高中數(shù)學(xué)講義微專題61三視圖——幾何體的體積問(wèn)題

1、- 1 - / 5 微專題 61 三視圖幾何體的體積問(wèn)題 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、常見(jiàn)幾何體的體積公式：（:s底面積，:h高） （1）柱體：vs h= （2）錐體：13vs h= （3）臺(tái)體：()121213vsss sh=+，其中1s為上底面面積，2s為下底面面積 （4）球：343vr= 2、求幾何體體積要注意的幾點(diǎn) （1）對(duì)于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺(tái)），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地。對(duì)于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過(guò)俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積。 （2）對(duì)于組合體，首先要判斷是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，或是

2、以哪個(gè)幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分。然后再尋找相關(guān)要素 （3）在三視圖中，每個(gè)圖各條線段的長(zhǎng)度不會(huì)一一給出，但可通過(guò)三個(gè)圖之間的聯(lián)系進(jìn)行推斷，推斷的口訣為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等， 側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等。 二、典型例題： 例 1：已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_ 思路：從正視圖，側(cè)視圖可判斷出幾何體與錐體相關(guān)（帶尖兒），從俯視圖中可看出并非圓錐和棱錐，而是兩者的一個(gè)組合體（一半圓錐+ 三棱錐），所以12vvv=+圓錐棱錐，錐體的高計(jì)算可得6 3h =（利用正視圖），底面積半圓的

3、半徑為6，三角形底邊為12，高為6（俯視圖看出），所以112 6362s=三角形，2636s=圓，則- 2 - / 5 172 33vsh=三角形棱錐，172 33vsh=圓圓錐，所以136 372 32vvv=+=+圓錐棱錐 答案：36 372 3+ 例 2：已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為 . 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)這個(gè)棱錐是將一個(gè)側(cè)面擺在地面上，而棱錐的 真 正 底 面 體 現(xiàn) 在 正 視 圖 （ 梯 形 ） 中 ， 所 以()1424122s=+=底，而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，即4h =，所以1163vsh=底 答案：1

4、6 例 3：若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是_ 思路：該幾何體可拆為兩個(gè)四棱柱，這兩個(gè)四棱柱的高均為 4（俯視圖得到），其中一個(gè)四棱柱底面為正方形，邊長(zhǎng)為 2（正視圖得到），所以2112416vsh=，另一個(gè)四棱柱底面為梯形，上下底分別為2,6，所以()2126282s =+=，228 432vsh=。故幾何體的體積為1248vvv=+= 答案：48 例 4：如下圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是_ 思路：從三視圖中觀察可得該組合體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)躺倒的三棱錐拼接而成，對(duì)于圓柱可得其底面半徑為4（正視圖），高為8（正視圖），所以248128vs h=圓柱，而棱柱底面

5、為底是3（俯視圖），高為4（正視圖）的三角形，棱柱的高為6 （俯視圖），所以可得1=3 4 6362vs h= =棱柱，所以組合體的體積為12836vvv=+=+圓柱棱柱 - 3 - / 5 答案：12836+ 例 5：某幾何體三視圖如圖所示（正方形邊長(zhǎng)為2），則該幾何體的體積為 . 思路：由正視圖與側(cè)視圖可得該幾何體的輪廓為一個(gè)棱柱，從俯視圖中可確定該組合體為正方體截掉了兩部分，且這兩部分剛好都是14個(gè)圓柱，可拼成12個(gè)圓柱。所以先計(jì)算出正方體的體積328v=正方體，而圓柱 的 底 面 半 徑 為1， 高 為2， 所 以11222vv=截圓柱， 所 以 組 合 體 的 體 積 為=8vvv=

6、正方體截 答案：8 例 6：某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) a4 b22 c d8 答案：d 思路：由于長(zhǎng)方體被平面所截，所以很難直接求出幾何體的體積，可以考慮沿著截面再接上一個(gè)一模一樣的幾何體，從而拼成了一個(gè)長(zhǎng)方體，因?yàn)殚L(zhǎng)方體由兩個(gè)完全一樣的幾何體拼成，所以所求體積為長(zhǎng)方體體積的一半。從圖上可得長(zhǎng)方體的底面為正方形，且邊長(zhǎng)為2，- 4 - / 5 長(zhǎng)方體的高為314+=，所以22416v=長(zhǎng)方體，所以182vv=長(zhǎng)方體 例 7：一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為_ 思路：由主視圖觀察下方有圓弧形，所以判斷有旋轉(zhuǎn)體，結(jié)合側(cè)視圖

7、與俯視圖可判斷出幾何體下部為一個(gè)圓柱（圓柱體的一半），且圓柱的上方摞著一個(gè)長(zhǎng)方體。所以12vvv=+長(zhǎng)方體圓柱，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 2,2,4，則22416v=長(zhǎng)方體，圓柱體的高為 4（側(cè)視圖看出），底面半徑為 2（由主視圖看出），則22416v=圓柱，所以11682vvv=+=+長(zhǎng)方體圓柱 答案：168+ 例 8：已知四棱錐pabcd的直觀圖和三視圖如圖所示，則三棱錐cpbd的體積為_ 思路：要求三棱錐cpbd的體積，則要確定棱錐的高（p到底面bcd的距離）和bcd的面積，從主視圖中可判斷出棱錐的高2h = ，俯視圖體現(xiàn)出四邊形abcd為矩形，所以bcd的面積為11 212bcds= =，

8、所以1122 1333bcdvh s= = 答案：23 例 9：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_2cm 思路：從俯視圖可判斷出該幾何體的基礎(chǔ)應(yīng)為直三棱柱，但從側(cè)視圖與正視圖可以看出幾何體是直三棱柱切掉了一部分，其中側(cè)視圖體現(xiàn)出三棱柱從上底面一直切到下底面，而正視圖中的線恰好是截面與側(cè)面形成的棱（切痕），進(jìn)而可作出直觀圖，從圖中可看出剩余的幾何體為一個(gè)四棱錐（頂點(diǎn)為b，所以acbed- 5 - / 5 13acdebacdevds=平面，棱錐的高是4（側(cè)視圖的左右間距），四邊形acde是邊長(zhǎng)為6的正方形（由正視圖看出），所以2636acdes=，所以()2114 364833acdebacdevdscm= =平面 答案：48 例 10：如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長(zhǎng)為 1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為( ) a. 83 b. 43 c. 4 3 d. 2 3 思路：本題很難直接看出棱錐的底面積與高，但通過(guò)觀察可看出此棱錐可能由正方體1111abcdabc d （棱長(zhǎng)為 2）通過(guò)切割而成，所以先畫出正方體，再根據(jù)三視圖中的實(shí)線虛線判斷如何切割，正視圖中可看出正方體用前后面的對(duì)角線所在平面將下方完全切掉，從左視圖可看出正方體的右側(cè)面（虛線）有切痕，俯視圖體現(xiàn)出正方體的上底面有切痕。進(jìn)而可得所求棱錐為一個(gè)四棱錐，底面是矩形11ab