奧數(shù)知識系統(tǒng)總結(jié)及講解演示教學

1、精品文檔前言小學奧數(shù)知識點梳理，對于學而思的小學奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對于知識點的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象， 為此，本人參考了單尊主編的 小學數(shù)學奧林匹克 、中國少年報社主編的 華杯賽教材、華杯賽集訓指南以及學而思的寒假班系列教材和華羅庚學校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補充相應雜題） ，原則上簡明扼要，努力刻畫小學奧數(shù)知識的主樹干。概述一、 計算1 四則混合運算繁分數(shù)運算順序分數(shù)、小數(shù)混合運算技巧一般而言：加減運算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運算中，統(tǒng)一以分數(shù)形式。帶分數(shù)與假分數(shù)的互化繁分數(shù)的化簡2

2、簡便計算湊整思想基準數(shù)思想裂項與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運算順序運算定律的綜合運用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級運算移項的性質(zhì)增減括號的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如： a1ba2b.anb(a1a2.an )b3 估算求某式的整數(shù)部分：擴縮法4 比較大小通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比 利用倒數(shù)性質(zhì)若 111，則 c>b>a. 。形如：m1m2m3 ，則n1n2n3 。abcn1n2n3m1m2m35 定義新運算精品文檔精品文檔6 特殊數(shù)列求和運用相關(guān)公式： 1 23nn n12n n 1 2n 1 1222n 26 an n1n2nn 1323n31 2n 2n2 n 1 24

3、 abcabcabc1001 abc7 1113 a 2b 2ab ab 1+2+3+4 （ n-1 ） +n+（n-1 ）+ 4+3+2+1=n 2二、 數(shù)論1 奇偶性問題奇奇 =偶奇×奇 =奇奇偶 =奇奇×偶 =偶偶偶 =偶偶×偶 =偶2 位值原則形如： abc =100a+10b+c3 數(shù)的整除特征：整除數(shù)特征2 末尾是 0、 2、4、6、 83 各數(shù)位上數(shù)字的和是 3 的倍數(shù)5 末尾是 0或59 各數(shù)位上數(shù)字的和是 9 的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11 的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或 25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或 12

4、5）的倍數(shù)7、 11、 13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或 11 或 13）的倍數(shù)4 整除性質(zhì)如果 c|a 、 c|b ，那么 c|(ab) 。如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。如果 b|a ， c|a ，且（ b,c ）=1, 那么 bc|a 。如果 c|b,b|a,那么 c|a.a 個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a 整除。5 帶余除法精品文檔精品文檔一般地，如果a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ b 0）, 那么一定有另外兩個整數(shù)q 和 r ，0 r b, 使得 a=b×q+r當 r=0 時，我們稱 a 能被 b 整除。當 r 0 時，我們稱 a 不能被 b 整除， r 為

5、a 除以 b 的余數(shù)， q 為 a 除以 b 的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=qr, 0r b a=b ×q+r6. 唯一分解定理任何一個大于 1的自然數(shù) n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 a 1 × p2 a 2 ×. ×pk ak7. 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù) n的質(zhì)因子分解式如n= p1 a 1 × p2 a 2 ×. ×pk ak 那么：n的約數(shù)個數(shù)： d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P12 +p1 a 1 ）（ 1+P2+P2

6、2 +p2 a 2 ） （ 1+Pk+Pk2 +pk ak ）8.同余定理同余定義：若兩個整數(shù)a，b 被自然數(shù) m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b 對于模 m同余，用式子表示為 a b(mod m)若兩個數(shù)a， b 除以同一個數(shù)c 得到的余數(shù)相同，則a， b 的差一定能被c 整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差：A 2 -B 2 =（ A+B）（ A-B），其中我們還得注意A+B， A-B 同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。約數(shù)個數(shù)為 3

7、的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計三、 幾何圖形1 平面圖形多邊形的內(nèi)角和N 邊形的內(nèi)角和 =(N-2) × 180°等積變形（位移、割補） 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共部分的傳遞性 極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系精品文檔精品文檔S1S2 =a b ；S1 S2=S4S3 或者 S1×S3=S2× S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例）abch22BC; S1 S2 =a AAH S1

