北師大版高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修第一冊：3.1《指數(shù)冪的拓展》學(xué)案

1、1 / 4 指數(shù)冪的拓展指數(shù)冪的拓展 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握有理數(shù)指數(shù)冪的含義和運(yùn)算；掌握根式運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系；正確進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算；理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的含義。 【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】 （1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義和運(yùn)算； （2）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算； （3）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化。 【學(xué)習(xí)過程】【學(xué)習(xí)過程】 一、知識引入 在初中，學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及性質(zhì) = 個(gè)， 0= 1， =1 = +， ()= ， ( )= 。 思考討論： （1）薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴(yán)重的雜草之一，它侵害田地的面積(單位 hm2)與年數(shù)（年）的關(guān)系式為： = 0 1.057。 其中0

2、為侵害面積的初始值 如果求 10 年后侵害的面積，則 = 0 1.05710；如果求 15.5 年后侵害的面積，就需要計(jì)算 = 0 1.05715.5，這個(gè)指數(shù)運(yùn)算與初中所學(xué)的指數(shù)運(yùn)算有什么差異呢？ 2 / 4 （2）對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，該如何運(yùn)算呢？如312=？。 二、新知探究 1、給定正數(shù)和正整數(shù)，( 1，且，互素)，若存在唯一的正數(shù)，使得=，則稱為的次冪。 記作 = ，這就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。 例如：5= 2，則 = 215；6= 513，則 = 。 注意： 當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪滿足：= 與312= 3類似，當(dāng)?shù)讛?shù) 0時(shí)，= ，其中讀作“次根號下”，也叫根式運(yùn)算。 例如：8

3、12= 8 = 22，2723= 2723= 9； 根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的條件是：底數(shù) 0. 雖然273= 3，但不能寫成(27)13= 3 例例 1把下列各式中的正數(shù)寫成正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式： （1）5= 20； （2）4= 25； （3）= 3(， +)； （4）3= 9(， +)。 2、類似負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，給定 0，正整數(shù)，( 1，且，互素)，定義 =1=1。 指數(shù)運(yùn)算的指數(shù)已經(jīng)擴(kuò)充到有理數(shù)了。 那么，指數(shù)是無理數(shù)的情況呢？以102為例說明如下 因?yàn)? = 1414213，所以 14 141 1414 2 1415 142 15 上式2左邊的數(shù)稱為2的不足近似值，右邊的數(shù)稱為2的過剩近似值 3 / 4 101.4 101.41 101.414 102 101.415 101.42 1，且，互素)，若存在唯一的正數(shù)，使得=，則稱為的次冪。 記作 = ，這就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。 2、類似負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，給定 0，正整數(shù)，( 1，且，互素)，定義 =1=1。 【精煉反饋】【精煉反饋】 1思考辨析 4 / 4 （1）223表示23個(gè) 2相乘。( ) （2）amn