高中數(shù)學(xué)講義微專題56數(shù)列中的整數(shù)問題

1、- 1 - / 18 第 56 煉 數(shù)列中的整數(shù)問題 一、基礎(chǔ)知識： 1、整數(shù)的基本性質(zhì)： （1）整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù) （2）整數(shù)的奇偶性：若()21nkkz=+，則稱n為奇數(shù)；若()2nk kz=，則稱n為偶數(shù)，在加，減，乘法運(yùn)算中，其結(jié)果有以下規(guī)律： 奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù) （3）若, a bz，且ab，則1ab （4）已知,a br ab，若nz，且(),na b，則n只能取到有限多個(gè)整數(shù)（也有可能無解） （5）若azb，稱a能被b整除，則有： ba b為a的一個(gè)因數(shù) （6）最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均

2、有一個(gè)最小的自然數(shù) 2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用： （1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值（即性質(zhì)（4），例如：若(),2,5nn n，則n的取值只能是3,4。所以在涉及求整數(shù)的值時(shí)，思路不要局限于尋找等量關(guān)系，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解。 （2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡單，可通過對常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。 （3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方

3、程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個(gè)： 通過對表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量 - 2 - / 18 將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值 （4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)： 所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍 等式兩側(cè)為一奇一偶 3、整數(shù)問題通常會(huì)與數(shù)列聯(lián)系起來，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前n項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù)。 二、典型例題： 例 1：已知數(shù)列 na的通項(xiàng)公式為27nan=，若12mmma aa

4、+為數(shù)列 na中的項(xiàng)，則m=_ 思路：()()12272523mmmmma aam+=， na中的項(xiàng)為大于等于5（15a = ）的奇數(shù)，所以考慮將12mmma aa+向奇數(shù)形式變形：()()()()23423227252323mmmmmm = ()88236292323mmmm=+=+，可得823m 應(yīng)該為大于等于 4 的偶數(shù)，所以8423m=或8823m=，解得52m =（舍）或2m = 答案：2m = 小煉有話說：（1）本題的亮點(diǎn)在于對()()272523mmm的變形，在有關(guān)整數(shù)的問題里，通?？蓪Ψ质竭M(jìn)行“分離常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡化，并能立刻找到需處理的部分。例如在本題中通過“

5、分離常數(shù)”可迅速將目標(biāo)鎖定在823m 上。 （2）本題對823m 的處理有多個(gè)角度，還可以從分母出發(fā)，觀察到23m 應(yīng)為奇數(shù)，而823zm，而8的奇因數(shù)只有1和1，同樣可確定m的值。 例 2：已知等差數(shù)列 na 的公差0d ，設(shè) na的前n項(xiàng)和為123,1,36ns ass= （1）求na的通項(xiàng)公式 （2）求(),m k m kn的值，使得165mmm kaaa+= - 3 - / 18 例 3：已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為ns，且()211122nsnn nn=+ （1）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式 （2 2）設(shè)）設(shè)( )(21,)313(2 ,)nna nkknf nank kn=，是否存在，是否

6、存在mn，使得，使得()( )155f mf m+=成立？若存在，求出成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由的值；若不存在，請說明理由 解：（1）()()()221111111,1122222nnsnn snnn=+=+ ()152nnnassnn=+ 11111622as=+=符合 5nan=+ （2）思路：( )f n按照奇偶分段，所以要確定15,mm+的奇偶。觀察可發(fā)現(xiàn)無論m為何值，15,mm+均為一奇一偶，所以只需要對m的奇偶進(jìn)行分類討論，解出符合條件的m即可 解：( )5,2131332,2nnannkf nannk=+=+= 當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，15m+為偶數(shù) ()( )()()

7、155315255f mf mmm+=+=+ 解得：11m = 當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，15m+為奇數(shù) ()( )()()1551555 32f mf mmm+=+=+ 解得：57m =（舍） 綜上所述：11m = 例 4：已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列 na滿足371,4aa= =，前 6 項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式 （2 2）求出所有的正整數(shù)）求出所有的正整數(shù)m，使得使得1212mmmmmmaaaa aa+= 解：（1）設(shè)前 6 項(xiàng)的公差為d，則5363212 ,414aadd aadd=+= +=+= + - 4 - / 18 567,a a a成等比數(shù)列，(

