（2）值域：都是1,1，對ysin x，當(dāng)x2k(kZ)時，y取最大值1；當(dāng)x2k(kZ)時，y取最小值1；對ycos x，當(dāng)x2k(kZ)時，y取最大值1，當(dāng)x2k(kZ)時，y取最小值1。如若函數(shù)

8、yabsin(3x)的最大值為，最小值為，則a，b。函數(shù)f(x)sin xcos x(x，)的值域是。（3）周期性：ysin x、ycos x的最小正周期都是2；f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T。如若f(x)sin，則f(1)f(2)f(3)f(2 010)_。（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)ysin x（xR)是奇函數(shù)，對稱中心是(k，0)(kZ)，對稱軸是直線xk(kZ)；余弦函數(shù)ycos x(xR)是偶函數(shù)，對稱中心是(k，0)(kZ)，對稱軸是直線xk(kZ)(正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸交點)。如函數(shù)

9、ysin(2x)的奇偶性是。已知函數(shù)f(x)axbsin3x1(a，b為常數(shù))，且f(5)7，則f(5)=_。（5）單調(diào)性：ysin x在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增，在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減；ycos x在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減，在2k，2k2(kZ)上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了kZ。13形如yAsin(x)的函數(shù)（1）函數(shù)yAsin(x)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定，如f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的圖象如圖所示，則f(x)。（2）函數(shù)yAsin(x)圖象的畫法：五點法設(shè)Xx，令X0，2求出相應(yīng)的x值，計算得出五點

10、的坐標(biāo)，描點后得出圖象；圖象變換法，它是作函數(shù)簡圖常用方法。（3）函數(shù)yAsin(x)k的圖象與ysin x圖象間的關(guān)系：函數(shù)ysin x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(>0)或向右(<0)平移|個單位得ysin(x)的圖象；函數(shù)ysin(x)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)ysin(x)的圖象；圖象ysin(x)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)yAsin(x)的圖象；函數(shù)yAsin(x)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位得到y(tǒng)Asin(x)k的圖象。要特別注意，若由ysin x得到y(tǒng)sin(x)的圖象，則應(yīng)

11、向左或向右平移|個單位。14正切函數(shù)ytan x的圖象和性質(zhì)（1）定義域：x|xk，kZ。（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值。（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線ya的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變。既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。如ysin2x，y|sin x|的周期都是。（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是(，0)(kZ)。（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間(k，k)(kZ)內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。

12、15三角形中的有關(guān)公式（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題不可忘記任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余。（2）正弦定理：2R（R為三角形外接圓的半徑）。注意：正弦定理的一些變式：()abcsin Asin Bsin C；()sin A，sin B，sin C；()a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍。（3）余弦定理：a2b2c22bccos A，cos A等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀。（4）面積公式：Sahaabs

13、in Cr(abc)（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑）。二、典型例題例1函數(shù)ysin xcos x在區(qū)間0，上的最小值為_。例2已知ABC中，a，b，B60°，那么角A等于_。例3已知為銳角，則_。例4已知，則_。例5函數(shù)的最小正周期為_。例6函數(shù)的最大值為_。例7已知，則= 。例8計算：= 。例9已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為_。例10設(shè)>0，函數(shù)ysin(x)2的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則的最小值是_。例11函數(shù)，又，且的最小值等于，則正數(shù)的值為_。例12已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0)的

14、圖象與直線yb(0<b<A)的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是2，4，8，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。例13設(shè)為銳角，若，則的值為_。例14定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_。例15設(shè),求.例16已知,且，求的值.例17在ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為（1）若 求A的值；（2）若，求的值.例18已知函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求的值；（2）若，求的值。例19已知向量a=（4，5cos），b=（3，-4tan）（1）若ab，試求sin的值；（2）若ab，

15、且（0，），求cos（2-）的值。例20已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，|ab|=2。（1）求a·b的值；（2）求|a+b|的值。例21已知a，b，c分別為ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊，且（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范圍。例22已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最大值及相應(yīng)的值例23設(shè)函數(shù)f(x)(sin xcos x)cos x(其中0<<2)。（1）若f(x)的最小正周期為，求當(dāng)x時，f(x)的值域；（2）若函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程為x，求的值。例24在中,已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.（1）求A.（2）若,

16、求的單調(diào)遞增區(qū)間。例25如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于A、B兩點，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為、。（1）求tan()的值；（2）求2的值。例26函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0，|<)的一段圖象如圖所示)，求其解析式。例27在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)·sin C。（1） 求A的大??；（2）求sin Bsin C的最大值。例28f(x)=2在處取最小值.（1）求的值；（2）在ABC中，分別是角A,B,C的對邊，已知，求角C。例29在斜三角形中，角，

17、的對邊分別為，（1） 若，求的值；（2） 若，求的值.例30如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)yAsin x(A>0，>0)，x0,4的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定MNP120°.（1）求A，的值和M，P兩點間的距離；（2）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？三、課堂練習(xí)練1已知函數(shù)f(x)coscos，g(x)sin 2x。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的

18、集合。練2已知函數(shù)在時取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若( +)=，求sin。四、小結(jié)（這次課我學(xué)到了什么？）三角函數(shù)與解三角形專題復(fù)習(xí)課后作業(yè)一、填空題1函數(shù)的最小正周期是_。2已知函數(shù)的圖象如圖所示，則 。3函數(shù)的最小值是 。4對于函數(shù)f(x)cos xsin x，給出下列命題：其中正確命題的序號是_。存在(0，)，使f()；存在(0，)，使f(x)f(x3)恒成立；存在R，使函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(，0)對稱。二、解答題5已知且為銳角，試求的值。 6已知求的值。7在中，已知，（）求的值；（）求的值 8已知函數(shù)。（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。9已知函數(shù)；（1）求函數(shù)的最小正周期。（2）求函數(shù)的最大值及取最大值時x的集合。10已知函數(shù)f(x)sin x·sin(x)cos2(3x)(xR)。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f(x)圖象的對稱軸方程和對稱中心的坐標(biāo)。11函數(shù)f(x)Asin(x)B(A>0，>