隨機(jī)過程關(guān)于平穩(wěn)過程中的各態(tài)歷經(jīng)性的綜述

1、首先要介紹一下什么是平穩(wěn)過程，平穩(wěn)過程是一類統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間推移而 變化的過程。在實(shí)際中，有相當(dāng)多的隨機(jī)過程，不僅它現(xiàn)在的狀態(tài)，而且它過去 的狀態(tài)，都對(duì)未來狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響。有這樣重要的一類隨機(jī)過程，即 所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的特點(diǎn)是：過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。嚴(yán)格 地說，如果對(duì)于任意的n (二1, 2), rpr2,-, g t和任意實(shí)數(shù)h,當(dāng)/ +/22 +力,/“ +艇0時(shí),n維隨機(jī)變量(x(/,),x(r2),-,x(rn)和(x (/,+/?) ,x (r2+/7),，x (/”+/?)具有相同的分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過程x(t),twt具有平穩(wěn)性，并同時(shí)稱 此過程為平穩(wěn)

2、隨機(jī)過程，或簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程。在實(shí)際工作中，確定隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是很重要的。而要確定 隨機(jī)過程的數(shù)字特征一般來說需要知道過程的一、二維分布，這在實(shí)際問題中往 往不易辦到，因?yàn)檫@時(shí)要求對(duì)一個(gè)過程進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，以便得到很多的樣 本函數(shù)。但是由于平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，就會(huì)提出這樣一個(gè)問 題：能否從一個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)觀察到的樣木函數(shù)或一個(gè)樣木函數(shù)在某些時(shí)刻的取值 來提取過程的數(shù)字特征呢？所謂各態(tài)歷經(jīng)，是指可以從過程的一個(gè)樣本函數(shù)中獲 得它的各種統(tǒng)計(jì)特性；具有這一特性的隨機(jī)過程稱為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過 程，只要有一個(gè)樣本函數(shù)就可以表示出它的數(shù)字特征。定義設(shè)x (t)是均方連

3、續(xù)平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果它沿整個(gè)時(shí)間上的平均值即 時(shí)間平均值x (t)存在，即x (t)二lim丄 r xdt存在，而且x (t)=e x (t)二"x依概率1和等。即x (t)依概率 1等于心二e x (t) , “x代表隨機(jī)過程的集平均(或稱統(tǒng)計(jì)平均)，則稱該過 程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義設(shè)x (t)是一均方連續(xù)平穩(wěn)隨機(jī)過程，且對(duì)于i古i定的廠，x(/+刃x(d也是連續(xù)平穩(wěn)隨機(jī)過程，x(f+t)x(f)代表x(r+r)x(r)沿整個(gè)時(shí)間軸的平均 值,即若x(r+刃x(r)存在,稱x(r+刃x(f)為x (r )的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。又x(r+/)x(r)de x(r+r)x(r) =/?

4、x(r)則稱該過程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義如果x (t)是一均方連續(xù)的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且其均值和自相關(guān)函數(shù)均 具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該過程x (t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性的，或者說x (t)是各 態(tài)歷經(jīng)的，或是遍歷的。例一有隨機(jī)相位正弦波過程x (1)二acos伽+ &),其中a,是常數(shù)，0為 0,2口內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試計(jì)算它的時(shí)間平均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)；問該 過程是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？解 x (t) =lim丄acos(血+ &)dftt8 27* j-卩a sin 697 cos&liml>2aftcos(0f + 初 + &) cos(妙 + 0)d

5、t 嚴(yán)a?=lim cos(2血 + 砂 + 2 0)+ cos cor dt "8 2t 22cos cot<x (t)> =e x (t) = <x (t)>因?yàn)閤 (t)的集平均值和集相關(guān)函數(shù)分別為 <x (t) =e x (t) =0rx( r)=/42=cos cot2故心(刃二 <x(r+r)x(r)>因此隨機(jī)相位正弦波過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。例二 設(shè) x(t)=x, -oo<t<+oo,其中 x 具有概率分布 p (x=i) =1/3, i=l, 2, 3,試討論x(t), <t<+-的各態(tài)歷經(jīng)性。解由于mx

