專題八-三角恒等變換及輔助角公式

1、恐八-三角恒等變換及輔助角銳樂思教育Really Simple專題八三角恒等變換及輔助角公式一、基本內(nèi)容串講1 .兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：sin(a±/7) = sinfzcos/7±costzsin p ;cos(a ± ft) = cos a cos p+sin a sin p ;/ t tan ± tan Z7 tan(a ±P) =1 + tan a tan p對其變形：tana+tanB=tan(a + B) (1- tana tanB),有時應(yīng)用該公式比較方便。2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2a =

2、sin a cos a.cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a -1 = 1 - 2 sin?。.-2 tan atan 2a =；-.1 Taira要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系(升角一降次，降角一升次).特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形，COS2a =1號2a.sin2a =匚產(chǎn) 這兩個形式常22用。3 .輔助角公式：對于般形式sina + /?cosa(“、6不全為零)，如何將表達式化簡為只含有正弦的三角比形式？./ 1. f, ub、asina + bcosa = yja + b" ( ,sin a + cos a)4a? +.2

3、JT=+/Jsin(a + 0)fa aCOS /?=，、其中輔助角耳曲6干確定，即輔助角(通常。然，) sin B = . , y/a2 +Z?2的終邊經(jīng)過點(我們稱上述公式為輔助角公式，其中角耳為輔助角。4 .簡單的三角恒等變換(1)變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。銳樂思教育Really Simple銳樂思教育Really Simple（2）變換目標(biāo)：利用公式簡化三角函數(shù)式，達到化簡、計算或證明的目的。（3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計變換途徑。5 .常見題目類型及解題技巧（

4、最后師生共同總結(jié)）二、考點闡述考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、sin 20,cos400 + cos 200 sin 400 的值等于（）42、若tana = 3, tan/?=,則tan（a-/?）等于（）3考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos工cos紅的值等于（）554、已知工，且cos/= 3,那么sin2Z等于（）25考點3運用相關(guān)公式進行簡單的三角恒等變換5、已知匕11（0 + /7） = 2.11（/-工）=,則111（0 + 乂）的值等于（ ）54442211596、已知sina + sin/7 = 5，cosa + cos/ = §,則cos（。-

5、/?）值等于（）7、函數(shù)/（x） = cos2（x - j1） + sin2（x + *） l 是（C ）（A）周期為2%的奇函數(shù)（B）周期為2乃的偶函數(shù)（C）周期為兀的奇函數(shù)（D）周期為江的偶函數(shù)三、解題方法分析1,熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點【方法點撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名 稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理 解、記熟、用活。解決問題時究竟使用哪個公式，要 抓住問題的實質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運用。sin 502 cos 25：則有(a<c<b )例 1 設(shè) a = ! cos 6。一避 sin 6，力=一?理,22l + tair13&#

6、176;【點評】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如：.1 . -sin2a). )、 2tana -sm a cos a = sin 2a , cos a =, cos* a-sirr a = cos2a , - = tan 2a ,22sina1-tarral±2sinacosa = (sin 6z ±cosor)2 ,1 + cos2a = 2cos2 a ,1 -cos2a = 2sin2 a ,1 + cos2a. 、1 -cos2a.°/0、八0、cos* a =, sin- a =, tan a 十tan P =tan( a +

7、 p )tan a tan P )22等。另外，三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進輔助角，將它化為+b。sin(x +。)艮|J asinx+bcosx= 7a2 +b2 sin(x + 0)(其中 tan° = 2)是常用轉(zhuǎn)化手段。 a特別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx, ±sinx± V3 cosx,要熟練掌握其變形結(jié)論。2 .明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口 (1)運用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實現(xiàn)三角恒等變換、【方法點撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及 二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用 該思想能有效解決三

8、角函數(shù)式化簡、求值、證明中角、 名稱、形式的變換問題。例 2.己知印 cos(。-£)二存 sinSG=一|,求 sin2。的 «(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的 特點，2。= (a £) + (a + £)例 3.化簡：2sin50° +sinlO° (l+x/3 tanlO0 ) Jsin? 80。.【點評】：本題屬于“理解”層次,解題的關(guān)鍵在于5銳樂思教育Really Simple靈活運用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的 三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡.化簡時要求使三角函數(shù)式 成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡

9、量底， 分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù), 能求值的盡量求出值來。(2)運用函數(shù)方程思想，實現(xiàn)三角恒等變換【方法點撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的 實質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時在三角恒等變換中, 可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式 列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。例 4：已知 sin (。+ £) =-, sin (。一£)=-,求屋、)二"no 二的值。34tan" /7' tan(<z + /7)tan2/?tan(a + /7)tan2 cr - tan(a + /7)tail/?tan(cr + 夕)- t

10、an a tan 夕 _ tan(<z + /?)-tan(6z + /)(1 - tan a tan /) tana _【點評】：本題屬于“理解”層次，考查學(xué)生對所學(xué)過的內(nèi)容能進行理性分析，善于利用題 中的條件運用方程思想達到求值的目的。(3)運用換元思想，實現(xiàn)三角恒等變換【方法點撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系, 把某個式子用新元表示，實行變量替換，從而順利求解,解題時要特別注意新元的范圍。6銳樂思教育Really Simple例5：若sin a +ski/=上,求cosa+ cos/7的取值范圍。 2【解析】：令 cos a + cos /3

11、= t,則(sin a + sin /7)2 + (cos a + cos /3)2 =r + , 2即 2 + 2cos(<z_夕)=b + g = 2cos(a-/7) = r2八)3八1,7x/14V14 ttrt 714- 亞：.-2<r-<2,=>一一<r<r<-, Bp-<cosa + cos6<-2222222【點評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子32 + 3月看作一個整體，通過代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3 .關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識聯(lián)系上尋找結(jié)合點【方法點撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛

12、，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何 等知識的聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識間的聯(lián)系與整合。例 6：已知：向量” =(",一1) , S = (sin2x, cos2x),函數(shù)=(1)若/(x) = 0且0<xv乃，求x的值；工=或與1212(2)求函數(shù)/(x)取得最大值時，向量"與B的夾角.【點評】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考查應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識 的分析和計算能力.四、課堂練習(xí)1 sinl65 - () A« B. C. D« 22449銳樂思教育Really Simple132 . sinl40cosl

13、60+sin760cos74° 的值是（） A.D.- 2IT473 .已知xe （一一,0）, cosx = ",則 tan2x= （） A. 25244 .化簡 2sin （ - -x） sin （其結(jié)果是（44A. sin2x B . cos2x C . cos2x5 . sin cos上 的值是（）1212A. 0 B. V2 C.、歷 D. 2 sin-12_1 - tan2 75°4/、6 .的值為（）A. 273 B. C. -2V3 D.- 337 .若cos = g, sinj = q,則角6的終邊一定落在直線（）上。A. 7x+24y = 0B. 7x-24y = 0 C. 24.v+7y = 0 D. 24.r-7y = 08 . cosQ + /7）cos p + siii（z + /7）sin p =.2B.724B- ID. sin2x2D.-24T-1 - tan 15c9.1 + tanl5c10 . tan 20 + tan40 + 百tan 20 tan40 的值是.11 .求證：一）S ° =lsin2 .12.已知 tan2a 求 tanc 的值."一 m "4313 .已知0 vx v2,sin（2一x） = *,求一的值。4413 尸