2020屆河南省名校聯(lián)盟高三下學期6月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題

1、1 / 25 20202020 屆河南省名校聯(lián)盟高三下學期屆河南省名校聯(lián)盟高三下學期 6 6 月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題月聯(lián)考數(shù)學（理科）試題 一、選擇題：本題有一、選擇題：本題有 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分分.在每小題給出的四個選項中，只有一個在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的是符合題目要求的. 1. 已知集合101xaxx=+，()()230bxxx=+z，則ab =（ ） a. 0,1 b. 1,0,1 c. 0,1,2 d. 1,0,1,2 【答案】a 【解析】 【分析】 先解分式不等式101xx+得11axx= ，解不等式()()023xx

2、+得1,0,1,2b = ，再求集合交集即可 【詳解】解：解分式不等式101xx+得11x ，故10111xaxxxx= +， 解一元二次不等式()()023xx+得23x ，故1,0,1,2b = ， 所以0,1ab =. 故選：a. 【點睛】本題考查分式不等式，一元二次不等式的解法，集合的交集運算，是基礎(chǔ)題. 2. 已知在復(fù)數(shù)域內(nèi)一元 n次方程有 n 個根，i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)12iz = +為一元二次方程20 xaxb+=（a，br）的一個根，則此一元二次方程的另一個根在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（ ） a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限 【答案】c 【解析】 【

3、分析】 根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理和復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果. 【詳解】因為復(fù)數(shù)12i +為一元二次方程20 xaxb+=（a，br）的一個根， 所以根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理知此一元二次方程的另一個根為12i ，它在復(fù)平面內(nèi)所對2 / 25 應(yīng)的點( 1, 2) 在第三象限. 故選：c. 【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理，考查了的復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題. 3. 設(shè)曲線c是雙曲線，則“c的方程為22184yx=”是“c的漸近線方程為2yx= ”的（ ） a. 充分必要條件 b. 充分而不必要條件 c. 必要而不充分條件 d. 既不充分也不必要條件 【答案

4、】b 【解析】 分析】 根據(jù)c的方程為22184yx=，則漸近線為2yx= ；若漸近線方程為2yx= ，則雙曲線方程為222yx=（0）即可得答案. 【詳解】解：若c的方程為22184yx=，則2 2a =，2b =，漸近線方程為ayxb= ， 即為2yx= ，充分性成立； 若漸近線方程為2yx= ，則雙曲線方程為222yx=（0）， “c的方程為22184yx=”是“c的漸近線方程為2yx= ”的充分而不必要條件. 故選：b. 【點睛】本題通過圓錐曲線的方程主要考查充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件p和結(jié)論q分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試,pq q

5、p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理. 4. 正項等比數(shù)列 na中，225689264aa aa+=，且3a與7a的等差中項為 2，則1a =（ ） a. 325 b. 2 c. 25 d. 117 【答案】c 3 / 25 【解析】 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可得598aa+=，再由等差中項的性質(zhì)可得374aa+=，從而求出公比，求得首項1a； 【 詳 解 】 解 : 由 題 意 ， 在 正 項 等 比 數(shù) 列 na中 ， 由22568

6、9264aa aa+=， 可 得()2222256895599592264aa aaaa aaaa+=+=+=，即598aa+=.由3a與7a的等差中項為 2，得374aa+=.設(shè)公比為 q，則()223748qaaq+=，則2q =或2q = （舍去）， 所以26114aaqq+=，解得125a =. 故選:c. 【點睛】本題考查等比數(shù)列下標和性質(zhì)的應(yīng)用，以及等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題. 5. 若()3,am=（mr），()6,4b = ，且ab（r），則() ()3abab+=（ ） a. 0 b. 5 c. 12 d. 13 【答案】d 【解析】 【分析】 根據(jù)向量

7、平行的坐標表示可得2m = ，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示可得結(jié)果. 【詳解】ab=，所以3 4( 6)0m =，解得2m = ， ()3, 2a=，()6,4b = ，()3,2ab+= ，()33, 2ab+=， () ()()39413abab+= + = . 故選：d. 【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，考查了平面向量數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題. 6. 2019年 12 月，國家統(tǒng)計局發(fā)布社會消費品零售總額 111月相關(guān)數(shù)據(jù)，如下圖所示，下面分析正確的是（ ） 4 / 25 2019年 11月份社會消費品零售總額主要數(shù)據(jù) 指標 11月 111 絕對量（億元） 同比增長（%） 絕

