2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(北京卷)文 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(文科)第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.(2014北京,文1)若集合a=0,1,2,4,b=1,2,3,則ab=().a.0,1,2,3,4b.0,4c.1,2d.3答案:c解析:因?yàn)榧蟖,b中的公共元素為1,2,所以ab=1,2,應(yīng)選c.2.(2014北京,文2)下列函數(shù)中,定義域是r且為增函數(shù)的是().a.y=e-xb.y=x3c.y=ln xd.y=|x|答案:b解析:a項(xiàng),函數(shù)y=e-x為r上的減函數(shù);b項(xiàng),函數(shù)y=x3為r上的增函數(shù);c項(xiàng),函

2、數(shù)y=ln x為(0,+)上的增函數(shù);d項(xiàng),函數(shù)y=|x|在(-,0)上為減函數(shù),在(0,+)上為增函數(shù).故只有b項(xiàng)符合題意,應(yīng)選b.3.(2014北京,文3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=().a.(5,7)b.(5,9)c.(3,7)d.(3,9)答案:a解析:因?yàn)?a=(4,8),b=(-1,1),所以2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故選a.4.(2014北京,文4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為().a.1b.3c.7d.15答案:c解析:開始時(shí)k=0,s=0.第一次循環(huán),k=0<3,s=0+20=1,k=0+1=1,第二次循環(huán),k=

3、1<3,s=1+21=3,k=1+1=2,第三次循環(huán),k=2<3,s=3+22=7,k=3.此時(shí)不滿足條件k<3,輸出結(jié)果s,即輸出7.故選c.5.(2014北京,文5)設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a>b”是“a2>b2”的().a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:d解析:當(dāng)a=0,b=-1時(shí),a>b成立,但a2=0,b2=1,a2>b2不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分條件.反之,當(dāng)a=-1,b=0時(shí),a2=1,b2=0,即a2>b2成立,但a>b不成立,所以“a>b

4、”是“a2>b2”的不必要條件.綜上,“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,應(yīng)選d.6.(2014北京,文6)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是().a.(0,1)b.(1,2)c.(2,4)d.(4,+)答案:c解析:由題意知f(1)=61-log21=6>0,f(2)=62-log22=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0.故f(2)·f(4)<0.由零點(diǎn)存在性定理可知,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間為(2,4).7.(2014北京,文7)已知圓c:(x-3)2+(y

5、-4)2=1和兩點(diǎn)a(-m,0),b(m,0)(m>0).若圓c上存在點(diǎn)p,使得apb=90°,則m的最大值為().a.7b.6c.5d.4答案:b解析:因?yàn)閍(-m,0),b(m,0)(m>0),所以使apb=90°的點(diǎn)p在以線段ab為直徑的圓上,該圓的圓心為o(0,0),半徑為m.而圓c的圓心為c(3,4),半徑為1.由題意知點(diǎn)p在圓c上,故兩圓有公共點(diǎn).所以兩圓的位置關(guān)系為外切、相交或內(nèi)切,故m-1|co|m+1,即m-15m+1,解得4m6.所以m的最大值為6.故選b.8.(2014北京,文8)加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食

6、用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),右圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為().a.3.50分鐘b.3.75分鐘c.4.00分鐘d.4.25分鐘答案:b解析:由題中圖象可知點(diǎn)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函數(shù)圖象上,因此有0.7=a×32+b×3+c,0.8=a×42+b×4+c,0.5=a×52+b×5+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.故p=-0.2t2+1.5t-2,其對稱軸方程為t=-1

7、.52×(-0.2)=154=3.75.所以當(dāng)t=3.75時(shí),p取得最大值.故選b.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2014北京,文9)若(x+i)i=-1+2i(xr),則x=. 答案:2解析:由已知得xi+i2=-1+2i,即xi=2i,解得x=2.10.(2014北京,文10)設(shè)雙曲線c的兩個(gè)焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0),則c的方程為. 答案:x2-y2=1解析:由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2,設(shè)其方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),又由頂點(diǎn)為(1,0)知a