8、)()22657414 21aaadd= 解得：1d = 6n時(shí)，()334naandn=+= 561,2aa=，則2q = 7n時(shí)，6562nnnaaq= 54,62,7nnnnan= （2）思路：由于數(shù)列 na分為兩部分，當(dāng)5n 時(shí)，即為公比是2的等比數(shù)列，所以考慮對于數(shù)列的前幾項(xiàng)可進(jìn)行驗(yàn)證，5n 后成等比數(shù)列，從而可進(jìn)行抽象的計(jì)算，看是否能夠找到符合條件的m。 解：由（1）可得： : 3, 2, 1,0,1,2,4,8,na 則當(dāng)1m =時(shí)，1231236aaaa a a+= = 當(dāng)2m =時(shí)，2342342342342,0,aaaa a aaaaa a a+= =+ 當(dāng)3m =時(shí)，34

9、53450aaaa a a+= 當(dāng)4m =時(shí)，4564564564563,0,aaaa a aaaaa a a+=+ 當(dāng)5m 時(shí)，假設(shè)存在m，使得1212mmmmmmaaaa aa+= 則有()531221242mm+=即：5312277 227=2mmm= 5m 273m 2732287m=，從而277=2m無解 5m時(shí)，不存在這樣的m，使得1212mmmmmmaaaa aa+= 綜上所述：1m =或3m = 例 5：已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為ns，且滿足12a = ，1320nnas+=（*nn）. （1）求2a，3a的值； （2）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式； （3 3）是否存在整數(shù)對）是否存

10、在整數(shù)對( , )m n，使得等式，使得等式248nnam am=+成立？若存在，請求出所有滿成立？若存在，請求出所有滿足條件的足條件的( , )m n；若不存在，請說明理由；若不存在，請說明理由. . - 5 - / 18 解：（1）在1320nnas+=中，令1n =，得：21320as+= 21123234asa= = = 再令2n =，得：3233208asa+= （2）由1320nnas+= ，可得：()13202nnasn+= 可得：()113022nnnnnaaaaan+= na從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系，公比為2 ()() ()22222nnnaan= = 而12a = 符合上式

11、()2nna= （3）思路：所成立的等式為()()22248nnmm=+，考慮將,m n進(jìn)行分離得到：()()()()2288242424nnnnm= +，再利用,m n為整數(shù)可得()824n+為整數(shù)，從而求出符合條件的n，再求出m。 解：由（2）得：()()22248nnmm=+ ()()()()()()22282168824242424nnnnnnm+= + mz 且()24nz 只需()824nz+，即()241, 2, 4, 8n+= 經(jīng)計(jì)算可得：1,2,3n =時(shí)，()824nz+ 解得：123,2114nnnmmm= = 共有三組符合題意：() () ()2,1 , 1,2 ,14

12、,3 小煉有話說： （1）在第（2）問中，要注意n的取值范圍變化，并且要把n所能取到的最小值代入到遞推公式中以了解遞推公式從第幾項(xiàng)開始滿足。 - 6 - / 18 （2）二元不定方程在求解時(shí)，參變分離是一種方式，通過變形讓兩變量分居不等號的兩側(cè)，這樣可以以一側(cè)作為突破口（比如本題中的整除問題），來求得變量的解 例 6：已知數(shù)列 na是各項(xiàng)均不為 0 的等差數(shù)列，ns是其前n項(xiàng)和，且滿足221nnas=，令11nnnba a+=，數(shù)列 nb的前n項(xiàng)和為nt （1）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式及nt （2 2）是否存在正整數(shù)）是否存在正整數(shù)(),1m nmn，使得使得1,mnt t t成等比數(shù)列成等比數(shù)

13、列？若存在若存在，求出所有的求出所有的,m n的值的值；若不存在，請說明理由。；若不存在，請說明理由。 解：（1）()12121212nnaasn+= 1212nnaaa+= ()2121nnsna= 221nnas= 且0na 21nan= ()()111121 212 2121nbnnnn=+ 11111111112335212122121nntnnnn=+=+ （2）思路：先假定存在滿足條件的,m n，則由則由21mntt t=可得()2213 2121mnnm=+，無法直接得到不等關(guān)系，考慮變形等式：()222163mnmn+=，分離參數(shù)可得：24132mmn+=，以30n為突破口可解

