高中數(shù)學(xué)必修二7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1、1 / 12 第七章 復(fù)數(shù) 7.1 復(fù)數(shù)的概念 7.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 基礎(chǔ)過關(guān)練 題組一 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 1.下列復(fù)數(shù)中,滿足方程 x2+2=0 的是( ) a. 1 b. i c. 2i d. 2i 2.(2020 北京通州高一下期末)已知 i 為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) z=2-3i 的虛部為( ) a.3i b.-3i c.3 d.-3 3.已知復(fù)數(shù) z=a2-(2-b)i 的實(shí)部和虛部分別是 2 和 3,則實(shí)數(shù) a,b的值分別是( ) a.2,1 b.2,5 c. 2,5 d. 2,1 4.以 3i-2的虛部為實(shí)部,3i2+2i 的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是( ) 2 / 12

2、a.3-3i b.3+i c.-2+2i d.2+2i 5.(多選)下列說法不正確的是( ) a.復(fù)數(shù) 2+3i 的虛部是 3i b.形如 a+bi(br)的數(shù)一定是虛數(shù) c.若 ar,a-3,則(a+3)i是純虛數(shù) d.若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小,則它們都是實(shí)數(shù) 題組二 復(fù)數(shù)的分類 6.用 c,r,i分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集,且取全集為 c,則下列結(jié)論成立的是( ) a.ri=c b.rci= c.cr=i d.crci=c 7.在3+2,37i,0,8+5i,(1+3)i,-i2這幾個數(shù)中,純虛數(shù)的個數(shù)為( ) a.0 b.1 c.2 d.3 8.下列說法中正確的是( ) a.復(fù)數(shù)由實(shí)

3、數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成 3 / 12 b.若復(fù)數(shù) z=x+yi(x,yr)是虛數(shù),則必有 x0 c.在復(fù)數(shù) z=x+yi(x,yr)中,若 x0,則復(fù)數(shù) z一定不是純虛數(shù) d.若 a,br且 ab,則 a+ib+i 9.若復(fù)數(shù) z=(m+1)+(m2-9)i1,則實(shí)數(shù) x 的值是 . 7.()已知復(fù)數(shù) z=2-x-6+3+(x2-2x-15)i,則實(shí)數(shù) x取什么值時,z是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)? 題組三 復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用 8.()已知 i 為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) cos +isin 和 sin +icos (r)相等,則 的值為( ) 7 / 12 a.4 b.4或54 c.2

4、k+4(kz) d.k+4(kz) 9.(多選)()已知 i 為虛數(shù)單位,下列命題正確的是( ) a.若 x,yc,則 x+yi=1+i的充要條件是 x=y=1 b.(a2+1)i(ar)是純虛數(shù) c.若12+22=0,則 z1=z2=0 d.當(dāng) m=4時,復(fù)數(shù) lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i 是純虛數(shù) 10.()滿足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示的點(diǎn)的個數(shù)為 . 11.(2020 北京西城高一月考,)定義運(yùn)算| |=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=|3 + 2 i - 1|(i 為虛數(shù)單位),那么實(shí)數(shù) x,y 的值分別為 .

5、 12.()已知關(guān)于 x,y的方程組( +32) + 2(y + 1)i = + 4i,(2 + )-(4- + )i = 9 8i有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù) a,b的值. 8 / 12 13.()已知 i 為虛數(shù)單位,集合 m=(a+3)+(b2-1)i,8,集合 n=3i,(a2-1)+(b+2)i,且 mn,求整數(shù) a,b的值. 答案全解全析答案全解全析 基礎(chǔ)過關(guān)練 1.c 由題意得,x2=-2=2i2,所以 x= 2i. 2.d 復(fù)數(shù) 2-3i 的虛部是-3.故選 d. 3.c 由題意,得 a2=2,-(2-b)=3, a= 2,b=5.故選 c. 4.a 3i-2的虛部為 3,3i2+2i=-

6、3+2i 的實(shí)部為-3,故新復(fù)數(shù)為 3-3i.故選 a. 9 / 12 5.ab 復(fù)數(shù) 2+3i 的虛部是 3,故 a中說法不正確;形如 a+bi(br)的數(shù)不一定是虛數(shù),例如,當(dāng) ar,b=0 時,a+bi 不是虛數(shù),故 b 中說法錯誤;只有當(dāng) ar,a+30,即 a-3時,(a+3)i是純虛數(shù),故 c 中說法正確;因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小,所以若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小,則它們都是實(shí)數(shù),故 d中說法正確.故選 ab. 6.d 利用復(fù)數(shù)集 c,實(shí)數(shù)集 r,虛數(shù)集,純虛數(shù)集 i之間的關(guān)系,結(jié)合 venn 圖可知選項(xiàng) d正確. 7.c 在這些數(shù)中,37i,(1+3)i 是純虛數(shù),所以純虛數(shù)有 2 個,故