8、=1,所以b=c2-a2=1.故所求雙曲線的方程為x2-y2=1.11.(2014北京,文11)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的棱長為. 答案:22解析:由題中三視圖可知,三棱錐的直觀圖如圖所示,其中pa平面abc,m為ac的中點(diǎn),且bmac.故該三棱錐的最長棱為pc.在rtpac中,pc=pa2+ac2=22+22=22.12.(2014北京,文12)在abc中,a=1,b=2,cos c=14,則c=;sin a=. 答案:2158解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=12+22-2×1×2×14=4,故c=2.

9、所以cos a=b2+c2-a22bc=22+22-122×2×2=78.故sin a=1-cos2a=1-782=158.13.(2014北京,文13)若x,y滿足y1,x-y-10,x+y-10,則z=3x+y的最小值為. 答案:1解析:如圖,作出不等式組表示的平面區(qū)域(陰影部分所示),目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可化為y=-3x+z,作出直線l0:y=-3x并平移.因?yàn)閗ab=-1>-3,所以當(dāng)直線過點(diǎn)a時(shí),z取得最小值.由x+y-1=0,y=1,解得a(0,1),所以z的最小值為z=3×0+1=1.14.(2014北京,文14)顧客請一位工藝師把a(bǔ)

10、,b兩件玉石原料各制成一件工藝品.工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù).每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作,兩件工藝品都完成后交付顧客.兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位:工作日)如下:工序時(shí)間原料粗加工精加工原料a915原料b621則最短交貨期為個(gè)工作日. 答案:42解析:最短交貨期為先由徒弟完成原料b的粗加工,共需6天,然后工藝師加工該件工藝品,需21天;徒弟可在這幾天中完成原料a的粗加工;最后由工藝師完成原料a的精加工,需15個(gè)工作日.故交貨期為6+21+15=42個(gè)工作日.三、解答題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15.(本小題滿分13分

11、)(2014北京,文15)已知an是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bn-an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.分析:(1)先由等差數(shù)列an中的a1,a4求出公差d,即可求其通項(xiàng)an,然后根據(jù)b1,b4的值及bn-an為等比數(shù)列,從而求出該數(shù)列的第1項(xiàng)和第4項(xiàng),得出其公比,從而寫出其通項(xiàng)公式,即可求得bn的通項(xiàng).(2)根據(jù)bn的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征即可利用分組求和的方法求得bn的前n項(xiàng)和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).

12、設(shè)等比數(shù)列bn-an的公比為q,由題意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為32n(n+1),數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和為1×1-2n1-2=2n-1.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為32n(n+1)+2n-1.16.(本小題滿分13分)(2014北京,文16)函數(shù)f(x)=3sin2x+6的部分圖象如圖所示.(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值;(2)求f(x)在區(qū)間-2,-12上的最大值

13、和最小值.分析:(1)首先利用公式求得f(x)=3sin2x+6的最小正周期,然后根據(jù)圖形確定y0,即f(x)的最大值,再根據(jù)x0的位置即可求得其取值.(2)先根據(jù)x的范圍確定2x+6的范圍,進(jìn)而求得f(x)的最值.解:(1)f(x)的最小正周期為.x0=76,y0=3.(2)因?yàn)閤-2,-12,所以2x+6-56,0.于是,當(dāng)2x+6=0,即x=-12時(shí),f(x)取得最大值0;當(dāng)2x+6=-2,即x=-3時(shí),f(x)取得最小值-3.17.(本小題滿分14分)(2014北京,文17)如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,側(cè)棱垂直于底面,abbc,aa1=ac=2,bc=1,e,f分別是a1c1