14、出m的范圍661,122+，從而確定m的值后即可求出n 解：假設(shè)存在(),1m nmn，則21mntt t= 即()()22222221163441633 2121mmnnmmnnmnmnm+=+ 241346mmn +=+即241320mmn+= - 7 - / 18 222410mmm+解得：661122m + 2m=，代入可得：234112224n=+=，解得：12n = 存在2,12mn=，使得1,mnt t t成等比數(shù)列 例7：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 na滿足：13a =，且()2211210,nnnnna aaaann+= （1）設(shè)1nnnbaa=，求數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式 （2 2

15、）設(shè)）設(shè)2221222212111,nnnnsaaa taaa=+=+，求，求nnst+，并確定最小正整數(shù)，并確定最小正整數(shù)n，使得使得nnst+為整數(shù)為整數(shù) 解：（1）()()()22221111210121nnnnnnnnna aaaaaaaa+= 22111111111222nnnnnnnnnnaabaabaaaa+= nb是公比為 2 的等比數(shù)列 （2）思路：由（1）可得2111223nnnnnabba+=，na的通項(xiàng)公式可求但是比較復(fù)雜，不利于求出,nns t，但觀察發(fā)現(xiàn)可將nnst+中的項(xiàng)重新組合，進(jìn)而能夠和nb找到聯(lián)系。22221122nnnnnaabaa+=+=+，求和可得()

16、6441227nnnstn+=+，若nnst+為整數(shù)，則41n能被27整除，而3273=，考慮可將4n寫成()3 1n+，通過二項(xiàng)式定理展開并找到最小的正整數(shù)n 解：2221222212111nnnnstaaaaaa+=+ 22212121112nnaaanaaa=+ - 8 - / 18 222221888844423333nn=+ + ()()644164924124 127nnnn=+=+ 若nnst+為整數(shù)，因?yàn)?nz ()644127nz 即()14127nz ()01133221413 1333331nnnnnnnnnnnnnncccccc =+=+ 0113322133333nn

17、nnnnnnnnccccc=+ 22133nnnncc+能被27整除 ()2221193339322nnnnn nnnccn+= += 所以可得9n =時(shí)，22133nnnncc+能被27整除 n的最小值是9 例 8：已知 na為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為ns，若4224,21nnss aa=+ （1）求na （2）對mn，將 na中落入?yún)^(qū)間()22 ,2mm內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為 mb 求mb 記記2122mmmcb=， mc的 前的 前m項(xiàng) 和 記 為項(xiàng) 和 記 為mt， 是 否 存 在， 是 否 存 在,m tn， 使 得， 使 得111mmtttttc+=+成立？若存在，求出成立？若存在，求出,m

18、t的值；若不存在，請說明理由的值；若不存在，請說明理由 解：（1）設(shè) na的公差為d ()42114464 2ssadad=+=+ ()()2112121211nnaaandand=+ +=+ - 9 - / 18 解得：11,2ad= 21nan= （2） 222121221222mmmmnn+ 121112222mmn+ nn 121212mmn+ 21122mmmb= 思路：由可得：212122mmmc=，14 12mmt=，則所解方程變形為：1114 122mmtt+ = +，得到關(guān)于,m t的不定方程，可考慮對,m t進(jìn)行變量分離1142142mtt=+，以等式左右邊的符號作為突破口

19、（左邊為正數(shù)），得到40t ，即1,2,3t，然后代入t解出符合條件的m即可 解：由可得：212122mmmc= 12 1214 11212mmmt= 由111mmtttttc+=+可得： 11mtmttctt+=+ 111111mmmmtttmmmttcccccctttttt+ +=+ +=+ = 1112mtmmtcttc+ + = 111144222mmtt = - 10 - / 18 1142142mtt=+ 1110,4022mt+ 401,2,3tt 1t =時(shí)，解得：12133log255mmz=（舍） 2t =時(shí)，解得：12111log233mmz=（舍） 3t =時(shí)，解得：1