7、選 c. 8.c 選項(xiàng) a錯誤,復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成,虛數(shù)又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù);選項(xiàng) b錯誤,若復(fù)數(shù) z=x+yi(x,yr)是虛數(shù),則必有 y0,對 x的取值沒有限定;選項(xiàng) c 正確,復(fù)數(shù) z=x+yi(x,yr)是純虛數(shù)x=0且 y0,因此只要 x0,復(fù)數(shù) z 一定不是純虛數(shù);選項(xiàng) d錯誤,當(dāng) a,br 時,a+i 與 b+i 都是虛數(shù),不能比較大小. 9.答案 -3 解析 因?yàn)?z0,所以2-9=0, + 1 0,解得 m=-3. 方法技巧 由于虛數(shù)不能比較大小,因此若 z0,則 z一定是實(shí)數(shù). 10.解析 (1)要使復(fù)數(shù) z是虛數(shù),必須使 m2+3m-280m4且 m-7, 所以當(dāng)

8、m4且 m-7時,復(fù)數(shù) z是虛數(shù). (2)要使復(fù)數(shù) z是純虛數(shù),必須使2-3m-4=0,2+ 3m-280,解得 m=-1, 所以當(dāng) m=-1 時,復(fù)數(shù) z 是純虛數(shù). 11.b 由 i2=-1,得 xi-i2=1+xi,則由題意,得 1+xi=y+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得x=2,y=1,故 x+yi=2+i. 12. a 由 z1=z2,得2-3m-1=-3,2-m-6=-4,解得 = 2, = 2. 所以 m+n=4或 0,故選 a. 13. 答案 14;1 10 / 12 解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知-1=-3, = 1,所以 =14, = 1. 14.答案 3 解析 因?yàn)?x

9、r,所以2-x-6+1r,由復(fù)數(shù)相等的充要條件,得2-x-6+1= 0,2-2x-3=0,解得 x=3. 15. 解析 由題意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(ar), 所以2-3a-1=3,2-5a-6=0,解得 a=-1. 所以實(shí)數(shù) a的值為-1. 深度剖析 復(fù)數(shù)相等的充要條件為我們提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來解決的途徑. 能力提升練 1.b 由歐拉公式得e3i=cos 3+isin 3=12+32i,其虛部為32,故選 b. 2.bc 復(fù)數(shù) m+ni中,未指明 m,n 是實(shí)數(shù),故 a錯誤;1+i2=1-1=0,是實(shí)數(shù),所以 b 正確;若(a2-1)+(a2+3a+2)i(

10、ar)是純虛數(shù),則 a2-1=0且 a2+3a+20,解得 a=1,所以 c正確;若 z=i,則 z2=-11, 所以log2(2-3x-2)1,log2(2+ 2x + 1) = 0, 即2-3x-2 2,2+ 2x + 1 = 1,解得 x=-2. 7.解析 (1)當(dāng) x滿足2-2x-15=0, + 3 0,即 x=5時,z是實(shí)數(shù). (2)當(dāng) x滿足2-2x-150, + 3 0,即 x-3 且 x5時,z是虛數(shù). (3)當(dāng) x滿足2-x-6+3= 0,2-2x-150,即 x=-2 或 x=3時,z是純虛數(shù). 8.d 由復(fù)數(shù)相等的充要條件,知 sin =cos , 解得 =k+4(kz)

11、. 9.bd 取 x=i,y=-i,則 x+yi=1+i,但不滿足 x=y=1,故 a錯誤;ar,a2+10 恒成立,所以(a2+1)i(ar)是純虛數(shù),故 b 正確;取 z1=i,z2=1,則12+22=0,但 z1=z2=0不成立,故 c 錯誤;當(dāng) m=4時,復(fù)數(shù) lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=lg 1+42i=42i,是純虛數(shù),故 d正確.故選 bd. 10.答案 2 解析 由題意知,x,y 都是實(shí)數(shù),由 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0,得2-2x-3=0,92-6y + 1 = 0,解得 = 3, =13或 = 1, =13.所以有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示的點(diǎn)有(3,13),(-1,13),共 2 個. 11.答案 -1,2 解析 由| |=ad-bc,得|3 + 2 i -1|=3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因?yàn)?x,y 為實(shí)數(shù),所以 + = 3 + 2, + 3 = , 12 / 12 即2 + = 0, + 3 = ,解得 = 1, = 2. 12.解析 設(shè)(x0,y0)是方程組的實(shí)數(shù)解, 由已知及復(fù)數(shù)相等的充要條件,得 0+32= 0,2(0+ 1) = 40,20+ a0= 9,-(40-0+ b)=-8, 由,得0=52,0= 4,代入,得