14、,bc的中點(diǎn).(1)求證:平面abe平面b1bcc1;(2)求證:c1f平面abe;(3)求三棱錐e-abc的體積.分析:(1)首先利用側(cè)棱垂直于底面得到bb1ab,然后結(jié)合已知即可證得ab平面bcc1b1,最后利用面面垂直的判定定理即得結(jié)論.(2)取ab的中點(diǎn)g,然后利用三棱柱的性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)可得gf􀰿ec1,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為c1feg,最后利用線面平行的判定定理證得結(jié)論.(3)先求出abc的三邊長,由已知可得該三棱錐的高等于aa1,然后代入錐體體積公式即得結(jié)果.(1)證明:在三棱柱abc-a1b1c1中,bb1底面abc.所以bb1ab.又因?yàn)閍bbc,所以ab平面b1

15、bcc1.所以平面abe平面b1bcc1.(2)證明:取ab的中點(diǎn)g,連接eg,fg.因?yàn)閑,f分別是a1c1,bc的中點(diǎn),所以fgac,且fg=12ac.因?yàn)閍ca1c1,且ac=a1c1,所以fgec1,且fg=ec1.所以四邊形fgec1為平行四邊形.所以c1feg.又因?yàn)閑g平面abe,c1f平面abe,所以c1f平面abe.(3)解:因?yàn)閍a1=ac=2,bc=1,abbc,所以ab=ac2-bc2=3.所以三棱錐e-abc的體積v=13sabc·aa1=13×12×3×1×2=33.18.(本小題滿分13分)(2014北京,文18)

16、從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計(jì)100(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)分析:(1)直接根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)事件的頻數(shù),然后代入頻率公式

17、求值.(2)先根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率,然后根據(jù)頻率分布直方圖中縱軸表示頻率組距即可求出a,b的值.(3)根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的分布情況即可估計(jì)平均數(shù)所在位置.解:(1)根據(jù)頻數(shù)分布表,100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6+2+2=10名,所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1-10100=0.9.從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.(2)課外閱讀時(shí)間落在組4,6)的有17人,頻率為0.17,所以a=頻率組距=0.172=0.085.課外閱讀時(shí)間落在組8,10)的有25人,頻率為0.25,所以b=頻率組距=0.2

18、52=0.125.(3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.19.(本小題滿分14分)(2014北京,文19)已知橢圓c:x2+2y2=4.(1)求橢圓c的離心率;(2)設(shè)o為原點(diǎn).若點(diǎn)a在直線y=2上,點(diǎn)b在橢圓c上,且oaob,求線段ab長度的最小值.分析:(1)先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,分別求出a,c,即可求其離心率e.(2)分別設(shè)出a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo),先利用oaob求出兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后用相應(yīng)坐標(biāo)表示出|ab|2,代入坐標(biāo)之間的關(guān)系,根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征求其最值.解:(1)由題意,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此

19、a=2,c=2.故橢圓c的離心率e=ca=22.(2)設(shè)點(diǎn)a,b的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因?yàn)閛aob,所以oa·ob=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.又x02+2y02=4,所以|ab|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x024).因?yàn)閤022+8x024(0<x024),且當(dāng)x02=4時(shí)等號成立,所以|ab|28.故線段ab長度的最小值為22.20.(本小題滿分13分)(201

20、4北京,文20)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間-2,1上的最大值;(2)若過點(diǎn)p(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;(3)問過點(diǎn)a(-1,2),b(2,10),c(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論)分析:(1)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),然后求出f'(x)=0的解,進(jìn)而比較這些值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,即可求得最大值.(2)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程,由切點(diǎn)在曲線上及切線過點(diǎn)p將切線方程化為關(guān)于x0的三次方程,從而將已知轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)解,構(gòu)造相應(yīng)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值,利用極值和0的大小關(guān)系構(gòu)造不等關(guān)系,從而求得t的取值范圍.(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,比較縱坐標(biāo)與t的大小,即可寫出相應(yīng)的結(jié)論.解:(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3,令f'(x)=0,得x=-22或x=22.因?yàn)閒(-2)=-10,f-22=2,f22=-2,f(1)=-1,所以f(x)在區(qū)間-2,1上的最大值為f-22=2.(2)設(shè)過點(diǎn)p(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),則y0=2x03