20、1328mmz= 存在這樣的33mt=，滿足所給方程 小煉有話說： 1、本題中的方程，并沒有在一開始就將mt代入，否則運(yùn)算會(huì)復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡變形，變形完成之后再代入?？珊喕槐匾倪\(yùn)算 2、本題在解,m t的不定方程所用的方法為變量分離法，將兩個(gè)只含某一字母的式子用等號連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致。以其中一個(gè)式子作為突破口（比如12m），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)系將變量所能取的值確定下來。 例 9：已知數(shù)列 na是等差數(shù)列，數(shù)列 nb是等比數(shù)列，且對任意的nn，都有：31 1222nnna ba ba bn+= ，若18a =，則： （1）求數(shù)列 ,nnab的通

21、項(xiàng)公式 （2 2）試探究：數(shù)列）試探究：數(shù)列 nb中是否存在某一項(xiàng)中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它它可以表示為該數(shù)列中其它(),2r rn r項(xiàng)項(xiàng)的和的和？若存在若存在，請求出該項(xiàng)請求出該項(xiàng)，若不存在若不存在，請說明理由請說明理由 解：（1）31 1222nnna ba ba bn+= ()21 1221112nnna ba babn+= 可得： - 11 - / 18 ()()()32221 21 22nnnnna bnnnn+=+ 令1n =，則41 111 22a bb= = 令2n =，則()42 2113 248a bad bq=+= 令3n =，則()523 3114 2

22、2128a bad bq=+= 所以有：()()2 8482 82128d qd q+=+=，解得：42dq= 44,2nnnanb=+= （2）思路：首先要把命題翻譯為等式，將其他r項(xiàng)可設(shè)為12,rtttb bb，設(shè)存在某項(xiàng)mb，則12122222rrtttmmtttbbbb=+=+，設(shè)12rttt，則同除以12t，就會(huì)出現(xiàn)左右兩側(cè)奇偶不同，從而假設(shè)不成立 解：假設(shè)存在某項(xiàng)mb及數(shù)列中的其他r項(xiàng)()1212,rtttrb bbttt 12122222rrtttmmtttbbbb=+=+，所以22rtmrmt 兩邊同時(shí)除以12t可得： 12112122rm ttttt= +，左邊為偶數(shù)，右邊為

23、奇數(shù)。所以等式不成立 所以不存在這樣的項(xiàng) 小煉有話說：（1）通過本題要學(xué)會(huì)如何表示數(shù)列中某一串項(xiàng)：如果是相鄰項(xiàng)，則可表示為：12,mmmaaa+，如果不一定相鄰，則可用12,rt tt作角標(biāo)，其中1,2,r體現(xiàn)出這一串項(xiàng)所成數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，而12,rt tt表示該項(xiàng)在原數(shù)列中的序數(shù) （2）本題還有一個(gè)矛盾點(diǎn)：題目中的r項(xiàng)不一定為相鄰項(xiàng)，但是可通過放縮將右邊的項(xiàng)補(bǔ)全 ， 變 為 從12 一 直 加 到2rt ， 即1212222222rrtttt+。 則21222221mtrtr+= ， 由 整 數(shù) 性 質(zhì) 可 得1rrmtmt， 所 以112221rrttm+，與矛盾，所以不存在。 例例 10

24、10：已知等差數(shù)列：已知等差數(shù)列 na的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a，公差為公差為b，等比數(shù)列等比數(shù)列 nb的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為b，公比為公比為a，其其中中, a b均為大于均為大于 1 1 的正整數(shù)，且的正整數(shù)，且1123,ab ba，對于任意的對于任意的nn，均存在均存在mn，使使- 12 - / 18 得得3mnab+=成立成立，則則na =_ 思路：本題的關(guān)鍵是求出, a b，已知, a b均為大于 1 的正整數(shù)，所以考慮從兩個(gè)不等關(guān)系入手嘗試求, a b的值或范圍：1123,2abab babaab+，所以2abbaab+，從 而 根 據(jù) 不 等 號 方 向 可 得 ：223baabbbb+= 解

25、得 ：3a ， 所 以132aa=， 從 而()1313nmnabambba+=+=， 代 入2a =可 得 ：()()11152521nnmbbbm+=+， 因 為1,21nbzmz+ ， 所 以11215nbm=+ =（舍）或12115nmb+ =。所以11211255nnmmbb+ =成立，所以2,5ab=，()25153nann=+= 答案：53nan= 三、歷年好題精選 1、（2014，山東師大附中五模）用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用()ijaij表示第i行第j個(gè)數(shù)（, i jn+），使得1 iijaai=，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第()n nn+行中的各

