高中數(shù)學(xué)必修二第八章 8.1 第1課時(shí)

1、1 / 16 8.1 基本立體圖形基本立體圖形 第第 1 課時(shí)課時(shí) 棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱柱、棱錐、棱臺(tái) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算. 知識(shí)點(diǎn)一 多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義 類別 多面體 旋轉(zhuǎn)體 定義 由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體 圖形 相關(guān)概念 面：圍成多面體的各個(gè)多邊形 棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊 軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線 2

2、/ 16 頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn) 思考 構(gòu)成空間幾何體的基本元素是什么？ 答案 構(gòu)成空間幾何體的基本元素是：點(diǎn)、線、面. 知識(shí)點(diǎn)二 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 1.棱柱的概念 名稱 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 棱柱 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱abcdefabcdef 底面(底)：兩個(gè)互相平行的面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn) 2.棱柱的分類 (1)按底面多邊形邊數(shù)來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱 (2)按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

3、叫做斜棱柱. 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體. 思考 棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？ 答案 棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形. 知識(shí)點(diǎn)三 棱錐的結(jié)構(gòu)特征 1.棱錐的概念 3 / 16 名稱 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 棱錐 有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 如圖可記作：棱錐sabcd 底面(底)：多邊形面 側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn) 2.棱錐的分類 (1)按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐 (2)底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐

4、叫做正棱錐. 知識(shí)點(diǎn)四 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 名稱 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 分類 棱臺(tái) 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái) 如圖可記作：棱臺(tái)abcdabcd 上底面：平行于棱錐底面的截面 下底面：原棱錐的底面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂由三棱錐、四棱錐、五棱錐 截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái) 4 / 16 點(diǎn) 思考 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線一定相交于一點(diǎn)嗎？ 答案 一定相交于一點(diǎn). 1.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.( ) 2.棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形.( ) 3.棱柱最多有兩個(gè)面不是

5、四邊形.( ) 4.棱錐的所有面都可以是三角形.( ) 一、棱柱的結(jié)構(gòu)特征 例 1 (1)下列關(guān)于棱柱的說法： 所有的面都是平行四邊形；每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；被平面截成的兩部分可以都是棱柱. 其中正確的說法的序號(hào)是_. 答案 解析 錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形. 錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形. 正確，由棱柱的定義易知. 正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以說法正確的序號(hào)是. 5 / 16 (2)如圖所示，長(zhǎng)方體 abcda1b1c1d1，m，n分別為棱 a1b1，c1d1的中點(diǎn). 這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？ 用平面 bcn

6、m 把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說明理由. 解 是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義. 截面 bcnm 右上方部分是三棱柱 bb1mcc1n，左下方部分是四棱柱 abma1dcnd1. 反思感悟 棱柱結(jié)構(gòu)的辨析方法 (1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義. 看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行. (2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬?/p>

7、型、圖片等不吻合，給予排除. 跟蹤訓(xùn)練 1 下列命題中正確的是( ) a.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 b.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面 c.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形 d.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 答案 d 二、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 例 2 (1)有下列三種敘述： 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)； 兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)； 6 / 16 有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái). 其中正確的有( ) a.0 個(gè) b.1 個(gè) c.2個(gè) d.3個(gè) 答案 a 解析 中的平面不一定平

8、行于底面，故錯(cuò)；可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，故錯(cuò). (2)下列說法中，正確的是( ) 棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形； 四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面； 棱錐的側(cè)棱平行. a. b. c. d. 答案 b 解析 由棱錐的定義，知棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形，故正確；四面體就是由四個(gè)三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面，故正確；棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)，不平行，故錯(cuò). 反思感悟 判斷棱錐、棱臺(tái)的方法 (1)舉反例法 結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接排除關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些不正確說法. (2)直接法 棱錐 棱臺(tái) 7 / 16 定底面 只有一個(gè)面是

9、多邊形，此面即為底面 兩個(gè)互相平行的面，即為底面 看側(cè)棱 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn) 跟蹤訓(xùn)練 2 下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法： 棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形； 由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； 棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐. 其中正確說法的序號(hào)是_. 答案 解析 正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形； 正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐； 錯(cuò)誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐. 空間幾何體的表面展開圖 典例 (1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)( ) 8 /

10、16 答案 a 解析 其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪條棱剪開，剪開的相鄰面在展開圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定相鄰.相同的圖案是盒子上相對(duì)的面，展開后不能相鄰. (2)如圖是三個(gè)幾何體的表面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？ 解 圖中，有 5 個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖中，有 5 個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖中，有 3 個(gè)梯形，且其腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn).把表面展開圖還原為原幾何體，如圖所示： 所以為五棱柱，為五棱錐，為三棱臺(tái). 素養(yǎng)提升 多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀

11、察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀. 9 / 16 1.下面多面體中，是棱柱的有( ) a.1 個(gè) b.2 個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè) 答案 d 解析 根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判定知，這 4 個(gè)圖都滿足. 2.下面圖形中，為棱錐的是( ) a. b. c. d. 答案 c 解析 根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，是棱錐，不是棱錐，是棱錐.故選 c. 3.有一個(gè)多面體，由五個(gè)面圍成，只有一個(gè)面不是三角形，則這個(gè)幾何體為( ) a.四棱柱 b.四棱錐 c.三棱柱 d.三棱錐 答案 b 解析 根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是四棱錐. 4.如圖所示，在三棱臺(tái) abcabc 中

