高中數(shù)學(xué)講義微專題65直線的方程與性質(zhì)

1、- 1 - / 10 微專題 65 直線的方程與性質(zhì) 一、基礎(chǔ)知識(shí)： （一）直線的要素與方程： 1、傾斜角：若直線l與x軸相交，則以x軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與l重合所成的角稱為直線l的傾斜角，通常用, , , 表示 （1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0 （2）傾斜角的取值范圍)0, 2、斜率：設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為tank= （1）當(dāng)2=時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的 （2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率 （3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系） （4）k越大，

2、直線越陡峭 （5）斜率k的求法：已知直線上任意兩點(diǎn)()()1122,a x yb xy，則2121yykxx=，即直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)。 3、截距：若直線l與坐標(biāo)軸分別交于() (),0 , 0,ab，則稱, a b分別為直線l的橫截距，縱截距 （1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可 0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)） （2）橫縱截距均為 0 的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線 4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點(diǎn)與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法

3、有關(guān) （1）一點(diǎn)一方向： 點(diǎn)斜式：已知直線l的斜率k，直線上一點(diǎn)()00,p xy，則直線l的方程為： ()00yyk xx= - 2 - / 10 證明：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)(),q x y，根據(jù)斜率計(jì)算公式可得：00yykxx=，所以直線上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿足：()00yyk xx=，即為直線方程 斜截式：已知直線l的斜率k，縱截距b，則直線l的方程為：ykxb=+ 證明：由縱截距為b可得直線與y軸交點(diǎn)為()0,b，從而利用點(diǎn)斜式得：()0ybk x= 化簡(jiǎn)可得：ykxb=+ （2）兩點(diǎn)確定一條直線： 兩點(diǎn)式：已知直線l上的兩點(diǎn)()()1122,a x yb xy，則直線l的方程為： 22121

4、2yyxxyyxx= 截距式：若直線l的橫縱截距分別為(),0a b ab ，則直線l的方程為：1xyab+= 證明：從已知截距可得：直線上兩點(diǎn)() (),0 , 0,ab，所以00bbkaa= ():01bxyl ybxbxayabaab= +=+= 一般式：由前幾類直線方程可知：直線方程通常由, x y的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，所以可將直線的通式寫(xiě)為：0axbyc+=（,a b不同時(shí)為 0），此形式稱為直線的一般式 一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果 可用于判定直線的平行垂直關(guān)系 點(diǎn)到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式 5、五種直線形式所不能表示的直線： （1）點(diǎn)斜式，斜

5、截式：與斜率相關(guān)，所以無(wú)法表示斜率不存在的直線（即豎直線） （2）截距式： 截距不全的直線：水平線，豎直線 截距為 0 的直線：過(guò)原點(diǎn)的直線 6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種： （1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率 （2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方- 3 - / 10 程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致） （二）直線位置關(guān)系： 1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直

6、），重合 如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是12, l l，則要考慮重合的情況。 2、直線平行的條件 （1）斜截式方程：設(shè)直線111222:,:lyk xb lyk xb=+=+ 121212,kk bbll= 若直線12, l l的斜率存在，則1212llkk= （2）一般式方程：設(shè)11112222:0,:0laxb ycla xb yc+=+=，則 當(dāng)111222abcabc=時(shí)，1l2l 1221aba b=，且1221aca c和1221bcb c中至少一個(gè)成立，則1l2l（此條件適用于所有直線） 3、直線垂直的條件： （1）斜截式方程：設(shè)直線111222:,:l

7、yk xb lyk xb=+=+，則12121llkk= （2）一般式方程：設(shè)11112222:0,:0laxb ycla xb yc+=+=，則： 1212120a ab bll+= 4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律： 可選擇與一般式方程0axbyc+=對(duì)應(yīng)的向量：(),aa b=，即有： ()()11111112222222:0,:0,laxb ycaa bla xb ycaa b+=+=，從而12,a a的關(guān)系即可代表12, l l的關(guān)系，例如： 12211212aba baall=（注意驗(yàn)證是否會(huì)出現(xiàn)重合的情況） 121212121200a ab baaaall+= - 4 - /

8、10 （三）距離問(wèn)題： 1、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)()()1122,a x yb xy，則()()221212abxxyy=+ 2、點(diǎn)到直線距離公式：設(shè)()00, :0p xyl axbyc+= 則點(diǎn)p到直線l的距離0022p laxbycdab+=+ 3、平行線間的距離：1122:0,:0laxbyclaxbyc+=+= 則12, l l的距離為1222ccdab=+ （四）對(duì)稱問(wèn)題 1、中心對(duì)稱： （1）幾何特點(diǎn)：若,a a關(guān)于o點(diǎn)中心對(duì)稱，則o為線段aa的中點(diǎn) （2）解析特征：設(shè)()00,a xy，(),o a b，則與a點(diǎn)關(guān)于o點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)(),a x y滿足： 00002222xxax