26、數(shù)之和為nb （1）寫出1234,b b b b，并寫出1nb+與nb的遞推關(guān)系（不要求證明） （2）令2nncb=+，證明： nc是等比數(shù)列，并求出 nb的通項(xiàng)公式 （3）數(shù)列 nb中是否存在不同的三項(xiàng)(), ,pqrb b bp q rn+恰好成等差數(shù)列？若存在，求出, ,p q r的關(guān)系，若不存在，說明理由 2、（2016，泰州一模）已知數(shù)列, nnab滿足2(2)nnnsab=+，其中ns是數(shù)列na的前n項(xiàng)和 （1）若數(shù)列na是首項(xiàng)為23，公比為13的等比數(shù)列，求數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式； （2）若nbn=，23a =，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式； （3）在（2）的條件下，設(shè)nnnacb=，求證

27、：數(shù)列 nc中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積 - 13 - / 18 3、已知數(shù)列 na的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，數(shù)列 na前n項(xiàng)和為ns，且滿足5459342,saa aaa=+=+ （1）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式 （2）若12mmma aa+=，求正整數(shù)m的值 （3）是否存在正整數(shù)m，使得221mmss恰好為數(shù)列 na中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由 4、（2016，無錫輔仁高中 12 月月測） 已知數(shù)列 ,nnab滿足1123,2,1n nnnnnaa bbabnna+=+ （1）求證：數(shù)列1nb是等差數(shù)列，并求

28、數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)數(shù)列 nc滿足25nnca=，對于任意給定的正整數(shù)p，是否存在正整數(shù)(), q r pqr，使得111,pqrccc成等差數(shù)列？若存在，試用p表示, q r；若不存在，請說明理由 - 14 - / 18 習(xí)題答案：習(xí)題答案： 1、解析：（1）12341,4,10,22bbbb= 猜想122nnbb+=+ （2）()1222nnbb+=+ 12nncc+= nc是等比數(shù)列，1123c = += 11123 2nnncc= 13 22nnb= （3）由（2）可得：1113 22,3 22,3 22pqrpqrbbb= 若(), ,pqrb b bp q rn+為等差數(shù)

29、列 則12222qprqprbbb+=+=+ 不妨設(shè)p為最小的數(shù)，則2 212qprp= +，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，顯然不成立 不存在符合要求的, ,p q r 2 2、解析：（1）因?yàn)?2112333nnna= 2113311112313nnns = 11213221223nnnnnsba =+ + （2）若nbn=，則22nnsnan=+ ()11212nnsna+=+ ()()11121212nnnnnanananana+=+=+ ()()1122nnnana=+ - 15 - / 18 兩式相減可得：2n 時(shí)，()()()()()()11111122111nnnnnnnnananan

30、ananana+=+ 112nnnaaa+=+ na為等差數(shù)列 1122sa=+可得：12a =，因?yàn)?3a = 1d= 1nan=+ （3）由（2）得1nncn+= ， 對于給定的*nn，若存在*, ,k tn k tn，使得nktccc=， 只需111nktnkt+=， 即1111(1) (1)nkt+=+，即1111nktkt=+，則(1)n ktkn+=， 12 分 取1kn=+，則(2)tn n=+， 對數(shù)列 nc中的任意一項(xiàng)1nncn+=，都存在121nncn+=+和2222212nnnncnn+=+使得212nnnnccc+= 3、解析：（1）設(shè)13521,ka a aa的公差為

31、d，設(shè)2462,ka a aa的公比為q 423192 ,1,14aa qq aadd ad=+= += + 由54541239341122342saaaaaadaaaqadadq=+=+=+=+=+ ()11222112 3,121kkkkaa qaandk=+= 12,212 3,2nnn nkank= = （2）若()2mk kn=，則22122kkka aa+=，即()12 3212 3kkk+= 解得：2131kk+ =，即2m = 若()21mkkn=，即21221kkkaaa+= - 16 - / 18 ()112212 3212 3121kkkkk =+ = + 因?yàn)?2 3k為正整數(shù) 221k為正整數(shù) 211