8、對量（億元） 同比增長（%） 社會消費品零售總額 38094 8.0 372872 8.0 其中：除汽車以外的消費品零售額 34629 9.1 337951 9.0 其中：限額以上單位消費品零售額 13965 4.4 132639 3.9 其中：實物商品往上零售額 76032 19.7 按經(jīng)營地分 城鎮(zhèn) 32345 7.9 318614 7.9 鄉(xiāng)村 5748 9.1 54259 9.0 a. 2019年 111月中，6月是社會消費品零售總額最高的月份 b. 2019年 11月，社會消費品總額鄉(xiāng)村增長率高于城市增長率，所以鄉(xiāng)村對拉動社會消費品總額總增長率的作用大于城鎮(zhèn) c. 2019年前 3季

9、度中，第一季度平均同比增長率最高 5 / 25 d. 2019年 111月份，社會消費品零售總額 372872億元，其中汽車消費品零售總額 34921億元 【答案】d 【解析】 【分析】 對于 a，由圖表可知 6 月是社會消費品零售總額同比增長速度最高的月份，而不是社會消費品零售總額最高的月份，對于 b，11 月，鄉(xiāng)村社會消費品零售總額同比增長率比較高但是絕對量較少，從圖表看，對于c，11 月，鄉(xiāng)村社會消費品零售總額同比增長率比較高但是絕對量較少，對于 d 選項，從表中的數(shù)據(jù)計算可得答案. 【詳解】由圖知 2019年 111 月中，6月是社會消費品零售總額同比增長速度最高的月份，a 錯誤； 2

10、019年 11月，鄉(xiāng)村社會消費品零售總額同比增長率比較高但是絕對量較少，所以城鎮(zhèn)的影響更大，b錯誤； 第二季度平均同比增長率高于第一季度，c錯誤； 2019年 111月，汽車消費品零售總額37287233795134921=億元，d正確. 故選：d. 【點睛】此題考查了統(tǒng)計圖表識別和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 7. 設(shè)點 p 是函數(shù)( )( )( )201xfxefxf=+圖象上的任意一點，點 p處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（ ） a. 30,4 b. 30,24 c. 3,24 d. 30,24 【答案】b 【解析】 【分析】 在( )fx中令0 x =后可求( )01f =，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值

11、范圍可得tan的范圍，從而可得的取值范圍. 【詳解】( )( )( )2e01xf xfxf=+， ( )( )2e0 xfxf=，( )( )020ff=，( )01f =，( )( )2e1xf xxf =+，( )2e11xfx= . 6 / 25 點 p 是曲線上的任意一點，點 p處切線的傾斜角為，tan1 . )0,，30,24. 故選：b. 【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題. 8. 如圖，邊長為3的正方形abcd，射線bp從ba出發(fā)，繞著點 b順時針方向旋轉(zhuǎn)至bc，點 e為線段dc上的點，且1ce =，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，

12、bp與線段ec有交點的概率為（ ） a. 13 b. 12 c. 23 d. 14 【答案】a 【解析】 【分析】 首先求出cbe，再根據(jù)角度型幾何概型概率公式計算可得； 【詳解】解：13tan33cecbecb=，6cbe=，bp與線段ec有交點的概率為1632=. 故選：a. 【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 9. 已知函數(shù)( )()()cos 2,0,sin 2,0 xaxf xxbx+=+（a、br）的圖像關(guān)于 y 軸對稱，將函數(shù)( )()2cos 4g xxab=+的圖像向右平移6個單位長度，再把所有點的橫坐標伸長為原來的 2 倍，得到函數(shù)( )yh x=的圖像