8、S3 S2 S4= a 2 b2 ab ab ;S=（a+b）2燕尾定理AFDGBECSABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變原理知 5-2=3 ，則圓點比方點多 3。隱含條件的等價代換例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補后去正反結(jié)合精品文檔精品文檔2 立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形水中浸放物體：V 升水 =V 物測啤酒瓶容積：V=V空氣 +V 水三視圖與展開圖最短線路與展開圖形狀問題染色問題幾面染色的塊數(shù)與“芯

9、” 、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。四、 典型應用題1 植樹問題開放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2 方陣問題外層邊長數(shù) -2= 內(nèi)層邊長數(shù)（外層邊長數(shù) -1 ）× 4=外周長數(shù)22外層邊長數(shù)- 中空邊長數(shù)=實面積數(shù)車長 +橋長 =速度×時間車長 甲 +車長 乙 =速度和×相遇時間車長 甲 +車長 乙 =速度差×追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題車長 =速度和×相遇時間車長 =速度差×追及時間4 年齡問題差不變原理5 雞兔同籠假設(shè)法的解題思想6 牛吃草問題原有草量 =（牛吃速度 - 草長速度）×時間7 平均數(shù)問

10、題8 盈虧問題分析差量關(guān)系9 和差問題10和倍問題11差倍問題12逆推問題還原法，從結(jié)果入手精品文檔精品文檔13代換問題列表消元法等價條件代換五、 行程問題1 相遇問題路程和 =速度和×相遇時間2 追及問題路程差 =速度差×追及時間3 流水行船順水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速船速 =（順水速度 +逆水速度）÷ 2水速 =（順水速度 - 逆水速度）÷ 24 多次相遇線型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)× 2-1環(huán)型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個全程所行路程×共行全程數(shù)5 環(huán)形跑道6 行程問題中正反

11、比例關(guān)系的應用路程一定，速度和時間成反比。速度一定，路程和時間成正比。時間一定，路程和速度成正比。7 鐘面上的追及問題。時針和分針成直線；時針和分針成直角。8 結(jié)合分數(shù)、工程、和差問題的一些類型。9 行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、 計數(shù)問題1 加法原理：分類枚舉2 乘法原理：排列組合3 容斥原理：總數(shù)量 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量 =A+B-AB4 抽屜原理：至多至少問題5 握手問題在圖形計數(shù)中應用廣泛角、線段、三角形，長方形、梯形、平行四邊形正方形精品文檔精品文檔七、 分數(shù)問題1 量率對應2 以不變量為“ 1”3 利潤問題4 濃度問題倒

12、三角原理例：5 工程問題合作問題水池進出水問題6 按比例分配八、 方程解題1 等量關(guān)系相關(guān)聯(lián)量的表示法例：甲 +乙=100甲÷乙 =3x100-x3x x解方程技巧恒等變形2 二元一次方程組的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4 不等方程的分析求解九、 找規(guī)律周期性問題年月日、星期幾問題余數(shù)的應用數(shù)列問題等差數(shù)列通項公式an =a1+(n-1)d求項數(shù)：n=ana11d精品文檔精品文檔求和：S=等比數(shù)列(a1an ) n2n求和：S=a1(q 1)裴波那契數(shù)列策略問題搶報 30放硬幣最值問題最短線路a. 一個字符陣組的分線讀法b. 在格子路線上的最短走法數(shù)

13、最優(yōu)化問題a. 統(tǒng)籌方法 b. 烙餅問題十、 算式謎1 填充型2 替代型3 填運算符號4 橫式變豎式5 結(jié)合數(shù)論知識點十一、數(shù)陣問題1 相等和值問題2 數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)3 幻方奇階幻方問題：楊輝法羅伯法偶階幻方問題：雙偶階：對稱交換法單偶階：同心方陣法十二、二進制1 二進制計數(shù)法二進制位值原則二進制數(shù)與十進制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化精品文檔精品文檔二進制的運算2 其它進制（十六進制）十三、一筆畫1 一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有0 個或兩個奇點；兩個奇點進必須從一個奇點進，另一個奇點出；2 哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈3 多筆畫定理奇點數(shù)筆畫數(shù) =2十四、邏輯推理1 等價條件的轉(zhuǎn)換2 列表法3 對陣圖競賽問題，涉及體育比賽常識十五、火柴棒問題1 移動火柴棒改變圖形個數(shù)2 移動火柴棒改