9、axyyybyb+=+= 2、軸對(duì)稱 （1）幾何特點(diǎn)：若若,a a關(guān)于直線l軸對(duì)稱，則l為線段aa的中垂線，即aal，且aa的中點(diǎn)在l上 （2）解析特征：設(shè)()00,a xy，: lykxb=+，則與a點(diǎn)關(guān)于l軸對(duì)稱的點(diǎn)(),a x y滿足： 0000122aayykxxkyyxxkb= +=+ ，解出(),a x y即可 （3）求軸對(duì)稱的直線：設(shè)對(duì)稱軸為直線l，直線1l關(guān)于l的對(duì)稱直線為1l 若1ll，則1l1l，且1l到對(duì)稱軸的距離與l到對(duì)稱軸的距離相等 若1l與l相交于p ，則取1l上一點(diǎn)a，求出關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)a，則ap即為對(duì)稱直線1l - 5 - / 10 （五）直線系方程：滿足某種特

10、征的一類直線組成的集合稱為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線） 1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系參數(shù)不會(huì)影響斜率的取值 （1）與直線0axbyc+=平行的直線系方程為：0axbym+=（m為參數(shù)，且mc） （2）與直線0axbyc+=垂直的直線系方程為：0bxaym+=（m為參數(shù)） 2、過(guò)定點(diǎn)的直線： （1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為 0 即可 （2）已知11112222:0,:0laxb ycla xb yc+=+=（1l與2l不重合），則過(guò)12, l l交點(diǎn)的直線系

11、方程為：()1211122200llaxb yca xb yc+=+=（該直線無(wú)法表示2l） 3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時(shí)可充分利用平行，垂直或過(guò)定點(diǎn)的條件，將直線設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程 二、典型例題： 例 1：直線sin20 xy+=的傾斜角的取值范圍是（ ） a)0, b30,44 c0,4 d0,42 思路：要求傾斜角（設(shè)為），可將直線轉(zhuǎn)化為斜截式得：sin2yx= ，所以 ，即tan1,1 ，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得：30,44 答案：b 小煉有話說(shuō)：一是要注意由正切值求角時(shí)，通過(guò)圖

12、像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫(xiě)區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：)0,，所以當(dāng)0k =時(shí)，傾斜角為0（而不是） - 6 - / 10 例 2：經(jīng)過(guò)) 1, 0( p作直線l，若直線l與連接)3 , 2(),1 , 1(ba 的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為 思路：直線l可視為繞) 1, 0( p進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在坐標(biāo)系中作出線段ab，即可由圖判斷出若直線l與線段ab有公共點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一條直線與最后一條直線分別為直線,pb pa，則()()11312,21020papbkk = = ，由圖像可得：(), 22,k + 答案：(), 22,k + 小煉有話說(shuō)：本題

13、如果沒(méi)有圖像輔助，極易將結(jié)果寫(xiě)成2,2，通過(guò)觀察可得旋轉(zhuǎn)的過(guò)程當(dāng)中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應(yīng)為正負(fù)值之外，而非正負(fù)值之間。所以處理此類問(wèn)題時(shí)：一定作圖，作圖，作圖！一定作圖，作圖，作圖！ 例 3：若()()12:120,:280lxmymlmxy+=+=的圖象是兩條平行直線，則m 的值是（ ） a1m =或2m = b1m = c2m = dm的值不存在 思路：由平行線可得：()12m m +=可解得：1m =或2m = ，檢驗(yàn)是否存在重合情況，將1m =代入直線可得：12:210,:280lxylxy+ =+=，符合題意，將2m = 代入直線可得：12:40,: 228

14、0lxylxy=+=，則12,l l重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：1m = 答案：b 小煉有話說(shuō)：在已知平行關(guān)系求參數(shù)取值時(shí)，盡管在求解時(shí)可僅用, x y系數(shù)關(guān)系，但解出參數(shù)后要進(jìn)行驗(yàn)證，看是否會(huì)導(dǎo)致直線重合。 例 4：已知直線013)2(01=+=+yxayax與互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于（ ） a3或1 b1或3 c1或3 d1或3 思路：由兩直線相互垂直可得：()()2130a a + =，即2230aa+=，解得3a = - 7 - / 10 或1a = 答案：a 例 5：已知直線通過(guò)點(diǎn)()3,4m ，被直線l：30 xy+=反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)()2,6n， 則反射光線所在直線的方