13、，則下列關(guān)于函數(shù)( )yh x=的說法正確的是（ ） a. 最小正周期為4 b. 圖象關(guān)于直線3x=對稱 7 / 25 c. 圖象關(guān)于點,06對稱 d. 在,3 12上是減函數(shù) 【答案】c 【解析】 【分析】 由函數(shù)( )()()cos 2,0,sin 2,0 xaxf xxbx+=+（a、br）的圖像關(guān)于 y 軸對稱，可求出22abk+=+，從而得( )2cos 42g xx=+，則( )2cos 26h xx=，然后依次求解此函數(shù)的周期，對稱軸，對稱中心，單調(diào)區(qū)間，可得答案. 【詳解】因為函數(shù)( )()()cos 2,0sin 2,0 xaxf xxbx+=+的圖像關(guān)于 y 軸對稱，所以c

14、ossin22ab+=+，()()cossinab+=+，即sincosab=，cossinab=，因此22abk+=+（k z），所以( )()2cos 22cos 42g xxabx=+=+，從而( )2cos 26h xx=，其周期22t=，選項 a錯誤； 由26xk=（k z）得對稱軸方程為122kx=+（k z），選項 b錯誤； 對稱中心為,032k+（k z），1k = 時，對稱中心為,06，選項 c 正確； 由2226kxk+，得7,()1212kxkkz+ 所以單調(diào)遞減區(qū)間為12127,kk+（k z），選項 d 錯誤. 故選：c. 【點睛】此題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角

15、函數(shù)的圖像變換，屬于基礎(chǔ)題. 10. 已知函數(shù)( )()1ln ,1,1 e,1,xx xf xxx=函數(shù)( )( )()1eg xff x=零點的個數(shù)為（ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 【答案】b 【解析】 【分析】 8 / 25 令( )f xt=，討論t的取值范圍：當1t 時或當1t 時，可得( )1eef x =或( )0f x =，討論x的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求解. 【詳解】令( )f xt=，則( )()1ln ,11 e,1tt tf ttt=， （1）當1t 時，( )1ef t =，即1e1lneett= =，即( )1eef x

16、=. 當1x時，1elnex =有一個解. 當1x 時，( )1exfxx= ，(),0 x ，( )0fx； ()0,1x，( )0fx，且( )10ef=. 當1x 時，()111 eexx，而1e1ee，所以方程()111 eett+=無解. （2）當1t 時，( )1ef t =，由（1）知0t =，即( )0f x =. 當1x時，ln0 x =有一個解. 當1x 時，( )10ef x，所以( )0f x =無解. 綜上，函數(shù)( )g x有兩零點. 故選：b. 【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了計算求解能力，屬于中檔題. 11. 設(shè)數(shù)列 na滿足12a =，26a =

17、，312a =，數(shù)列 na前 n 項和為ns，且211131nnnnssss+=+（nn且2n ）.若 x表示不超過 x最大整數(shù)，()21nnnba+= ，數(shù)列 nb的前 n項和為nt，則2020t=（ ） a. 2019 b. 2020 c. 2021 d. 2022 【答案】c 【解析】 【分析】 9 / 25 根據(jù)遞推公式，可知1nnaa+從第 2 項起是等差數(shù)列，可得122nnaan+=+，再根據(jù)累加法，可得()1nan n=+，由此可得當2n 時，()211nnnba+=，又()2111 12ba+=，由此即可求出nt. 【詳解】當2n 時，211131nnnnssss+=+， 21

18、1131nnnnaaaa+=+， 2122nnnaaa+=， ()2112nnnnaaaa+=， 1nnaa+從第 2 項起是等差數(shù)列. 又12a =，26a =，312a =，() ()32212aaaa=， ()142122nnaann+=+=+， 當2n 時， () ()()112211nnnnnaaaaaaaa=+ ()()()12212 22212n nnnn n+=+ +=+， ()211nnnan+=（2n ）， 當2n 時，()2111nnnnban+=. 又()2111 12ba+=， 2222020122020232021220192021taaa=+=+=. 故選：c.