6、(t) = ex(t) = ex = 2rx (r, r + r) = x(?)x (r + r) = ex2 = 14因此(x(t),-oo<t<+oo 是平穩(wěn)過程，時(shí)間平均x(f) = l i. m丄xdf = l i. mxdt = x'/tt+8 2ttt+8 2t時(shí)間相關(guān)函數(shù)顧x(t + 選=1, i(. in丄 j：頑x(r + r)dt = 1 i. ill 丄 j： x2力=x214由于p (x=2)二1和p(x2= )=1不成立，故，x(t), -8t+s的均值和 3相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。為了對(duì)平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性有充分的認(rèn)識(shí)和了解，我們引入以下兒個(gè)定

7、理 進(jìn)一步說明一個(gè)平穩(wěn)過程該滿足怎樣的條件才是各態(tài)歷經(jīng)的。定理的證明過程不 做解答。定理一(均值各態(tài)歷經(jīng)定理)平穩(wěn)過程x (t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充 要條件是舸律 f(l-壽)= 0定理二(自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理)平穩(wěn)過程x (t)的自相關(guān)函數(shù)心(c具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是0,(1)m 7 (1_ 守)旳)-用(刃"其中 b(g=exa)xa+q)xa+£)xa+f+g。在(1)式中令&二o,就可以得到均方值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件。在實(shí)際應(yīng)用過程中通常只考慮定義在owtw+s上的平穩(wěn)過程。此時(shí)上面的 所有時(shí)間平均都應(yīng)以0wtw+8上的時(shí)間平均來代替。而相應(yīng)的

8、各態(tài)歷經(jīng)定理可 表示為下述形式：定理三丿竺 £j；x(m = ex(/) =心(2)以概率1成立的充要條件是丿竺#(1-卡)心(刃-"；必=0定理四lim 丄x x (f + t)cit 二 e x (f)x (f + 刃二 rx (r)7t jo以概率1成立的充要條件是7映*jo(1-¥)(可)一底(刃切=0(3)各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價(jià)值在于它從理論上給岀了如下保證：一個(gè)平穩(wěn)過程x (t),若0<t<+-,只要它滿足條件(2)式和(3)式，便可以根據(jù)“以概率1 成立”的含義，從一次實(shí)驗(yàn)所得到的要本函數(shù)x(t)來確定出該過程的均值和自 相關(guān)函數(shù)，即1 r

9、t陀討腫力二“x和lim xt）x（t+t）dt = rx（t）tt jo值得注意的是：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨 機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，-般均能 滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程x（t）,如果它的數(shù)字特征與某一樣本x（t）的相對(duì)應(yīng)的時(shí)間 平均值之間有下列關(guān)系：e x -e x （） =（兀 c）-兀2）rx （?。?兀（r）兀（r+0那么，我們稱平穩(wěn)隨機(jī)過程x（t）具有各態(tài)歷經(jīng)性。（上面的分析雖然對(duì)平穩(wěn) 隨機(jī)過程的某一特定樣本而言的，但是，只要平穩(wěn)隨機(jī)過程的所有樣本都具有相 同的性質(zhì)，那么這些分析就與樣本的選擇無關(guān)了。）平穩(wěn)隨

10、機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為平穩(wěn)過程的各個(gè)樣本都同樣地歷經(jīng) 了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)。由于任一樣本都蘊(yùn)含著平穩(wěn)過程的全部統(tǒng)計(jì)特性的 信息，因而任一樣木的時(shí)間特征就可以充分地代表整個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特 性。這就是（4）式的實(shí)質(zhì)。如果一個(gè)平穩(wěn)過程是具有各態(tài)歷經(jīng)性的，我們就可以通過過程的一個(gè)樣本很 容易地求得平穩(wěn)過程的各數(shù)字特征量，這是很有實(shí)際意義的結(jié)論。由此，我們也 看到了平穩(wěn)隨機(jī)過程的物理意義（假定平穩(wěn)過程是一噪聲電壓）：m = £%（/）=兀是直流分量。（均值）心（0） =#（/»是總平均功率。夕=（代）_4）是交流平均功率。（方差）從上面的討論中可以看到，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)隨