12、，截去三棱錐 aabc，則剩余部分是( ) a.三棱錐 b.四棱錐 c.三棱柱 d.組合體 10 / 16 答案 b 解析 余下部分是四棱錐 abccb. 5.一個(gè)無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，a，b，c 是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，abc_. 答案 60 1.知識(shí)清單： (1)多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義. (2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征. 2.方法歸納：舉反例法. 3.常見誤區(qū)：棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不清. 1.有兩個(gè)面平行的多面體不可能是( ) a.棱柱 b.棱錐 c.棱臺(tái) d.以上都錯(cuò) 答案 b 解析 由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得. 2.下列關(guān)于棱柱的說法中，錯(cuò)誤的是( ) a.三棱柱的底面

13、為三角形 b.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面 11 / 16 c.若棱柱的底面邊長(zhǎng)相等，則它的各個(gè)側(cè)面全等 d.五棱柱有 5 條側(cè)棱、5個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形 答案 c 解析 顯然 a 正確；底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱，它有五個(gè)面，故 b 正確；底面是正方形的四棱柱，有一對(duì)側(cè)面與底面垂直，另一對(duì)側(cè)面不垂直于底面，此時(shí)側(cè)面并不全等，故c錯(cuò)誤；d 正確. 3.觀察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是( ) a.是棱柱 b.不是棱錐 c.不是棱錐 d.是棱臺(tái) 答案 b 解析 結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知是棱柱，是棱錐，不是棱錐，是棱臺(tái)，故 b 錯(cuò)誤. 4.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是( ) 12

14、/ 16 答案 c 解析 c無法將其折成三棱柱，故選 c. 5.下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是( ) 答案 d 6.四棱柱有_條側(cè)棱，_個(gè)頂點(diǎn). 答案 4 8 7.一個(gè)棱臺(tái)至少有_個(gè)面，面數(shù)最少的棱臺(tái)有_個(gè)頂點(diǎn)，有_條棱. 答案 5 6 9 8.一棱柱有 10個(gè)頂點(diǎn)，其所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為 60 cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為_cm. 答案 12 解析 該棱柱為五棱柱，共有 5 條側(cè)棱，每條側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以每條側(cè)棱長(zhǎng)為 12 cm. 9.如圖，在正方形 abcd 中，e，f 分別為 ab，bc 的中點(diǎn)，沿圖中虛線將 3 個(gè)三角形折起，使點(diǎn) a，b，c重合，重合后記為點(diǎn) p. 問：(1)折起后形成的

15、幾何體是什么幾何體？ (2)若正方形邊長(zhǎng)為 2a，則每個(gè)面的三角形面積為多少？ 解 (1)如圖折起后的幾何體是三棱錐. 13 / 16 (2)spef12a2，sdpfsdpe122aaa2，sdef32a2. 10.一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里裝有少量水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中， (1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對(duì)嗎？ (2)水的形狀也不斷變化，可能是棱柱，也可能變成棱臺(tái)成棱錐，對(duì)嗎？ 解 (1)不對(duì)，水面的形狀始終是矩形. (2)不對(duì)，水的形狀只能是棱柱. 11.如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是( ) a.a1b12，ab3，b1

16、c13，bc4 b.a1b11，ab2，b1c11.5，bc3，a1c12，ac3 c.a1b11，ab2，b1c11.5，bc3，a1c12，ac4 d.aba1b1，bcb1c1，cac1a1 答案 c 14 / 16 解析 選項(xiàng) a中a1b1abb1c1bc，故 a不符合題意；選項(xiàng) b 中b1c1bca1c1ac，故 b 不符合題意；選項(xiàng) c 中a1b1abb1c1bca1c1ac，故 c 符合題意；選項(xiàng) d 中滿足這個(gè)條件的可能是一個(gè)三棱柱，不可能是三棱臺(tái). 12.一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)都相等，那么這個(gè)棱錐一定不是( ) a.三棱錐 b.四棱錐 c.五棱錐 d.六棱錐 答案 d 解析 由題意

17、可知，每個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，每個(gè)側(cè)面的頂角均為 60 ，如果是六棱錐，因?yàn)?660 360 ，所以頂點(diǎn)會(huì)在底面上，因此不是六棱錐. 13.下列圖形中是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開圖的是( ) 答案 ac 解析 可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn) ab 可折成正四面體，cd 不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體. 14.從正方體 abcda1b1c1d1的 8個(gè)頂點(diǎn)中任意取 4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這 4 個(gè)頂點(diǎn)可能是： (1)矩形的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(2)每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(3)每個(gè)面都是直角三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(4)有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn). 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為_. 答案 4 解析 如圖所示： 15 / 16 四邊形 acc1a1為矩形，故(1)滿足條件；四面體 da1bc1為每個(gè)面均為等邊三角形的四面體，故(2)滿足條件；四面體 db1c1d1為每個(gè)面都是直角三角形的四面體，故(3)滿足條件；四面體 cb1c1d1為有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體，故(4)滿足條件.故正確的結(jié)論有 4 個(gè). 15.一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是 2， 3， 6，則這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是_.