19、【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的概念，以及累加法在求通項公式中的應(yīng)用，屬于中檔題. 12. 已知正方體1111abcdabc d的外接球的表面積為27，1adb與11adc的重心分別為e，10 / 25 f，球o與該正方體的各條棱都相切，則球o被ef所在直線截的弦長為（ ） a. 172 b. 2 3 c. 3 2 d. 17 【答案】d 【解析】 【分析】 由題意可求得正方體棱長為 3，則球o的半徑23 2r =，以點d為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得111,( 1,0,1)222oeef= ，進而可得點o到直線ef的距離22|oe efdoeef=，根據(jù)公式可得弦長22

20、2 rd. 【詳解】設(shè)正方體的邊長為a，則234272a=，即正方體棱長為3a =，.球o的球心為正方體的中心，以點d為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz，則 a（3，0，0），13 0 3a （ ， ， ），b（3，3，0），()10 33c， ，d（0，0，0）， 3 3 3(2,1,1),(1,1,2),2 2 2efo 111,( 1,0,1)222oeef= ， 點o到直線ef的距離221|2|oe efdoeef=， 又球o的半徑為13 29922r =+=， 因此正方體外接球被ef所在直線截的弦長為22223 21221722rd=. 故選：d. 11 / 25 【點

21、睛】本題考查了正方體的幾何性質(zhì)，正方體和球的關(guān)系以及垂徑定理，考查空間想象能力和計算能力，屬于中檔題. 二、填空題：本題共二、填空題：本題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知()8223160123161xaa xa xa xa x=+，則45aa+=_. 【答案】28 【解析】 【分析】 先求出二項的通項公式()()82181rrrrtcx+=，由此通項可知展開式中x的次數(shù)均為偶數(shù)，所以50a =，當6r =時，x的次數(shù)為 4，從而可求出4a，進而可得結(jié)果. 【詳解】解：因為()821x的第1r +項為()()82181rrrrtcx+=（08r且r

22、n）， 所以5x不存在，所以50a =， 因為4x的系數(shù)為()668128c=，所以428a =， 所以4528aa+=. 故答案為：28 【點睛】此題考查二項式展開式的指定項的系數(shù)，熟記二項式展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 14. 已知點(),p x y在不等式組230yxyxya+表示的平面區(qū)域 d上運動，（1）若區(qū)域 d表示一個三角形，則 a的取值范圍是_；（2）若6a =，則2zxy= +的最小值是_. 12 / 25 【答案】 (1). ()3,+ (2). 5 【解析】 【分析】 要使不等式組2,30,yxyxya+表示的平面區(qū)域是一個三角形，結(jié)合圖形可知3a ；作出可

23、行域，根據(jù)圖形找到最優(yōu)解，可得答案. 【詳解】因為直線2yx=+與30yx=的交點為()1,3， 所以要使不等式組2,30,yxyxya+表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 a的取值范圍是3a . 當6a =時，作出可行域，如圖： 由圖可知，當直線2zxy= +經(jīng)過點(1,3)m時，z取得最小值5. 故答案為：()3,+；5. 【點睛】本題考查了利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題. 15. 已知拋物線 c：22xpy= ()0p 的焦點 f 與22184yx+=的一個焦點重合，過焦點 f 的直線與 c 交于 a，b 兩不同點，拋物線 c 在 a，b兩點處的切線相交于點 m，且 m的橫坐標

24、為 2，則弦長13 / 25 ab =_. 【答案】10 【解析】 【分析】 首先根據(jù)已知條件得到拋物線方程為28xy，設(shè)直線ab方程為2ykx=，()11,a x y，()22,b xy，利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 得 到 兩 條 切 線 分 別 為21148xxyx= +和22248xxyx= +， 聯(lián) 立 切 線 得 到122mxxx+=，從而得到124xx+=，聯(lián)立直線ab與拋物線，利用韋達定理即可得到12k = ，再求焦點弦長即可. 【詳解】由題意可得()0, 2f，則4p =，拋物線方程為28xy. 設(shè)直線ab方程為2ykx=，()11,a x y，()22,b xy， 其

25、中2118xy = ，2228xy = . 由28xy = 得4xy = ，所以在點a處的切線方程為()1114xyyxx= ， 化簡得21148xxyx= +， 同理可得在點 b處的切線方程為22248xxyx= +. 聯(lián)立得122mxxx+=，又m 的橫坐標為 2， 124xx+=. 將ab方程代入拋物線得28160 xkx+=，1284xxk+= =， 12k= ，()1212144462yyk xx+=+= = ， 1210abpyy=. 故答案為：10 【點睛】本題主要考查拋物線的焦點弦，同時考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題. 14 / 25 16. 函數(shù)( )2cossinfxxxx