15、程是 思路：本題與物理知識(shí)相結(jié)合，可知反射光線過(guò)已知點(diǎn)在鏡面中的虛像（即對(duì)稱點(diǎn)），所以考慮求出()3,4m 的對(duì)稱點(diǎn)m，再利用()2,6n確定反射光線即可。 解：設(shè)m的對(duì)稱點(diǎn)()00,mxy，則有mml，且mm的中點(diǎn)0034,22xy+在l上 000000004110310343022yxyxxyxy= + =+ =+= ()1,0m 6m nk= ():61m nyx=即660 xy= 答案：660 xy= 例 6：直線()()220mn xmn ymn+= （,m nr 且,m n不同時(shí)為 0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)_ 思路：直線過(guò)定點(diǎn)，則意味著定點(diǎn)坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”即無(wú)論參數(shù)取何值，不會(huì)影響表達(dá)

16、式的值，能夠達(dá)到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進(jìn)行變形，將含m的項(xiàng)與含n的項(xiàng)分別歸為一組，可得：()()2120m xyn xy+=，若要讓,m n“失去作用”，則21020 xyxy+ =+=，解得11xy= =，即定點(diǎn)為()1,1 答案：()1,1 小煉有話說(shuō)：含參數(shù)的直線方程要么是一組平行線（斜率為常數(shù)），要么考慮過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)的求解可參照例 6 的求法。尋找定點(diǎn)是一種意識(shí)，即遇到含參數(shù)的直線時(shí)，便可考慮能否找到定點(diǎn)，從而抓住此類直線的特征（繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），有助于解題。 例 7：已知直線:30l xmym+=上存在點(diǎn)m滿足與兩點(diǎn)()()1,0 ,1,0ab連線的斜率ma

17、k與mbk之積為3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ - 8 - / 10 思路：設(shè)直線上的點(diǎn)()00,m xy，則m需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是符合直線方程，二是保證斜率乘積為 3.對(duì)于條件一，即0030 xmym+=，對(duì)于條件二，按照斜率計(jì)算公式可得0000,11mambyykkxx=+，所以0000311yyxx=+即()220031yx=。所以存在滿足條件的m，等價(jià)于方程組()22222230316 393033xmymmym ymyx+=+=有解，所以判別式()()()22226 34 31 930mmm =，可解得22,22m 答案：22,22m 例 8：若不全為零的實(shí)數(shù), ,a b c成等差數(shù)

18、列，點(diǎn)(1,2)a在動(dòng)直線:0l axbyc+=上的射影為p，點(diǎn)q在直線1:34120lxy+=上，則線段pq長(zhǎng)度的最小值是_ 思路：從, ,a b c成等差數(shù)列可得：2acb+=，所以:02acl axyc+=，方程含參進(jìn)而考慮尋找定點(diǎn)。11010222acaxyca xycy+=+=，所以有1021102xyy+=+ =，解得定點(diǎn)為()1, 2，即l為繞()1, 2旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線，對(duì)于任意點(diǎn)p，pq的最小值為點(diǎn)p到34120 xy+=的距離，而p的所有位置中，只有l(wèi)過(guò)(1,2)a點(diǎn)時(shí)，pq最短，即()11minmin223 14 2127534p la lpqdd +=+ 答案：75 小煉有

19、話說(shuō)：（1）本題的突破口在于對(duì)含參直線:02acl axyc+=的分析，首先對(duì)于含參直線要分析出屬于平行線系（斜率為定值），還是過(guò)定點(diǎn)系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對(duì)于多參數(shù)方程也能夠找到定點(diǎn)。 （2）本題的,p q均為動(dòng)點(diǎn)，雙動(dòng)點(diǎn)求最值時(shí)，通常固定一個(gè)點(diǎn)，分析此點(diǎn)固定時(shí)，達(dá)到最- 9 - / 10 值時(shí)另一個(gè)點(diǎn)位置的特征（例如本題中固定p，分析出p到1l的距離為pq最?。?，然后再讓該點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)的過(guò)程中找到“最值”中的最值。 例 9：已知abc的兩條高所在直線方程為0,2310 xyxy+=+ =，若(1,2)a，求直線bc的方程 思路：本題并沒(méi)有說(shuō)明高線是否過(guò)a，但可以將(1,2)a帶入方程進(jìn)行驗(yàn)證，可得兩條高線均不過(guò)a，從而尋找確定bc直線的要素，可連接ah，由三角形“三條高線交于一點(diǎn)”的性質(zhì)可得ahbc，且h點(diǎn)可由兩條高線解得，從而得到bck，只需再求得一點(diǎn)即可，觀察到c為三條直線,bc cd ac的公共點(diǎn)，cd已知，而ac可求。進(jìn)而解得c的坐標(biāo)，然后通過(guò)c和bck求出bc的方程 解：設(shè):0,:2310cd xybexy+=+ = 105:231015xxyhxyy= +=+ = ，所以1 1,5 5h 12351215ahk= 由“三條高線交于一點(diǎn)”可得：ahbc 23bck= acbe 設(shè):320acxym+=，