26、x=+，當3,22x時，( )f xax恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_. 【答案】)0,+ 【解析】 【分析】 先根據(jù)2x=時22fa得0a ，再對函數(shù)( )fx求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、最值等，進而研究函數(shù)( )fx單調(diào)性，即可解決. 【詳解】解：22fa，02f=，0a. 由題意得( )()2sinsincos1sincos1fxxxxxxxx= + = +， 令( )sincos1g xxxx= +，則( )singxxx= . 當2，x時，( )0gx，( )g x單調(diào)遞減； 當3,2x時，( )0gx，( )g x單調(diào)遞增， ( )g x的最小值為( )1g= . 又22g= ，

27、302g=， 3,22x ，( )0g x ，即( )0fx， ( )f x在區(qū)間3,22為減函數(shù). 02f=，當3,22x時，( )0f x . 又當0a ，3,22x時，0ax ， 故( )f xax恒成立，因此 a的取值范圍是)0,+. 15 / 25 故答案為：)0,+ 【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分析與解決問題的能力，是中檔題. 三、解答題：共三、解答題：共 70 分分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第第 17-21 題為必考題，每題為必考題，每個試題考生都必須作答個試題考生都必須作答.第第 22、23 題為選考題

28、，考生根據(jù)要求作答題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 17. 在abc中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知()()()sinsinsinacacbcb+=. （1）求角 a的大??； （2）若2 cosabc=，試判斷abc的形狀并給出證明. 【答案】（1）3；（2）abc為等邊三角形，證明見解析. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得； （2）由正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式可得sincoscossin0bcbc=，即可得到bc=，從而得到三角形的形狀； 【詳解】解：（1）()()()sinsinsinacacbcb+=， 由正弦定理得()

29、()()acacbc b+=， 222122bcabc+=，根據(jù)余弦定理知1cos2a=. 又角 a為abc的內(nèi)角，3a=. （2）abc為等邊三角形 2 cosabc=，由正弦定理得sin2sincosabc=. 由三角形內(nèi)角和公式得()abc=+，故()sinsinabc=+， ()sin2sincosbcbc+=，整理得sincoscossin0bcbc=， ()sin0bc=，又(),bc ，bc=. 又由（1）知3a=，abc為等邊三角形. 【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 18. 2019 年，受非洲豬瘟影響，全國豬肉價格大幅上漲.10

30、月份全國居民消費指數(shù)（cpi）同比上漲3.8%，創(chuàng)七年新高，其中豬肉價格成為推動居民消費指數(shù)上漲的主要因素之一.某學習調(diào)查小組為研究某16 / 25 市居民對豬肉市場的信心程度，對當?shù)?200名居民在未來一段時間內(nèi)豬肉價格上漲幅度的心理預(yù)期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖： （1）求頻率分布直方圖中 a的值，并估算該市居民對豬肉價格上漲幅度的平均心理預(yù)期值； （2）將豬肉價格上漲幅度預(yù)期值在)10,30和)90,110的居民分別定義為對市場“信心十足型”和“信心不足型”，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中位于這兩個區(qū)間的居民中隨機抽取 6名，再從這 6人中隨機抽取 3名進行跟蹤調(diào)查

31、，記 x 表示這三人中“信心十足型”的人數(shù)，求 x 的分布列、數(shù)學期望與方差. 【答案】（1）0.015a =，預(yù)期值為55%；（2）分布列見解析，()2e x =，()0.4d x =. 【解析】 【分析】 （1）由頻率直方圖中的各矩形的面積和為 1，可求得 a，再由頻率直方圖求得對豬肉價格上漲幅度心理預(yù)期值的平均數(shù)，則由此可估計該市的居民對豬肉價格上漲幅度的平均心理預(yù)期值； （2）先由分層抽樣的定義分別求出在“信心十足型”居民中和在“信心不足型”居民中各抽取的人數(shù)，再得出隨機變量可能的取值，根據(jù)古典概率公式可求得其分布列，從而求得期望和方差. 【詳解】解：（1）由直方圖知()0.0050.

32、020.00750.0025201a+=，解得0.015a =. 設(shè)該市居民對豬肉價格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為x，則 ()0.005 200.015 400.02 600.0075 800.0025 1002055x =+=， 所以該市居民對豬肉價格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為55%. （2）由題意，樣本中，“信心十足型”型居民有0.005 2020020=人. “信心不足型”型居民有0.00252020010=人. 由分層抽樣的定義可知“信心十足型”居民抽取 4 人，“信心不足型”居民抽取 2人. 則 x 的可能取值為 1，2，3， 17 / 25 ()124236cc110.2c5p x=

33、， ()214236cc320.6c5p x=， ()304236cc130.2c5p x=， 故 x分布列為 x 1 2 3 p 0.2 0.6 0.2 ()1 0.22 0.63 0.22e x = + + =， ()()()()2221 20.2220.6320.20.4d x =+=. 【點睛】本題考查識別頻率直方圖，根據(jù)頻率直方圖估計總體的預(yù)期值，考查隨機變量的分布列的求法，以及隨機變量的期望和方差，屬于中檔題. 19. 如圖，在三棱錐pabc中，底面是正三角形，24abpa=，pa 底面abc，點 e，f分別為ac，pc的中點. （1）求證：平面bef 平面pac； （2）在線段p

34、b（不含端點）上是否存在點 g，使得平面efg與平面pbc所成銳二面角的正弦值為154？若存在，確定點 g的位置；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析. 18 / 25 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)pa 底面abc可得pabe，結(jié)合beac可證be 平面pac，從而可得平面bef 平面pac. （2）設(shè)bgbp=，以eb，ec，ef方向為 x，y，x 軸建立坐標系，求出平面efg的法向量與平面pbc的法向量的夾角的余弦值后得到關(guān)于的方程，求出后可得線段pb上不存在滿足條件的點g. 【詳解】證明：（1）abbc=，e為ac的中點，beac. 又pa 平面a

35、bc，be 平面abc，pabe. paaca=，pa，ac 平面pac，be平面pac，又be 平面bef，平面bef 平面pac. （2）如圖，由（1）知，pabe，paac，點 e，f 分別為ac，pc的中點， /ef pa，efbe，efac，又beac， eb，ec，ef兩兩垂直，以 e為原點，以eb，ec，ef方向為 x，y，x 軸建立坐標系， 則()0, 2,0a，()0, 2,2p，()2 3,0,0b， ()0,2,0c，()0,0,0e，()0,0,1f. 設(shè)()2 3 , 2 ,2bgbp= （()0,1）， ()()2 3 1, 2 ,2g， ()()()2 3 1,2

36、 1,2agabbg=+=， ()0,0,1ef =，()()2 3 1, 2 ,2eg=. 設(shè)平面efg的法向量為(), ,ma b c=， 19 / 25 則()0,0,2 3 1220,0,cm efabcm eg= += 令a=，則()3 1b=，()(), 3 1,0m=. ()2 3,2,0bc ，()0,4, 2pc =，設(shè)平面pbc的法向量(), ,nx y z=， 則0,2 320,0,420,n bcxyn pcyz =+= 令1x =，則3y =，2 3z =，()1, 3,2 3n=. 由已知151cos,1164m n =，()()223 11143 11 3 12+

37、=+ +， 因為()0,1，故線段pb上不存在點 g，使得直線ag與平面pbc所成的角的正弦值為154. 【點睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算. 20. 在平面直角坐標系xoy中，設(shè)橢圓22221xyab+=（0ab）的離心率是 e，定義直線eby = 為橢圓的“類準線”，已知橢圓 c的“類準線”方程為4 3y = ，長軸長為 8. （1）求橢圓

38、c 的標準方程； （2）o為坐標原點，a為橢圓 c的右頂點，直線 l交橢圓 c 于 e，f兩不同點（點 e，f 與點 a 不重合），且滿足aeaf，若點 p 滿足2opoeof=+，求直線ap的斜率的取值范圍. 【答案】（1）2211612xy+=；（2）1414,5656. 【解析】 【分析】 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得216a =，212b =，24c =，則橢圓方程可求； （2）分直線lx軸與直線 l 不垂直于 x軸兩種情況討論，當直線 l不垂直于 x 軸時，設(shè)()11,e x y，20 / 25 ()22,f xy，直線 l：ykxt=+（4tk ，0k ），聯(lián)

39、立直線方程與橢圓方程，消元由 ，得到2216120kt+，再列出韋達定理，由aeaf則0ae af=，解得47kt = ，再由2opoeof=+，求出p的坐標，則178apkkk=+，再利用基本不等式求出取值范圍； 【詳解】解：（1）由題意得：4 3ebabc=，28a =，又222abc=+， 聯(lián)立以上可得：216a =，212b =，24c =，橢圓 c 的方程為2211612xy+=. （2）由（1）得()4,0a，當直線lx軸時，又aeaf，聯(lián)立224,1,1612yxxy= +=得2732160 xx+=， 解得47x =或4x =，所以47efxx=，此時4,07p，直線ap的斜率

40、為 0. 當直線 l不垂直于 x軸時，設(shè)()11,e x y，()22,f xy，直線 l：ykxt=+（4tk ，0k ）， 聯(lián)立223448ykxtxy=+=，整理得()2223484480kxktxt+=， 依題意()()2 222644 344480k tkt =+，即2216120kt+（*）且122834ktxxk+= +，212244834tx xk=+. 又aeaf， () ()() () ()()121212124444ae afxxyyxxkxtkxt=+=+ ()()222212122732161(4)16034tktkkx xktxxtk+=+=+， 22732160t

41、ktk+=，即()()7440tktk+=，47kt = 且 t滿足（*）， ()121222862,3434kttopoeofxxyykk=+=+= +，2243,3434kttpkk+， 故直線ap的斜率2222331344716412874834apttkkkktkktkkkk+= =+， 21 / 25 當k0時，77788284 14kkkkkk+= + = ，當且僅當78kk=，即144k = 時取等號，此時14056apk； 當0k 時，7782 84 14kkkk+=，當且僅當78kk=，即144k =時取等號，此時14056apk； 綜上，直線ap的斜率的取值范圍為1414,

42、5656. 【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題. 21. 已知函數(shù)( )()21lnfxaxxbx=+（a、br）. （1）當1a =，4b = 時，求( )yf x=的單調(diào)區(qū)間； （2）當2b = ，1x時，求( )( )g xf x=的最小值. 【答案】（1）增區(qū)間3,2+，減區(qū)間為30,2；（2）( )min1,0,0,01,1,1.a ag xaaa=. 【解析】 【分析】 （1）求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于零，解得其增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零，解得其減區(qū)間； （2）由( )2lng xaxxx=，令( )2lnxaxxx=（1x），然后

43、利用導(dǎo)數(shù)討論( )x的單調(diào)性，最值，從而可求出( )g x的最小值. 【詳解】（1）當1a =，4b = 時，( )23lnfxxxx=（()0,x+）. ( )()()223132321xxxxfxxxxx+= =， 令( )0fx=得32x =，或1x = （舍去）. 當30,2x時，( )0fx，( )fx單調(diào)遞減， 22 / 25 當3,2x+時，( )0fx，( )fx單調(diào)遞增， ( )f x單調(diào)遞增區(qū)間為3,2+，單調(diào)遞減區(qū)間為30,2. （2）( )2lng xaxxx=. 設(shè)( )2lnxaxxx=（1x），( )121xaxx= ， 1）當0a 時，( )0 x，則( )x在

44、)1,+上單調(diào)遞減，且( )110a= ， ( )( )g xx= ，( )g x在)1,+上單調(diào)遞增， ( )( )min11g xga= . 2）當0a 時，( )221axxxx=， 設(shè)( )221t xaxx=，1 80a = +，( )0t x=有兩根1x，2x. 12102xxa+=，12102x xa= ，不妨令120 xx， 當()20,xx時，( )0t x ，即( )0 x，( )x在()20,x上單調(diào)遞減， 當()2,xx+時，( )0t x ，即( )0 x，( )x在()2,x +上單調(diào)遞增. 當( )1220ta=，即1a 時，21x ，( )x在)1,+上單調(diào)遞增. 又( )110a= ，( )( )g xx=， ( )( )( )minmin11g xxa=. 當( )10t，即01a時，21x，( )x在()21,x上單調(diào)遞減，在()2,x +上單調(diào)遞增. 又( )110a= ，( )()2222minlnxxaxxx=， 2242222lnln0aaaaaaa=， 存在)022,1,xxa+使得()20 x=， 23 / 25